Άθροισμα όρων ακολουθίας

hlkampel · #1

Το άθροισμα των $\nu$ πρώτων όρων μιας ακολουθίας δίνεται από τη σχέση ${S_\nu } = \frac{{{\nu ^2}\left( {{\nu ^2} + 2\nu + 5} \right)}}{4}$

α) Να βρεθεί ο νιοστός όρος της, ${\alpha _\nu }$

β) Να υπολογιστεί το άθροισμα $S = {1^3} + {2^3} + {3^3} + \cdot \cdot \cdot + {\nu ^3}$ με $\nu \in {{\rm N}^*}$

#2

hlkampel έγραψε:Το άθροισμα των $\nu$ πρώτων όρων μιας ακολουθίας δίνεται από τη σχέση ${S_\nu } = \frac{{{\nu ^2}\left( {{\nu ^2} + 2\nu + 5} \right)}}{4}$

α) Να βρεθεί ο νιοστός όρος της, ${\alpha _\nu }$

β) Να υπολογιστεί το άθροισμα $S = {1^3} + {2^3} + {3^3} + \cdot \cdot \cdot + {\nu ^3}$ με $\nu \in {{\rm N}^*}$

α) Είναι

$\displaystyle{a_{\nu}=S_{\nu}-S_{\nu-1}=\dfrac{\nu^2(\nu^2+2\nu+5)}{4}-\dfrac{(\nu-1)^2((\nu-1)^2+2(\nu-1)+5)}{4}=\cdots=\nu^3+2\nu-1}$

β) Είναι $\displaystyle{S=S_\nu-2\sum_{k=1}^{\nu} k+\nu=\dfrac{\nu^2(\nu^2+2\nu+5)}{4}-\nu(\nu+1)+\nu=\dfrac{\nu^4}{4}+\dfrac{\nu^3}{2}+ \dfrac{\nu^2}{4}}$ ή καλύτερα $\displaystyle{\left(\dfrac{\nu(\nu+1)}{2}\right)^2}$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

vasilis.volos.13 · #3

Επειδή ακόμη και από πολλά βιβλία που διδάσκεται η μαθηματική επαγωγή παρουσιάζεται ως εφαρμογή το άθροισμα

$\displaystyle\boxed{S=1^3+2^3+3^3+...+\nu^3=\left(\frac{\nu(\nu+1)}{2}\right)^{2}}$

Μπορούμε να εικάστουμε ότι αυτός είναι ο γενικός τύπος αθροίσματος και να τον αποδείξουμε με επαγωγή ??

Μπορούμε να ακολουθήσουμε αυτήν την διαδικασία για ακολουθίες των οποίων ζητήται γενικός τύπος ??

Καλό βράδυ περιμένω αύριο την απάντηση

spiros filippas · #4

hlkampel έγραψε:β) Να υπολογιστεί το άθροισμα $S = {1^3} + {2^3} + {3^3} + \cdot \cdot \cdot + {\nu ^3}$ με $\nu \in {{\rm N}^*}$

Η σχέση αυτή μπορεί να αποδειχθεί και πολύ απλά επαγωγικά ως εξής:

Για n=1

αληθεύει, δεχόμαστε ότι ισχύει για n=k

θα την αποδείξουμε για n=k+1

.

Είναι:

$\displaystyle 1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3=(\frac{(k+1)(k+2)}{2})^2\Leftrightarrow (\frac{k(k+1)}{2})^2+(k+1)^3=(\frac{(k+1)(k+2)}{2})^2\Leftrightarrow (k+1)^3=\frac{[(k+1)(k+2)-k(k+1)][(k+1)(k+2)+k(k+1)]}{4}$

Μετά τις πράξεις παίρνουμε $(k+1)^3=(k+1)(k^2+2k+1)\Leftrightarrow (k+1)^3=k^3+3k^2+3k+1$ πού αληθεύει.

hlkampel · #5

Τώρα είδα και τα δύο μηνύματα. Απαντάω και στα δύο.

vasilis.volos.13: Έχω τη γνώμη (ας πάρει θέση και όποιος άλλος θέλει) ότι είναι σωστό να κάνεις την εικασία για τον τύπο του αθροίσματος και στη συνέχεια να αποδείξεις την εικασία.
Άλλωστε έτσι (με εικασία) έχουν λυθεί πολλά προβλήματα.

spiros filippas: Η άσκηση ζητά υπολογισμό του αθροίσματος. Έτσι ισχύουν τα παραπάνω και είσαι σωστός.

Ο σκοπός της άσκησης ήταν βέβαια να λυθεί με τον τρόπο του achilleas, να χρησιμοποιήσουμε δηλαδή και το (α) ερώτημα.

Άθροισμα όρων ακολουθίας

Άθροισμα όρων ακολουθίας

Re: Άθροισμα όρων ακολουθίας

Re: Άθροισμα όρων ακολουθίας

Re: Άθροισμα όρων ακολουθίας

Re: Άθροισμα όρων ακολουθίας

Μέλη σε σύνδεση