Κυρτή συνάρτηση και μονοτονία

Συντονιστής: emouroukos

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6885
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Κυρτή συνάρτηση και μονοτονία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Δευ Σεπ 05, 2011 11:48 pm

Έστω πως η συνάρτηση \displaystyle{ 
f 
} είναι κυρτή στο \displaystyle{ 
\left[ {0,1} \right] 
}.Τότε να αποδείξετε πως η συνάρτηση \displaystyle{ 
g(x) = f(x) + f(1 - x) 
} είναι φθίνουσα στο \displaystyle{ 
\left[ {0,\frac{1}{2}} \right] 
}


Χρήστος Κυριαζής
KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1538
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Κυρτή συνάρτηση και μονοτονία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Τρί Σεπ 06, 2011 12:33 am

..Καλησπέρα :logo: μια προσπάθεια στην άσκηση του Χρήστου..

Αφού η f κυρτή σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο θα έχει {f}' γνήσια αύξουσα στο (0,\,\,1) οπότε gπαραγωγίσιμη στο (0,\,\frac{1}{2}) με {g}'(x)={f}'(x)-{f}'(1-x)(1)
Επειδή τώρα για 0<x<\frac{1}{2}\Leftrightarrow 0>-x>-\frac{1}{2}\Leftrightarrow 1>1-x>\frac{1}{2} ισχύει ότι x<1-x,\,\,x\in (0,\,\frac{1}{2}) και επειδή {f}' γνήσια αύξουσα θα είναι {f}'(x)<{f}'(1-x) άρα και {g}'(x)<0,\,\,x\in (0,\,\,\frac{1}{2}) οπότε g γνήσια φθίνουσα στο [0,\,\,\frac{1}{2}]

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6885
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Re: Κυρτή συνάρτηση και μονοτονία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τρί Σεπ 06, 2011 7:27 am

Καλημέρα κι ευχαριστώ το Βασίλη για τη λύση.
Θα ήθελα να δοθεί(αν κάποιος θελήσει φυσικά!) και μία λύση χωρίς το δεδομένο της παραγώγισης που ο
Βασίλης χρησιμοποίησε.
Να'στε καλά!


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6261
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Κυρτή συνάρτηση και μονοτονία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τρί Σεπ 06, 2011 9:07 am

Μία απόδειξη χωρίς την προϋπόθεση της παραγωγισίμοτητας:

Το ζητούμενο είναι άμεση συνέπεια της ακόλουθης πρότασης.

Πρόταση:

Αν \displaystyle{f} κυρτή συνάρτηση στο διάστημα \displaystyle{D} και \displaystyle{a,b,c\in D} με \displaystyle{a\leq b\leq c,} τότε ισχύει

\displaystyle{f(a-b+c)+f(b)\leq f(a)+f(c).}

Απόδειξη:

Επειδή είναι \displaystyle{b\in [a,c]}, υπάρχουν \displaystyle{m,n \in [0,1]} με \displaystyle{m+n=1} ώστε \displaystyle{b=ma+nc.} (αυτό ουσιαστικά μας λέει ότι το διάστημα είναι κυρτό σύνολο)

Επομένως, είναι

\displaystyle{f(b)=f(ma+nc)\leq mf(a)+nf(c)} (\displaystyle{\color {red}\spadesuit})

(η παραπάνω ανισότητα ισχύει λόγω κυρτότητας της \displaystyle{f}).

Ακόμα είναι \displaystyle{a-b+c=a-ma-nc+c=(1-m)a+(1-n)c=na+mc.}

Άρα, πάλι λόγω κυρτότητας, έχουμε

\displaystyle{f(a-b+c)=f(na+mc)\leq nf(a)+mf(c)} (\displaystyle{\color {red}\spadesuit \spadesuit})

Με πρόσθεση των (\displaystyle{\color {red}\spadesuit , \color {red}\spadesuit \spadesuit}) προκύπτει η ζητούμενη.

Ερχόμαστε τώρα στο αρχικό πρόβλημα.

Ουσιαστικά ζητείται να αποδειχθεί, ότι αν \displaystyle{x,y\in \Big[0,\frac{1}{2}\Big]} με \displaystyle{x>y,} τότε ισχύει \displaystyle{g(x)\leq g(y).}

Το ζητούμενο προκύπτει από την παραπάνω πρόταση, εφαρμοζόμενη στους \displaystyle{a=y, b=1-x,c=1-y.}

Πράγματι, όταν \displaystyle{x,y\in \Big[0,\frac{1}{2}\Big]} με \displaystyle{x>y,}, είναι

\displaystyle{y\leq 1-x\leq 1-y}, οπότε έχουμε

\displaystyle{f(y-1+x+1-y)+f(1-x)\leq f(y)+f(1-y)}

δηλαδή \displaystyle{f(x)+f(1-x)\leq f(y)+f(1-y).}


Μάγκος Θάνος
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12311
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Κυρτή συνάρτηση και μονοτονία

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Σεπ 06, 2011 11:57 am

chris_gatos έγραψε:<...> λύση χωρίς το δεδομένο της παραγώγισης <...>
Λίγο αλλιώς: Για 0\le x \le y \le \frac{1}{2} έχουμε 0\le x \le y \le 1-y \le 1-x οπότε, από γνωστή ιδιότητα των κυρτών συναρτήσεων,

\displaystyle \frac {f(1-y)-f(x)}{(1-y)-x}\le \frac {f(1-x)-f(y)}{(1-x)-y}. Διώχνοντας τον (κοινό) θετικό παρονομαστή
έχουμε το ζητούμενο: f(y)+f(1-y)\le f(x)+f(1-x).

Φιλικά,

Μιχάλης


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης