Τρίγωνο

solars · #1

Σε τρίγωνο $\rm AB\Gamma$ με πλευρές $\displaystyle{a,b,c}$ ισχύει ότι :

$\displaystyle{a = {m^2}n}$ , $\displaystyle{b + c = m{n^2}}$ , $\displaystyle{\cos A = \frac{{ - 2{m^2} + mn + {n^2}}}{{2\left( {{m^2} + mn + {n^2}} \right)}}}$

με $\displaystyle{m,n \in \left( {0,\infty } \right),m < n}$

Να δείξετε ότι :

$\displaystyle{{a^3} = {b^3} + {c^3}}$

#2

Παρατηρούμε ότι

$\displaystyle{1 + \cos A = 1 + \frac{{ - 2{m^2} + mn + {n^2}}}{{2\left( {{m^2} + mn + {n^2}} \right)}} = \frac{{3mn + 3{n^2}}}{{2\left( {{m^2} + mn + {n^2}} \right)}}.}$

Από το νόμο των συνημιτόνων έχουμε ότι

$\displaystyle{\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{{\left( {b + c} \right)}^2} - 2bc - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{{\left( {b + c} \right)}^2} - {a^2}}}{{2bc}} - 1,}$

οπότε

$\displaystyle{bc = \frac{{{{\left( {b + c} \right)}^2} - {a^2}}}{{2\left( {1 + \cos A} \right)}}.}$

Άρα,

$\displaystyle{{b^3} + {c^3} = {\left( {b + c} \right)^3} - 3bc\left( {b + c} \right) = {\left( {m{n^2}} \right)^3} - 3m{n^2}\frac{{{{\left( {m{n^2}} \right)}^2} - {{\left( {{m^2}n} \right)}^2}}}{{2\frac{{3n\left( {m + n} \right)}}{{2\left( {{m^2} + mn + {n^2}} \right)}}}} = }$

$\displaystyle{ = {m^2}{n^6} + mn\frac{{{m^2}{n^2}\left( {m + n} \right)\left( {m - n} \right)\left( {{m^2} + mn + {n^2}} \right)}}{{m + n}} = {m^2}{n^6} + {m^3}{n^3}\left( {{m^3} - {n^3}} \right) = {m^6}{n^3} = {a^3}.}$

Τρίγωνο

Τρίγωνο

Re: Τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση