Τριγωνομετρική εξίσωση

Γιώργος Απόκης · #1

Nα λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{sin^{10}x+cos^{10}x=\frac{1}{16}}$ .

#2

George73 έγραψε:Nα λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{sin^{10}x+cos^{10}x=\frac{1}{16}}$ .

Αρκεί να βρούμε τις μη αρνητικές λύσεις του συστήματος
$\displaystyle{a+b=1,}$

$\displaystyle{a^5+b^5=\frac{1}{16}}$ .

Από την ανισότητα των δυνάμεων έχουμε

$\displaystyle{\left(\frac{a^5+b^5}{2} \right)^{\frac{1}{5}}\geq \frac{a+b}{2},}$

δηλαδή

$\displaystyle{16(a^5+b^5)\geq (a+b)^5}$ .

Διαπιστώνουμε, δηλαδή, ότι ισχύει η ισότητα στην παραπάνω ανισότητα. Άρα είναι $\displaystyle{a=b,}$

οπότε $\displaystyle{\sin ^{2}x=\cos ^{2}x \Leftrightarrow \tan ^{2}x=1\Leftrightarrow (\tan x=1 \vee \tan x=-1)\Leftrightarrow x=k\pi \pm \frac{\pi}{4}, k \in \mathbb{Z}}$

Γιώργος Απόκης · #3

Φοβερή λύση! Αυτή που είχα κατά νου έχει πολλές πράξεις...

#4

Αν θέλαμε να αποφύγουμε τη χρήση της ανισότητας των δυνάμεων, θα μπορούσαμε να επιχειρηματολογήσουμε και ως εξής:

Επειδή είναι $\displaystyle{a+b=1}$ , βρίσκουμε $\displaystyle{a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2-ab)=(a+b)((a+b)^2-3ab)=1-3ab.}$

Τότε, είναι $\displaystyle{1=(a+b)^5=a^5+b^5+5ab(a^3+b^3)+10a^2b^2(a+b)=\frac{1}{16}+5ab-5(ab)^2}$ .

Άρα, $\displaystyle{(ab)^2-(ab)+\frac{3}{16}=0.}$

Λύνοντας αυτή τη δευτεροβάθμια, βρίσκουμε $\displaystyle{ab=\frac{1}{4}}$ ή $\displaystyle{ab=\frac{3}{4}.}$

Η δεύτερη τιμή απορρίπτεται, γιατί ισχύει $\displaystyle{ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}=\frac{1}{4}.}$

Τότε βλέπουμε, ότι ισχύει η ισότητα στην $\displaystyle{ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}}$ , άρα $\displaystyle{a=b}$ και συνεχίζουμε, όπως στην προηγούμενη λύση.

Γιώργος Απόκης · #5

Επίσης πολύ όμορφη λύση! Θα δώσω αργότερα μια λύση με χρήση μόνο θεωρίας Β' Λυκείου (+ απαγορευμένους τύπους διπλάσιου τόξου)...

Γιώργος Απόκης · #6

Το 1ο μέλος γράφεται: $\displaystyle{sin^{10}x+cos^{10}x=(sin^2x)^5+(cos^2x)^5=}$

$\displaystyle{=(sin^{2}x+cos^{2}x)[(sin^2x)^4-(sin^2x)^3cos^2x+(sin^2x)^2(cos^2x)^2-sin^2x(cos^2x)^3+(cos^2x)^4]=}$

$\displaystyle{=(sin^8x+cos^8x)-sin^6x\cdot cos^2x+sin^4x \cdot cos^4x-sin^2x \cdot cos^6x=}$

$\displaystyle{=[(sin^4x)^2+(cos^4x)^2]-sin^2x\cdot cos^2x(sin^4x+cos^4x)+sin^4x \cdot cos^4x=}$

$\displaystyle{=(sin^4x+cos^4x)^2-2sin^4x\cdot cos^4x-sin^2x \cdot cos^2x[(sin^2x+cos^2x)^2-2sin^2x\cdot cos^2x]+sin^4x \cdot cos^4x=}$

$\displaystyle{=(1-2sin^2x\cdot cos^2x)^2-sin^4x\cdot cos^4x-sin^2x \cdot cos^2x(1-2sin^2x\cdot cos^2x)=}$ (ταυτότητες και πράξεις)

$\displaystyle{=1+5(sinx\cdot cosx)^4-5(sinx\cdot cosx)^2=1+5\left(\frac{1}{2}sin2x\right)^4-5\left(\frac{1}{2}sin2x\right)^2=1+\frac{5}{16}sin^42x-\frac{5}{4}sin^22x}$ .

