Aσκηση απο Putnam...

#1

Να βρείτε το σύνολο όλων εκείνων των πραγματικών αριθμών κ οι οποίοι έχουν την παρακάτω ιδιότητα:
Για κάθε θετική και παραγωγίσιμη συνάρτηση f που ικανοποιεί την f '(x)>f(x), για κάθε χ πραγματικό, υπάρχει κάποιος
αριθμός Ν τέτοιος ώστε: $\displaystyle{\displaystyle f(x) > e^{\kappa x} ,\forall x > {\rm N} }$

#2

Έστω Α το ζητούμενο σύνολο. Θα δείξω ότι $A = \{x \in \mathbb{R}: x < 1\}$ .

Η $f(x) = e^{x} - 1$ ικανοποιεί την συνθήκη $f^{\prime}(x) > f(x)$ για κάθε πραγματικό χ. Αλλά $f(x) < e^{kx}$ για κάθε $k \geqslant 1$ και για κάθε

, άρα $k \notin A$ για κάθε $k \geqslant 1$ .

Έστω λοιπόν συνάρτηση f που ικανοποιεί την δοσμένη συνθήκη. Ισχυρίζομαι ότι $f(x) \geqslant f(0)e^x$ για κάθε $x \geqslant 0$ . Πράγματι αν g(x) = f(x) - f(0)e^x

, τότε

και $g^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) - f(0)e^x > g(x)$ .

Επειδή για κάθε c > 0

και κάθε

υπάρχει Ν ώστε $ce^x > e^{ax}$ για κάθε x > N

, ο αρχικός μου ισχυρισμός έχει αποδειχθεί.

Στην απόδειξη έχω χρησιμοποιήσει ότι για κάθε παραγωγίσιμη συνάρτηση $g:[0,\infty) \to \mathbb{R}$ με g(0)=0

και $g^{\prime}(x) > g(x)$ για κάθε $x \geqslant 0$ ισχύει ότι $g(x) \geqslant 0$ για κάθε $x \geqslant 0$ . Πράγματι, έστω $y = \inf\{x : g(x) < 0 \}$ . Τότε g(y) = 0

(από συνέχεια της g), άρα $g^{\prime}(y) > g(y) = 0$ , άρα υπάρχει δ>0 ώστε η g είναι μη αρνητική στο $(y,y+\delta)$ , άτοπο (από ορισμό του y).

#3

Δημήτρη ευχαριστώ για την ενασχόληση. Δύο επισημάνσεις.
1) Η άσκηση ζητάει σύνολο των κ. Με μια απλή αλλαγή στη μεταβλητή θα μου πεις (αντι για χ,βάζω κ), το ίδιο είναι.Δεκτό.

2) Στο σημείο που λες ''Ισχυρίζομαι πως $\displaystyle{\displaystyle f(x) \geqslant f(0)e^x }$ , θα μπορούσαμε να το είχαμε ''γλυτώσει'' , αφού η συνθήκη f'(x)>f(x), μας οδηγεί στο οτι η $\displaystyle{\displaystyle g(x) = f(x)e^{ - x} }$ είναι γνησίως αύξουσα στο R. Aρα για χ>=0, παίρνουμε τη σχέση..
Θα συνεχίσω να προσπαθώ για επίλυση...

#4

Χρήστο έχεις δίκιο. Θα μπορούσα να αποφύγω κάποιες πράξεις αν πρόσεχα πως η $f(x)e^{-x}$ είναι αύξουσα.

Νομίζω όμως πως το ζητούμενο έχει αποδειχθεί. (Αν k<1

, τότε $f(x) \geqslant f(0)e^{x} > e^{kx}$ για κάθε $\displaystyle x > \max \left\{ 0 , - \frac{\ln(f(0))}{1-k} \right\}$ .)

#5

Δεν αμφιβάλλω Δημήτρη! Απλά λέγοντας ''θα προσπαθήσω για επίλυση'' εννοούσα πως θα συνεχίσω στο χαρτί και τη δική μου προσπάθεια! Να'σαι καλά!

Aσκηση απο Putnam...

Aσκηση απο Putnam...

Re: Aσκηση απο Putnam...

Re: Aσκηση απο Putnam...

Re: Aσκηση απο Putnam...

Re: Aσκηση απο Putnam...

Μέλη σε σύνδεση