Τα περιστέρια!

#1

Να αποδειχθεί, ότι μεταξύ τεσσάρων αριθμών, οι οποίοι είναι ίσοι τουλάχιστον με $\displaystyle{1}$ , πάντα υπάρχουν δύο εξ αυτών, τους οποίους ας ονομάσουμε $\displaystyle{x,y}$ , ώστε να ισχύει

$\displaystyle{\sqrt{(x^2-1)(y^2-1)}+1\geq \frac{\sqrt{3}}{2}xy.}$

***Διόρθωση της θέσης μιας λέξεως στην εκφώνηση

#2

matha έγραψε:Να αποδειχθεί, ότι μεταξύ τεσσάρων αριθμών, οι οποίοι είναι τουλάχιστον ίσοι με $\displaystyle{1}$ , πάντα υπάρχουν δύο εξ αυτών, τους οποίους ας ονομάσουμε $\displaystyle{x,y}$ , ώστε να ισχύει

$\displaystyle{\sqrt{(x^2-1)(y^2-1)}+1\geq \frac{\sqrt{3}}{2}xy.}$

Ωραία άσκηση.

Ορίζουμε γωνίες $A_1, \, ... , \, A_4 \in [0, \frac {\pi}{2}]$ με $\cos A_k = \frac {1}{x_k}, 1\le k \le 4$ όπου x_k

οι δοθέντες τέσσερις αριθμοί (βλέπε (*) παρακάτω).

Η παράσταση γράφεται

$\displaystyle{\sqrt{(x^2-1)(y^2-1)}+1\geq \frac{\sqrt{3}}{2}xy}\Leftrightarrow \sqrt{ \frac {1- \cos ^2 A}{\cos ^2A} \frac {1- \cos ^2 B}{\cos ^2 B}}+1\geq \frac{\sqrt{3}}{2}\frac {1}{\cos A} \frac {1}{\cos B}\Leftrightarrow$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \tan A\tan B+1\geq \frac{\sqrt{3}}{2}\frac {1}{\cos A} \frac {1}{\cos B}\Leftrightarrow \sin A\sin B+\cos A \cos B \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \cos (A-B)\geq \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Τώρα, χωρίζουμε το $[0, \frac {\pi}{2}]$ σε τρία ίσα μέρη μήκους $\frac {\pi}{6}$ . Τουλάχιστον δύο από τις τέσσερις γωνίες θα πέσουν στο ίδιο μέρος (αρχή περιστερώνα). Τότε για αυτές , έστω τις $A,\,B$ , θα ισχύει $A-B \le \frac {\pi}{6}$ , άρα $\cos (A-B) \ge \frac {\sqrt 3}{2}$ . Τελειώσαμε.

Φιλικά,

Μιχάλης

(*) Την φράση "τουλάχιστον ίσοι με

" της εκφώνησης την εκλαμβάνω ως " ίσοι τουλάχιστον με

", δηλαδή $x\ge 1$ . Αυτό είναι προφανώς το νοούμενο, άλλωστε χρειάζεται για να έχει νόημα το ριζικό.

#3

Ε, μόνο από τον τίτλο έπρεπε να υποψιαστούμε ότι κάπως έτσι θα πήγαινε η λύση. Ιδίως αν είχαμε ξαναδεί και αυτήν την άσκηση.

Kostas01 · #4

Δηλαδή χρησιμοποιούμε τον κανόνα που λέει ότι εάν έχουμε 4 αριθμούς σε 3 περιοχές, τότε τουλάχιστον 2 από αυτούς τους αριθμούς θα βρίσκονται στην ίδια περιοχή.

#5

Kostas01 έγραψε:Δηλαδή χρησιμοποιούμε τον κανόνα που λέει ότι εάν έχουμε 4 αριθμούς σε 3 περιοχές, τότε τουλάχιστον 2 από αυτούς τους αριθμούς θα βρίσκονται στην ίδια περιοχή.

Ναι.

Τα περιστέρια!

Τα περιστέρια!

Re: Τα περιστέρια!

Re: Τα περιστέρια!

Re: Τα περιστέρια!

Re: Τα περιστέρια!

Μέλη σε σύνδεση