Αν θέσουμε sin^22x=y

, η εξίσωση γίνεται $\displaystyle{1+\frac{5}{16}y^2-\frac{5}{4}y=\frac{1}{16}\Leftrightarrow y^2-4y+3=0\Leftrightarrow y=1}$ ή $\displaystyle{y=3}$ (που απορρίπτεται).

Τελικά, $\displaystyle{sin2x=\pm 1 \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow \ x=k\pi \pm \frac{\pi}{4} (k \in \mathbb Z)}$ .

angvl · #7

(Από την ανισότητα των δυνάμεων έχουμε

$\displaystyle{\left(\frac{a^5+b^5}{2} \right)^{\frac{1}{5}}\geq \frac{a+b}{2},}$

δηλαδή

$\displaystyle{16(a^5+b^5)\geq (a+b)^5}$ .

Διαπιστώνουμε, δηλαδή, ότι ισχύει η ισότητα στην παραπάνω ανισότητα. Άρα είναι $\displaystyle{a=b,}$ )

Σε αυτό το σημείο το έχασα λίγο μήπως θα μπορούσατε να το εξηγήσετε λίγο παραπάνω?

#8

angvl έγραψε:(Από την ανισότητα των δυνάμεων έχουμε

$\displaystyle{\left(\frac{a^5+b^5}{2} \right)^{\frac{1}{5}}\geq \frac{a+b}{2},}$

δηλαδή

$\displaystyle{16(a^5+b^5)\geq (a+b)^5}$ .

Διαπιστώνουμε, δηλαδή, ότι ισχύει η ισότητα στην παραπάνω ανισότητα. Άρα είναι $\displaystyle{a=b,}$ )

Σε αυτό το σημείο το έχασα λίγο μήπως θα μπορούσατε να το εξηγήσετε λίγο παραπάνω?

Φυσικά!

Γνωρίζουμε, ότι αν $\displaystyle{a,b\geq 0}$ , ισχύει $\displaystyle{\left(\frac{a^5+b^5}{2} \right)^{\frac{1}{5}}\geq \frac{a+b}{2}}$ (1)

και η ισότητα στην ανισότητα αυτή, ισχύει μόνο όταν $\displaystyle{a=b.}$

Στην παρούσα περίπτωση, ισχύει (δες το αρχικό σύστημα) $\displaystyle{a+b=1}$ και $\displaystyle{a^5+b^5=\frac{1}{16},}$ άρα ισχύει η ισότητα στην (1), οπότε είναι $\displaystyle{a=b.}$

angvl · #9

Ευχαριστώ πολύ τώρα το κατάλαβα πως λειτουργεί.Μια τελευταία ερώτηση. Αυτή η ανίσωση που χρησιμοποιείται στην άσκηση ισχύει και σε μια πιο γενική μορφή? Δηλαδή αυτή ισχύει ?

$\displaystyle{\left(\frac{a^n+b^n}{2} \right)^{\frac{1}{n}}\geq \frac{a+b}{2},}$ , με $n\in N$

Grigoris K. · #10

angvl έγραψε:Ευχαριστώ πολύ τώρα το κατάλαβα πως λειτουργεί.Μια τελευταία ερώτηση. Αυτή η ανίσωση που χρησιμοποιείται στην άσκηση ισχύει και σε μια πιο γενική μορφή? Δηλαδή αυτή ισχύει ?

$\displaystyle{\left(\frac{a^n+b^n}{2} \right)^{\frac{1}{n}}\geq \frac{a+b}{2},}$ , με $n\in N$

Αν και δεν είμαι ο πιο σχετικός για να απαντήσω, η ανισότητα που αναφέρεις είναι η λεγόμενη ανισότητα των δυνάμεων και υπάρχει όντως γενικευμένη μορφή. (Δες εδώ)

Τριγωνομετρική εξίσωση

Τριγωνομετρική εξίσωση

Re: Τριγωνομετρική εξίσωση

Re: Τριγωνομετρική εξίσωση

Re: Τριγωνομετρική εξίσωση

Re: Τριγωνομετρική εξίσωση

Re: Τριγωνομετρική εξίσωση

Re: Τριγωνομετρική εξίσωση

Re: Τριγωνομετρική εξίσωση

Re: Τριγωνομετρική εξίσωση

Re: Τριγωνομετρική εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση