Κυρτή συνάρτηση και μονοτονία

#1

Έστω πως η συνάρτηση $\displaystyle{ f }$ είναι κυρτή στο $\displaystyle{ \left[ {0,1} \right] }$ .Τότε να αποδείξετε πως η συνάρτηση $\displaystyle{ g(x) = f(x) + f(1 - x) }$ είναι φθίνουσα στο $\displaystyle{ \left[ {0,\frac{1}{2}} \right] }$

#2

..Καλησπέρα

μια προσπάθεια στην άσκηση του Χρήστου..

Αφού η

κυρτή σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο θα έχει {f}'

γνήσια αύξουσα στο $(0,\,\,1)$ οπότε

παραγωγίσιμη στο $(0,\,\frac{1}{2})$ με {g}'(x)={f}'(x)-{f}'(1-x)

(1)
Επειδή τώρα για $0<x<\frac{1}{2}\Leftrightarrow 0>-x>-\frac{1}{2}\Leftrightarrow 1>1-x>\frac{1}{2}$ ισχύει ότι $x<1-x,\,\,x\in (0,\,\frac{1}{2})$ και επειδή {f}'

γνήσια αύξουσα θα είναι {f}'(x)<{f}'(1-x)

άρα και ${g}'(x)<0,\,\,x\in (0,\,\,\frac{1}{2})$ οπότε

γνήσια φθίνουσα στο $[0,\,\,\frac{1}{2}]$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

#3

Καλημέρα κι ευχαριστώ το Βασίλη για τη λύση.
Θα ήθελα να δοθεί(αν κάποιος θελήσει φυσικά!) και μία λύση χωρίς το δεδομένο της παραγώγισης που ο
Βασίλης χρησιμοποίησε.
Να'στε καλά!

#4

Μία απόδειξη χωρίς την προϋπόθεση της παραγωγισίμοτητας:

Το ζητούμενο είναι άμεση συνέπεια της ακόλουθης πρότασης.

Πρόταση:

Αν $\displaystyle{f}$ κυρτή συνάρτηση στο διάστημα $\displaystyle{D}$ και $\displaystyle{a,b,c\in D}$ με $\displaystyle{a\leq b\leq c,}$ τότε ισχύει

$\displaystyle{f(a-b+c)+f(b)\leq f(a)+f(c).}$

Απόδειξη:

Επειδή είναι $\displaystyle{b\in [a,c]}$ , υπάρχουν $\displaystyle{m,n \in [0,1]}$ με $\displaystyle{m+n=1}$ ώστε $\displaystyle{b=ma+nc.}$ (αυτό ουσιαστικά μας λέει ότι το διάστημα είναι κυρτό σύνολο)

Επομένως, είναι

$\displaystyle{f(b)=f(ma+nc)\leq mf(a)+nf(c)}$ ( $\displaystyle{\color {red}\spadesuit}$ )

(η παραπάνω ανισότητα ισχύει λόγω κυρτότητας της $\displaystyle{f}$ ).

Ακόμα είναι $\displaystyle{a-b+c=a-ma-nc+c=(1-m)a+(1-n)c=na+mc.}$

Άρα, πάλι λόγω κυρτότητας, έχουμε

$\displaystyle{f(a-b+c)=f(na+mc)\leq nf(a)+mf(c)}$ ( $\displaystyle{\color {red}\spadesuit \spadesuit}$ )

Με πρόσθεση των ( $\displaystyle{\color {red}\spadesuit , \color {red}\spadesuit \spadesuit}$ ) προκύπτει η ζητούμενη.

Ερχόμαστε τώρα στο αρχικό πρόβλημα.

Ουσιαστικά ζητείται να αποδειχθεί, ότι αν $\displaystyle{x,y\in \Big[0,\frac{1}{2}\Big]}$ με $\displaystyle{x>y,}$ τότε ισχύει $\displaystyle{g(x)\leq g(y).}$

Το ζητούμενο προκύπτει από την παραπάνω πρόταση, εφαρμοζόμενη στους $\displaystyle{a=y, b=1-x,c=1-y.}$

Πράγματι, όταν $\displaystyle{x,y\in \Big[0,\frac{1}{2}\Big]}$ με $\displaystyle{x>y,}$ , είναι

$\displaystyle{y\leq 1-x\leq 1-y}$ , οπότε έχουμε

$\displaystyle{f(y-1+x+1-y)+f(1-x)\leq f(y)+f(1-y)}$

δηλαδή $\displaystyle{f(x)+f(1-x)\leq f(y)+f(1-y).}$

#5

chris_gatos έγραψε:<...> λύση χωρίς το δεδομένο της παραγώγισης <...>

Λίγο αλλιώς: Για $0\le x \le y \le \frac{1}{2}$ έχουμε $0\le x \le y \le 1-y \le 1-x$ οπότε, από γνωστή ιδιότητα των κυρτών συναρτήσεων,

$\displaystyle \frac {f(1-y)-f(x)}{(1-y)-x}\le \frac {f(1-x)-f(y)}{(1-x)-y}$ . Διώχνοντας τον (κοινό) θετικό παρονομαστή
έχουμε το ζητούμενο: $f(y)+f(1-y)\le f(x)+f(1-x)$ .

Φιλικά,

Μιχάλης

Κυρτή συνάρτηση και μονοτονία

Κυρτή συνάρτηση και μονοτονία

Re: Κυρτή συνάρτηση και μονοτονία

Re: Κυρτή συνάρτηση και μονοτονία

Re: Κυρτή συνάρτηση και μονοτονία

Re: Κυρτή συνάρτηση και μονοτονία

Μέλη σε σύνδεση