Για την ιστορία (και όχι μόνο)

[Σεραφείμ]

ΑΣΚΗΣΗ 52: Δύο όμοια τρίγωνα και έχουν την ίδια κορυφή . Το στρέφεται στο επίπεδό του γύρω από την κορυφή .
Ζητείται ο γ.τ της τομής των ευθειών και
(ΣΜΑ, 1958)

1958-5.jpg (29.35 KiB) Προβλήθηκε 2299 φορές

Ισχύει γωνία στροφής . Τότε τα τετράπλευρα και είναι εγγράψιμμα λόγω των γωνιών , οπότε (φανερά) προκύπτει η ισότητα . Επομένως το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο, δηλαδή το σημείο διαγράφει το τόξο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου που περιέχει το .

Προβληματίζομαι για την περίπτωση που τα τρίγωνα και έχουν «κατοπτρικό» προσανατολισμό.

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

Φαίνεται απλή η λύση της άσκησης 52 που μας έδωσες Σεραφείμ, αλλά πιστεύω ότι ήταν αρκετά δύσκολη η σύλληψή της. Πόσο μάλλον η διερεύνισή της.
Η επόμενη άσκηση ήταν το επόμενο θέμα στην ΣΜΑ την ίδια χρονιά (1958)

ΑΣΚΗΣΗ 53.: Δίνεται κύκλος διαμέτρου και δύο σημεία αυτού που βρίσκονται προς το ίδιο μέρος της διαμέτρου.Να βρεθεί στο άλλο μέρος του κύκλου σημείο τέτοιο ώστε οι και να αποκόπτουν επί της διαμέτρου ευθύγραμμο τμήμα μήκους

[vittasko]

... Προβληματίζομαι για την περίπτωση που τα τρίγωνα και έχουν «κατοπτρικό» προσανατολισμό.

Προσεγγίζοντάς το γραφικά, βγαίνει ένα "μυτερό" αβγό.

Κώστας Βήττας.

[Σεραφείμ]

Προβληματίζομαι για την περίπτωση που τα τρίγωνα και έχουν «κατοπτρικό» προσανατολισμό.

1958-F.jpg (22.39 KiB) Προβλήθηκε 2263 φορές

Σχηματικά, στην περίπτωση "κακού" προσανατολισμού των τριγώνων, είναι δυνατόν οι και να είναι παράλληλες, οπότε το σημείο τομής "φεύγει" στο άπειρο. Συνεπώς ο ζητούμενος τόπος δεν είναι κατ' ανάγκη κλειστή γραμμή (ούτε βέβαια ευθεία). Μάλλον πρέπει να αρκεστούμε στην αρχική αντιμετώπιση.

[S.E.Louridas]

ΑΣΚΗΣΗ 53.: Δίνεται κύκλος διαμέτρου και δύο σημεία αυτού που βρίσκονται προς το ίδιο μέρος της διαμέτρου.Να βρεθεί στο άλλο μέρος του κύκλου σημείο τέτοιο ώστε οι και να αποκόπτουν επί της διαμέτρου ευθύγραμμο τμήμα μήκους

Διαπραγμάτευση:
Θεωρούμε τμήμα ισο με το και παράλληλο πρός την .
Τότε (στην φάση της διαδικασίας της Ανάλυσης) το μέν σταθεροποιείται, το είναι παραλληλόγραμμο η δε γωνία είναι σταθερού μέτρου, επειδή η είναι εγγεγραμμένη στον αρχικό κύκλο και βλέπει την σταθερή χορδή .
Συνεπώς το προσδιορίζεται πλήρως σαν τομή της και του σταθερού πλέον τόξου
Τελικά το είναι η τομή της με τον κύκλο.
Το πρόβλημα εν γένει έχει δύο λύσεις, μία ή καμμία.

(*) Θά μπορούσε η να ήταν δεδομένη χορδή, όχι δηλαδή κατ' ανάγκη διάμετρος.

S.E.Louridas

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

Πολύ εντύπωση μου έχει κάνει η επόμενη άσκηση γεωμετρίας, που είχε τεθεί το έτος 1958 στο Πανεπιστήμιο των Αθηνών, στο τμήμα ΦΥΣΙΚΩΝ. Δείτε πόσο άμεση σχέση είχε με την Φυσική...

ΑΣΚΗΣΗ 54: Δίνεται κύκλος με κέντρο και ακτίνα ίση με το ύψος του ισοπλεύρου τριγώνου . Ο κύκλος αυτός κυλάει πάνω στην πλευρά του τριγώνου και βρίσκεται πάντα προς το μέρος της κορυφής . Οι πλευρές και ορίζουν πάνω στον κύκλο τα σημεία . Αν το σημείο επαφής του κύκλου με την να αποδειχθεί ότι:

(α) Το τόξο παραμένει σταθερό κατά την κύλιση.

(β) Οι κάθετες στις πλευρές και του τριγώνου αντιστοίχως στα σημεία διέρχονται από το ίδιο σημείο.

[rek2]

Πολύ εντύπωση μου έχει κάνει η επόμενη άσκηση γεωμετρίας, που είχε τεθεί το έτος 1958 στο Πανεπιστήμιο των Αθηνών, στο τμήμα ΦΥΣΙΚΩΝ. Δείτε πόσο άμεση σχέση είχε με την Φυσική...

ΑΣΚΗΣΗ 54: Δίνεται κύκλος με κέντρο και ακτίνα ίση με το ύψος του ισοπλεύρου τριγώνου . Ο κύκλος αυτός κυλάει πάνω στην πλευρά του τριγώνου και βρίσκεται πάντα προς το μέρος της κορυφής . Οι πλευρές και ορίζουν πάνω στον κύκλο τα σημεία . Αν το σημείο επαφής του κύκλου με την να αποδειχθεί ότι:

(α) Το τόξο παραμένει σταθερό κατά την κύλιση.

(β) Οι κάθετες στις πλευρές και του τριγώνου αντιστοίχως στα σημεία διέρχονται από το ίδιο σημείο.

Το (α) εύκολα ή δύσκολα προκύπτει π.χ. από την αρχή της επαλληλίας.

Το (β) έχει σωστή εκφώνηση;

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

Πολύ εντύπωση μου έχει κάνει η επόμενη άσκηση γεωμετρίας, που είχε τεθεί το έτος 1958 στο Πανεπιστήμιο των Αθηνών, στο τμήμα ΦΥΣΙΚΩΝ. Δείτε πόσο άμεση σχέση είχε με την Φυσική...

ΑΣΚΗΣΗ 54: Δίνεται κύκλος με κέντρο και ακτίνα ίση με το ύψος του ισοπλεύρου τριγώνου . Ο κύκλος αυτός κυλάει πάνω στην πλευρά του τριγώνου και βρίσκεται πάντα προς το μέρος της κορυφής . Οι πλευρές και ορίζουν πάνω στον κύκλο τα σημεία . Αν το σημείο επαφής του κύκλου με την να αποδειχθεί ότι:

(α) Το τόξο παραμένει σταθερό κατά την κύλιση.

(β) Οι κάθετες στις πλευρές και του τριγώνου αντιστοίχως στα σημεία διέρχονται από το ίδιο σημείο.

Το (α) εύκολα ή δύσκολα προκύπτει π.χ. από την αρχή της επαλληλίας.

Το (β) έχει σωστή εκφώνηση;

Έτσι είναι η εκφώνιση από την πηγή που την πήρα. Μόλις βρω χρόνο θα ελέγξω την ορθότητά της.

[S.E.Louridas]

ΑΣΚΗΣΗ 54: Δίνεται κύκλος με κέντρο και ακτίνα ίση με το ύψος του ισοπλεύρου τριγώνου . Ο κύκλος αυτός κυλάει πάνω στην πλευρά του τριγώνου και βρίσκεται πάντα προς το μέρος της κορυφής . Οι πλευρές και ορίζουν πάνω στον κύκλο τα σημεία . Αν το σημείο επαφής του κύκλου με την να αποδειχθεί ότι:

(α) Το τόξο παραμένει σταθερό κατά την κύλιση.

(β) Οι κάθετες στις πλευρές και του τριγώνου αντιστοίχως στα σημεία διέρχονται από το ίδιο σημείο.

♦
από όπου παίρνουμε ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά δηλαδή


♦♦ Έστω το σημείο τομής των καθέτων στις από τα σημεία τους
αντίστοιχα. Αρκεί να αποδείξουμε
Προφανώς τα σημεία είναι ομοκυκλικά, επομένως έχουμε:



S.E.Louridas

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

Σωτήρη, πολύ σύντωμη και ωραία λύση στην πιο πάνω άσκηση. Τελικά η εκφώνηση ήταν σωστή και ως προς τα δύο ερωτήματα.
Εγώ την αντιμετώπισα με αναλυτική γεωμετρία, όπου με απλό τρόπο (αλλά κάποιες πράξεις) έλεγξα την ορθότητα του (β) ερωτήματος.

Η επόμενη άσκηση, ήταν ένα από τα θέματα γεωμετρίας στο ΕΜΠ, το έτος 1959, στο τμήμα Αρχιτεκτόνων.

ΑΣΚΗΣΗ 55.: Να κατασκευασθεί ισόπλευρο τρίγωνο του οποίου οι πλευρές να διέρχονται αντιστοίχως από τρία δοσμένα σημεία και του οποίου η περίμετρος να είναι η μέγιστη δυνατή.

[S.E.Louridas]

Δημήτρη , τότε τα θέματα τα εισηγούνταν Μαθηματικοί που έγραψαν Ιστορία. Μάλιστα μετά τους διαγωνισμούς ανακοινώνονταν και τα ονόματα τους.
Τέτοια ονόματα ήταν των Ιωάννη Ιωαννίδη, Αριστείδη Πάλλα, Φίλωνα Βασιλείου, Θεώδωρου Βαρόπουλου κ.λ.π.
Αυτοί, συνήθως, φρόντιζαν για θέματα που δεν στηρίζονταν σε ένα κάρο αναφορές σε Θεωρήματα και άλλα για την επίλυση τους και αυτό καθότι, αν δεν γνώριζες κάτι από αυτά αποκλειόσουν ως λύτης έστω και αν ήσουν γερό μυαλό. Στηρίζονταν σε θέματα που λύνονταν με στοιχειώδη, συνήθως σύντομο τρόπο (αυτό είναι και το πνεύμα των σημερινών διαγωνισμών Ι.Μ.Ο., Β.Μ.Ο. αλλά και των διαγωνισμών της Ε.Μ.Ε.), αρκεί να σου «έκοβε», όπως λένε. Σου άφηναν δηλαδή την αίσθηση αυτού που έχεις γράψει πολλές φορές και εσύ:
Τελικά αυτό ήταν; Και όμως το κατέβασμα της ιδέας της μεθόδου της επίλυσης ήταν «όλα τα λεφτά»

S.E.Louridas

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

Δημήτρη , τότε τα θέματα τα εισηγούνταν Μαθηματικοί που έγραψαν Ιστορία. Μάλιστα μετά τους διαγωνισμούς ανακοινώνονταν και τα ονόματα τους.
Τέτοια ονόματα ήταν των Ιωάννη Ιωαννίδη, Αριστείδη Πάλλα, Φίλωνα Βασιλείου, Θεώδωρου Βαρόπουλου κ.λ.π.
Αυτοί, συνήθως, φρόντιζαν για θέματα που δεν στηρίζονταν σε ένα κάρο αναφορές σε Θεωρήματα και άλλα για την επίλυση τους και αυτό καθότι, αν δεν γνώριζες κάτι από αυτά αποκλειόσουν ως λύτης έστω και αν ήσουν γερό μυαλό. Στηρίζονταν σε θέματα που λύνονταν με στοιχειώδη, συνήθως σύντομο τρόπο (αυτό είναι και το πνεύμα των σημερινών διαγωνισμών Ι.Μ.Ο., Β.Μ.Ο. αλλά και των διαγωνισμών της Ε.Μ.Ε.), αρκεί να σου «έκοβε», όπως λένε. Σου άφηναν δηλαδή την αίσθηση αυτού που έχεις γράψει πολλές φορές και εσύ:
Τελικά αυτό ήταν; Και όμως το κατέβασμα της ιδέας της μεθόδου της επίλυσης ήταν «όλα τα λεφτά»

S.E.Louridas

Έτσι ακριβώς Σωτήρη!! Θα ξαναγυρίσουμε άραγε κάποτε εκεί όπου ήμασταν; Εγώ τουλάχιστον είμαι αισιόδοξος.

[S.E.Louridas]

Δημήτρη συμμερίζομαι απόλυτα την αισιοδοξία σου. Ναι σίγουρα υπάρχει ορατό Φώς.
Προσωπικά καταθέτω την απόλυτη εμπιστοσύνη μου στην μεγάλη πλειοψηφία των συναδέλφων που διδάσκουν στα σχολεία της Πατρίδας και που κάνουν συνεχείς διδακτικές υπερβάσεις ποιότητας.

ΑΣΚΗΣΗ 55.: Να κατασκευασθεί ισόπλευρο τρίγωνο του οποίου οι πλευρές να διέρχονται αντιστοίχως από τρία δοσμένα σημεία και του οποίου η περίμετρος να είναι η μέγιστη δυνατή.

Ας θεωρήσουμε ότι το ζητούμενο ισόπλευρο τρίγωνο έχει κατασκευαστεί.
Τα σημεία είναι δεδομένα, επομένως οι περιγεγραμμένοι κύκλοι στα τρίγωνα θα είναι σταθεροί-κατασκευάσιμοι και μάλιστα διερχόμενοι από το ίδιο σημείο (σ. Steiner στο τρίγωνο ) (*) καθότι περιέχουν αντίστοιχα τα τόξα τοξ. τοξ. και
τοξ. που τα σημεία των τόξων αυτών βλέπουν τα σταθερά ευθύγραμμα τμήματα υπό γωνία
Με βάση το σχήμα μας και από γνωστή στοιχειώδη πρόταση παίρνουμε:

Συνεπώς αρκεί από το σημείο να κατασκευάσουμε την παράλληλη στην και να πάρουμε το τα σημεία τομής της, με τους κύκλους άρα τελικά το ισόπλευρο τρίγωνο που μας ζητούν καθότι η περίμετρός του είναι .

(*)


S.E.Louridas

[rek2]

Σωτήρη, πολύ σύντωμη και ωραία λύση στην πιο πάνω άσκηση. Τελικά η εκφώνηση ήταν σωστή και ως προς τα δύο ερωτήματα.
Εγώ την αντιμετώπισα με αναλυτική γεωμετρία, όπου με απλό τρόπο (αλλά κάποιες πράξεις) έλεγξα την ορθότητα του (β) ερωτήματος.

Ενδεχομένως να κάνω λάθος, αλλά νομίζω ότι ο θεματοδότης κυριολεκτεί όταν λέει: «το τόξο παραμένει σταθερό κατά την κύλιση» - αυτό εξάλλου έχω αποδείξει-, και δεν εννοεί απλώς ότι διατηρεί σταθερό μέτρο!

Ακόμα, στο δεύτερο ερώτημα, ναι μεν οι εν λόγω κάθετες συντρέχουν, αλλά δεν διέρχονται κατά την διάρκεια της κύλισης από το ίδιο σημείο. (Το μόνο που βρήκα για το σημείο αυτό είναι ότι κινείται στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου.)

Ήθελα, λοιπόν, να βεβαιωθώ για την ακρίβεια της εκφώνησης, μη τυχόν και το πρόβλημα κρύβει και άλλο μαγικό που δεν είναι άμεσα ορατό.

[S.E.Louridas]

Ας μου επιτραπεί να πώ δυό κουβέντες "απολογούμενος " γιά την σκέψη μου, με βάση την οποία ερμήνευσα την εκφώνιση, θεωρώντας οτι έκανα την σωστή ερμηνεία.

Τό πρόβλημα του προβλήματος θά ήταν στην πιθανή κίνηση του κατά την κύλιση. Αυτό πράγματι θα ήταν γεγονός άν ΑΡΧΙΚΑ έλεγε: Δίνεται κύκλος ...και έστω το σημείο επαφής του με την και ΜΕΤΑ ακολουθούσε το : αν κυλήσουμε τον κύκλο κ.τ.λ. .Τότε ναί θα υπηρχε κίνηση και του κατά την κύλιση.
Επειδή, όμως προηγήται η κύλιση και η μετά αναφορά στο σημείο επαφής δηλ. το θεώρησα ότι σαν είναι το εκάστοτε σημείο επαφής.
Δηλαδή θεώρησα σαν το σημείο επαφής στην τυχούσα θέση της κύλισης, επειδή αναφέρεται μετά από τήν έναρξη της.

Συγκεκριμένα γιά όλη την πλοκή της επίλυσης, θεώρησα σαν δεδομένα μόνο εκείνα που αναφέρονται στο τμήμα της εκφώνησης:
Δίνεται κύκλος με κέντρο και ακτίνα ίση με το ύψος του ισοπλεύρου τριγώνου . Ο κύκλος αυτός κυλάει πάνω στην πλευρά του τριγώνου και βρίσκεται πάντα προς το μέρος της κορυφής .
Θέλοντας, βέβαια, να επισημάνω και εδώ, ότι το έλυσα, ενσυνείδητα, (με την ερμηνεία της εκφώνησης που προανέφερα) στην γενικώτερη περίπτωση ισοσκελούς τριγώνου , άρα και ισοπλεύρου.

edit: Έγιναν κάποιες ορθογραφικές διορθώσεις.

S.E.Louridas

[parmenides51]

Ας προσθέσω μια σχετική παραπομπή με 9 λυμένα παλιά θέματα εισαγωγικών στο ΕΜΠ.

[rek2]

Πολύ εντύπωση μου έχει κάνει η επόμενη άσκηση γεωμετρίας, που είχε τεθεί το έτος 1958 στο Πανεπιστήμιο των Αθηνών, στο τμήμα ΦΥΣΙΚΩΝ. Δείτε πόσο άμεση σχέση είχε με την Φυσική...

