Μιγαδικό άθροισμα

Συντονιστής: chris_gatos

Πρώτη μη αναγνωσμένη δημοσίευση • 2 δημοσιεύσεις • Σελίδα 1 από 1

solars: Δημοσιεύσεις: 88; Εγγραφή: Δευ Ιουν 20, 2011 9:14 pm; Τοποθεσία: Thessaloniki

Μιγαδικό άθροισμα

Παράθεση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από solars » Δευ Αύγ 01, 2011 6:06 pm

Έστω $\displaystyle{A \in {M_2}\left( C \right)}$ και δίνεται ότι : $\displaystyle{trA = \varphi }$ και $\displaystyle{\det A = {\varphi ^2}}$ όπου $\displaystyle{\varphi = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right) + i\sin \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right)}$ με $\displaystyle{n \ge 4}$ .

Να δείξετε ότι :

$\displaystyle{\sum\limits_{k = 1}^n {{\varphi ^k}} \cdot \det \left( {A - {\varphi ^k}{I_2}} \right) = 0}$

''If i have not seen as far as others it is because giants were standing in front of me.''

Christos.N: Δημοσιεύσεις: 2134; Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm; Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Μιγαδικό άθροισμα

Παράθεση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Δευ Αύγ 01, 2011 6:42 pm

$\displaystyle{\begin{array}{l} A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a & b \\ d & c \\ \end{array}} \right] \\ \det (A - {\varphi ^k}{I_2}) = \det \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {a - {\varphi ^k}} & b \\ d & {c - {\varphi ^k}} \\ \end{array}} \right] = ... = \det A - trA \cdot {\varphi ^k} + {\varphi ^{2k}} = {\varphi ^2} - {\varphi ^{k + 1}} + {\varphi ^{2k}} \\ \sum\limits_{k = 1}^n {{\varphi ^k}} \cdot\det \left( {A - {\varphi ^k}{I_2}} \right) = \sum\limits_{k = 1}^n {{\varphi ^k}} \cdot({\varphi ^2} - {\varphi ^{k + 1}} + {\varphi ^{2k}}) = {\varphi ^2}\sum\limits_{k = 1}^n {{\varphi ^k}} - \varphi \sum\limits_{k = 1}^n {{\varphi ^{2k}}} + \sum\limits_{k = 1}^n {{\varphi ^{3k}}} \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\varphi ^2}\varphi \frac{{{\varphi ^n} - 1}}{{\varphi - 1}} - \varphi {\varphi ^2}\frac{{{\varphi ^2}^n - 1}}{{{\varphi ^2} - 1}} + {\varphi ^3}\frac{{{\varphi ^3}^n - 1}}{{{\varphi ^3} - 1}} = \,\,\mathop = \limits^{[{\varphi ^n} = {{\left( {\cos \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right) + i\sin \left( {\frac{{2\pi }}{n}\,\,\,} \right)\,} \right)}^n} = 1]\,\,\,\,\,\,} 0 \\ \end{array}}$

Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert

Απάντηση

2 δημοσιεύσεις • Σελίδα 1 από 1

Επιστροφή στο “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης