Ανισότητα

mathxl · #1

Εάν $a,b\ge 1$ , να αποδείξετε ότι $\displaystyle\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\ge\frac{2}{1+ab}$

#2

mathxl έγραψε:Εάν $a,b\ge 1$ , να αποδείξετε ότι $\displaystyle\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\ge\frac{2}{1+ab}$

Μια απόδειξη επιπέδου Γ' Λυκείου:

Η συνάρτηση $\displaystyle{f(0,+\infty)\rightarrow \mathbb{R}}$ , με $\displaystyle{f(x)=\frac{1}{1+e^{2x}}}$ , έχει

$\displaystyle{f^{\prime \prime}(x)=4e^{2x}\frac{e^{2x}-1}{(1+e^{2x})^3}\geq 0,}$ για κάθε $\displaystyle{x\geq 0,}$ άρα είναι κυρτή.

Τότε, από την ανισότητα Jensen έχουμε

$\displaystyle{\frac{1}{1+e^{2x}}+\frac{1}{1+e^{2y}}\geq \frac{2}{1+e^{x+y}}.}$ (1)

Αν στην (1) θέσουμε $\displaystyle{e^x=a\geq 1}$ και $\displaystyle{e^y=b\geq 1,}$ προκύπτει η ζητούμενη.

#3

Βάζω ακόμα μία απόδειξη:

Με τον μετασχηματισμό $\displaystyle{a\to \frac{1}{x},b\to \frac{1}{y},}$ έχουμε να αποδείξουμε, ότι

αν $\displaystyle{xy\in (0,1]}$ , τότε

$\displaystyle{\frac{x^2}{1+x^2}+\frac{y^2}{1+y^2}\geq \frac{2xy}{1+2xy}.}$

Από την ανισότητα Cauchy-Schwarz είναι

$\displaystyle{\frac{x^2}{1+x^2}+\frac{y^2}{1+y^2}\geq \frac{(x+y)^2}{x^2+y^2+2},}$ οπότε αρκεί να ισχύει

$\displaystyle{\frac{(x+y)^2}{x^2+y^2+2}\geq \frac{2xy}{1+2xy}.}$

Αυτή γράφεται, αφού γίνουν οι πράξεις, ως $\displaystyle{(x-y)^2\Big[1-xy\Big]\geq 0,}$ το οποίο ισχύει.

Νικος Αντωνόπουλος · #4

Και μια διαφορετική προσέγγιση από αυτές του Θάνου. Αν φ, ω γωνίες του $(0,\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{2}}]$ με ${{\alpha }^{2}}=\frac{\text{1}}{\text{ }\!\!\eta\!\!\text{ }{{\text{ }\!\!\mu\!\!\text{ }}^{2}}\varphi }\text{ }\!\!\kappa\!\!\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\!\!\iota\!\!\text{ }{{\text{ }\!\!\beta\!\!\text{ }}^{2}}=\frac{\text{1}}{\eta {{\mu }^{2}}\omega }$ , αρκεί να αποδείξουμε ότι $\frac{\eta {{\mu }^{2}}\varphi }{1+\eta {{\mu }^{2}}\varphi }+\frac{\eta {{\mu }^{2}}\omega }{1+\eta {{\mu }^{2}}\omega }\ge \frac{2\eta {{\mu }^{2}}\varphi \eta {{\mu }^{2}}\omega }{1+\eta {{\mu }^{2}}\varphi \eta {{\mu }^{2}}\omega }$ ή αρκεί $(\frac{\eta {{\mu }^{2}}\varphi }{1+\eta {{\mu }^{2}}\varphi }-\frac{\eta {{\mu }^{2}}\varphi \eta {{\mu }^{2}}\omega }{1+\eta {{\mu }^{2}}\varphi \eta {{\mu }^{2}}\omega })+(\frac{\eta {{\mu }^{2}}\omega }{1+\eta {{\mu }^{2}}\omega }-\frac{\eta {{\mu }^{2}}\varphi \eta {{\mu }^{2}}\omega }{1+\eta {{\mu }^{2}}\varphi \eta {{\mu }^{2}}\omega })\ge 0$ , που ισχύει αφού καθεμιά από τις διαφορές που περιέχονται στις δυο παρενθέσεις προκύπτει από ανισότητα της μορφής $\eta {{\mu }^{2}}x\cdot \sigma \upsilon {{\nu }^{2}}y\ge 0$

#5

matha έγραψε:Βάζω ακόμα μία απόδειξη:

Με τον μετασχηματισμό $\displaystyle{a\to \frac{1}{x},b\to \frac{1}{y},}$ έχουμε να αποδείξουμε, ότι

αν $\displaystyle{xy\in (0,1]}$ , τότε

$\displaystyle{\frac{x^2}{1+x^2}+\frac{y^2}{1+y^2}\geq \frac{2xy}{1+2xy}.}$

Από την ανισότητα Cauchy-Schwarz είναι

$\displaystyle{\frac{x^2}{1+x^2}+\frac{y^2}{1+y^2}\geq \frac{(x+y)^2}{x^2+y^2+2},}$ οπότε αρκεί να ισχύει

$\displaystyle{\frac{(x+y)^2}{x^2+y^2+2}\geq \frac{2xy}{1+2xy}.}$

Αυτή γράφεται, αφού γίνουν οι πράξεις, ως $\displaystyle{(x-y)^2\Big[1-xy\Big]\geq 0,}$ το οποίο ισχύει.

Θάνο χωρίς τον αρχικό μετασχηματισμό και χωρίς Cauchy-Schwarz καταλήγω στην ίδια ουσιαστικά ανισότητα, $(a-b)^{2}(ab-1)\geq0$ (που ισχύει βέβαια για $a\geq1$ , $b\geq1$ ).

Γιώργος Μπαλόγλου

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση