Εξίσωση με μιγαδικούς

themiskant · #1

Να βρεθούν οι γ.τ. των εικόνων των μιγαδικών $z,\omega$ ώστε να ισχύουν $\frac{z}{\imath z-2} \epsilon R$ και $\sqrt{2}\left|\omega \right|-\omega =\bar{\omega }$ . Στη συνέχεια να λυθεί η εξίσωση $z=\omega$

Γιώργος Απόκης · #2

Για τον $\displaystyle{u=\frac{z}{iz-2}$ πρέπει $z\ne -2i$ . Έχουμε (με απόδειξη) $\displaystyle{\color{red}u\in \mathbb R\Leftrightarrow u=\bar{u}\color{black}\Leftrightarrow \frac{z}{iz-2}=\frac{\bar{z}}{-i\bar{z}-2}\Leftrightarrow -i |z|^2-2z=i|z|^2-2\bar{z}\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\overset{z=x+yi}\Leftrightarrow x^2+y^2+2y=0\Leftrightarrow x^2+(y+1)^2=1}$ , δηλαδή κύκλος με K(0,-1)

και $\rho=1$ (χωρίς το (0,-2)

).

Για τον w=x+yi

, έχουμε $\sqrt{2}|x+yi|=2x \overset{x\geq 0}\Leftrightarrow 2(x^2+y^2)=4x^2 \Leftrightarrow 2y^2=2x^2 \Leftrightarrow y= \pm x$ (δύο ημιευθείες).

Για την εξίσωση z=w

αρκεί να λύσουμε τα συστήματα $\displaystyle{\begin{cases}x^2+y^2+2y=0 \\ y=x \\ x\geq 0 \end{cases}}$ και $\displaystyle{\begin{cases}x^2+y^2+2y=0 \\ y=-x \\ x\geq 0 \end{cases}}$

Το πρώτο δίνει x=y=0

ή

(απορρίπτεται), ενώ το δεύτερο x=y=0

ή

. Τελικά,

ή

.

Εξίσωση με μιγαδικούς

Εξίσωση με μιγαδικούς

Re: Εξίσωση με μιγαδικούς

Μέλη σε σύνδεση