ΑΣΚΗΣΗ 54: Δίνεται κύκλος με κέντρο και ακτίνα ίση με το ύψος του ισοπλεύρου τριγώνου . Ο κύκλος αυτός κυλάει πάνω στην πλευρά του τριγώνου και βρίσκεται πάντα προς το μέρος της κορυφής . Οι πλευρές και ορίζουν πάνω στον κύκλο τα σημεία . Αν το σημείο επαφής του κύκλου με την να αποδειχθεί ότι:

(α) Το τόξο παραμένει σταθερό κατά την κύλιση.

(β) Οι κάθετες στις πλευρές και του τριγώνου αντιστοίχως στα σημεία διέρχονται από το ίδιο σημείο.

Δεν γνωρίζω τις συνήθειες και τους ιδιωματισμούς του 1958, αλλά ξανακοιτώντας την άσκηση νομίζω πως στο (α) το ζητούμενο είναι να δειχτεί ότι στο εσωτερικό του τριγώνου παραμένει πάντα το ίδιο τόξο του κυλιόμενου κύκλου.
Ότι το τόξο αυτό έχει μέτρο 60 μοίρες είναι σχεδόν προφανές (αρκεί να προεκτείνουμε τις πλευρές ώστε να ξανακόψουν τον κύκλο, και να θυμηθούμε ότι η οξεία γωνία δύο τεμνομένων χορδών ισούται με το ημιάθροισμα των μέτρων των κυρτών τόξων που ορίζουν στον κύκλο).
Ότι, όμως, είναι το ίδιο τόξο που κάνει … τραμπάλα σαν κουνιστή πολυθρόνα είναι μαγική εικόνα!

[S.E.Louridas]

Ας δούμε και μία όμορφη(?) εικόνα σε τυχούσες θέσεις (ας πούμε στάσεις) του "επίμαχου πράσινου κύκλου" μετά την έναρξη της κίνησης. Θεωρώ τελικά, ότι έχουμε σύνθεση δύο κινήσεων, της κύλυσης του κύκλου και της κίνησης του σταθερού κατά μέγεθος τόξου στην περιφέρεια του κύκλου.

S.E.Louridas

[S.E.Louridas]

Ναι η σκέψη του Κώστα (rek) είναι σωστή (διαισθητικά το αισθανόμουν και για αυτό ασχολήθηκα, εξ’ άλλου γνωρίζει ο ίδιος τι θεωρώ για αυτόν ).
Ειδικά λοιπόν για τις 60-μοίρες κάνουμε επί πλέον των εκτεθέντων στο τυχόν ισοσκελές τα εξής: Για το τυχόν σημείο του απομονωμένου (ας το δούμε έτσι) πλέον κυκλικού τμήματος έχουμε το 2ο σχήμα που ακολουθεί προφανώς με ( το ύψος του δεδομένου ισοπλεύρου )
Αν θεωρήσουμε τον περιγεγραμμένο κύκλο και τμήσει την στο σημείο με τα σημεία τομής των με την , εύκολα αποδεικνύεται ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο με ύψος
Συνεπώς το τυχόν σημείο του τμήματος κυλιομένου θα έρθει σε αντίστοιχο σημείο E της με το να διατηρεί το μήκος του.
Η διαδικασία αυτή είναι στο κάτω σχήμα όπου πήραμε ,από το αρχικό πάνω σχήμα, το τό απομονώσαμε και προσαρμόσαμε εκεί το ισόπλευρο κάνοντας ταυτόχρονα και την κατασκευαστική τεκμηρίωση του θέματος, αφού στο πάνω έχουμε τα πάντα πρίν την κύλιση.

Τελικά η κίνηση της πολυθρόνας ή του ταμπόν του μελλανιού στα πολύ παρελθόντα χρόνια που έγραφαν με πένες, δηλαδή του κυκλικού τμήματος , γίνεται με το ισόπλευρο τρίγωνο να είναι εκεί, όπως πλέον Κατασκευαστικά αποδείχτηκε.

(*) Θα είχε τεράστιο ενδιαφέρον στά πλαίσια του Μαθηματιού πλουραλισμού να είχε κάποιος τήν τότε λύση του θέματος ή κάποια άλλη προσέγγιση (καταγεγραμμένη) διαφορετική από αυτήν που παρουσίασα.


S.E.Louridas

[R BORIS]

Aπό το ΕΜΠ γύρω στο 1972 viewtopic.php?f=57&t=201 και viewtopic.php?f=21&t=138 και viewtopic.php?f=21&t=145