Στα πολυώνυμα, για άλλη μία φορά!

#1

Να αποδείξετε ότι αν το πολυώνυμο
$f\left( x\right) =ax^{3}+3bx^{2}+3cx+d$
έχει δύο, μόνο, ρίζες ίσες τότε αυτές είναι ίσες με
$\frac{bc-ad}{2\left( ac-b^{2}\right) }$ .
Παρέφρασα επίτηδες την γνωστή αφιέρωση του Fitzgerald (από τους αγαπημένους μου) γιατί στα πολυώνυμα μπορούμε, να ξαναγυρίσουμε πολλές φορές με άλλη ματιά.
Μαυρογιάννης

antonis_math · #2

Κώστα μάλλον έχεις δίκιο

k-ser · #3

Νίκο,
μ' άρεσε και θα δώσω μια απάντηση.

Αφού το f(x)

έχει διπλή ρίζα, έστω τη r, θα είναι: f(x)=(x-r)^2g(x)

.
Έτσι θα είναι: f(r)=0

και $f^{\prime}(r)=0$
Είναι $f^{\prime}(x)=3(ax^2+2bx+c)$ .
Το τριώνυμο

πρέπει να έχει απλή ρίζα το r, διαφορετικά το r θα ήταν τριπλή ρίζα του f(x)

.
Άρα Δ>0 ή b^2-ac >0

.

Είναι:
f(r)=0

και $f^{\prime}(r)=0$
ar^3+3br^2+3rc+d=0

και

Με την βοήθεια της δεύτερης ισότητας "υποβιβάζουμε" συνεχώς το βαθμό του r στην πρώτη ισότητα και καταλήγουμε εύκολα στην ισότητα:
2r(ac-b^2)=bc-ad

και εφόσον b^2-ac >0

$r=\frac{bc-ad}{2(ac-b^2)}$

Συμπλήρωμα:Τα παραπάνω ισχύουν με την προϋπόθεση a μη μηδενικό. Αν a =0 η απάντηση είναι προφανής εφόσον b μη μηδενικό!.
Νίκο, μάλλον πρέπει να βάλεις σαν προϋπόθεση a μη μηδενικός πραγματικός ή, τουλάχιστον, b όχι 0.
Αντώνη, δεν κατάλαβα αυτό με το Rolle!

#4

Και η αλλη λυση χ=-(3b+2αr)/a

k-ser έγραψε:Νίκο,
μ' άρεσε και θα δώσω μια απάντηση.

Αφού το έχει διπλή ρίζα, έστω τη r, θα είναι: .
Έτσι θα είναι: και $f^{\prime}(r)=0$
Είναι $f^{\prime}(x)=3(ax^2+2bx+c)$ .
Το τριώνυμο
πρέπει να έχει απλή ρίζα το r, διαφορετικά το r θα ήταν τριπλή ρίζα του .
Άρα Δ>0 ή .

Είναι:
και $f^{\prime}(r)=0$
και
Με την βοήθεια της δεύτερης ισότητας "υποβιβάζουμε" συνεχώς το βαθμό του r στην πρώτη ισότητα και καταλήγουμε εύκολα στην ισότητα:

και εφόσον
$r=\frac{bc-ad}{2(ac-b^2)}$

Συμπλήρωμα:Τα παραπάνω ισχύουν με την προϋπόθεση a μη μηδενικό. Αν a =0 η απάντηση είναι προφανής εφόσον b μη μηδενικό!.
Νίκο, μάλλον πρέπει να βάλεις σαν προϋπόθεση a μη μηδενικός πραγματικός ή, τουλάχιστον, b όχι 0.
Αντώνη, δεν κατάλαβα αυτό με το Rolle!

mathxl · #5

Μία λύση χωρίς ύλη γ΄λυκείου

Έστω ρ η πιπλή ρίζα
το χ-ρ θα διαιρεί το πολυώνυμο και το πηλίκο της διαίρεσης
με σχήμα Χόρνερ στο πολυώνυμο
υ=6ρ^3+3βρ^2+3cρ+d=0 σχέση (1)
με σχήμα Χόρνερ στο πηλίκο της παραπάνω διαίρεσης
υ΄=6βρ+3αρ^2+3c=0 ->αρ^2=-c-2βρ σχέση (2)
έχουμε αρ^2=-2βρ-c με ατικατάσταση στην (1) και πράξεις παίρνουμε βρ^2+2cρ+d=0->βαρ^2+2αcρ+αd=0->σχέση (3)
Αντικαθιστούμε ξανά την (2) στην (3) και λύνοντας ως προσ ρ παίρνουμε το ζητούμενο με αc διάφορο του β^2 (μιας και στην εκφώνηση το δίνεις παρονομαστή)

#6

Eπειδή την άσκηση την έβαλα για την Β' Τάξη θα δώσω μία αναμενόμενη και "εντός ύλης λύση". Φυσικά οι απαντήσεις που έχουμε με την βοήθεια του Θ. Rolle δεν πάνε χαμένες. Μέ ένα ακόμη ερώτημα πριν που να απροετοιμάζει το έδαφος μπορούμε να έχουμε και μία άσκηση για την Γ΄Τάξη.
'Εστω $\rho$ κοινή τιμή των δύο ίσων ριζών. Φυσικά $f\left( \rho \right) =0$ και επομένως
$a\rho ^{3}+3b\rho ^{2}+3c\rho +d=0\,\,\,\,(1)$
Αφού άλλη μία ρίζα του πολυωνύμου θα είναι $\rho$ το πηλίκο της διαίρεσης $f\left( x\right) :\left( x-\rho \right)$ θα έχει ρίζα το $\rho$ . Το πηλίκο βρίσκεται με το σχήμα του Horner ή με διαίρεση και είναι:
$\pi \left( x\right) =ax^{2}+\left( 3b+\rho a\right) x+3c+3\rho b+\rho ^{2}a$
και αφού έχει ρίζα το $\rho$ ισχύει
$a\rho ^{2}+2b\rho +c\,\,\,\,(2)$
Πολλαπλασιάζοντας την (2) με $\rho$ και αφαιρωντας από την (1) βρίσκουμε:
$b\rho ^{2}+2c\rho +d\,\,\,\,(3)$ .
Πολλαπλασιάζουμε την (2) με b, την (3) με a και αφαιρούμε. Θα βρούμε:
$\allowbreak \left( 2b^{2}-2ac\right) \rho +bc-ad=0$
από την οποία έχουμε την αποδεικτέα. Φυσικά για λόγους πληρότητας όπως επεσήμανε ο Κώστας χρειάζεται η υπόθεση ένα από τα a, b

να είναι διάφορο του μηδενός.
Μαυρογιάννης

ΥΓ Ωχ. Έστειλα ίδια λύση με τον mathxl. Δεν την σβύνω. Την αφήνω έτσι για ρεκλάμα. Για φανεί πόσο καλλίτερο είναι το $\LaTeX$

mathxl · #7

λολ

γράφαμε την ίδια στιγμή για τον ίδιο ακριβώς λόγο

Στα πολυώνυμα, για άλλη μία φορά!

Στα πολυώνυμα, για άλλη μία φορά!

Re: Στα πολυώνυμα, για άλλη μία φορά!

Re: Στα πολυώνυμα, για άλλη μία φορά!

Re: Στα πολυώνυμα, για άλλη μία φορά!

Re: Στα πολυώνυμα, για άλλη μία φορά!

Re: Στα πολυώνυμα, για άλλη μία φορά!

Re: Στα πολυώνυμα, για άλλη μία φορά!

Μέλη σε σύνδεση