1-1 και επί συναρτήσεις

#1

Δίνονται οι συναρτήσεις $f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με

$f (x)=[x]+a\{x\}^2 +b\{x\} , \ x \in \mathbb{R}$ και

$g(x) = [x]+\{x\}^n, \ x \in \mathbb{R},$

όπου $a,b\geq 0$ με a+b=1

και $n \in \mathbb{N}^*.$

Να δείξετε ότι οι f,g

είναι 1-1 και επί και να βρείτε την αντίστροφή τους.

#2

1. έστω $\displaystyle{[x]=n\in Z}$ τότε $\displaystyle{n\le x<n+1,f(x)=a(x-n)(x-n-1)+x,0<a<1}$ [*]
είναι εύκολο να δειχθούν
α.η $\displaystyle{f}$ γνήσια αύξουσα και συνεχής στο $\displaystyle{(n,n+1)}$
b.τα μόνα πιθανά σημεία ασυνέχειας έχουν ακέραιες τετμημένες
c. $\displaystyle{f(n)=n,\lim_{x\to (n+1)-}=n+1=f(n+1)}$
d.σύνολο τιμών της $\displaystyle{f=[n,n+1)}$ όταν $\displaystyle{n\le x<n+1}$

Άρα εφ' όσον τα επί μέρους σύνολα τιμών είναι ξένα αναμεταξύ τους και η συνάρτηση είναι 1-1 σε αυτά είναι συνολικά 1-1

ακόμη η ένωση των επί μέρους συνόλων τιμών καλύπτει όλο το $\displaystyle{R}$ άρα είναι και επί

Με την γνωστή μέθοδο βρίσκουμε $\displaystyle{f^{-1}(x)=\frac{-1+a+2an}{2a}+\sqrt{\frac{(a-1)^2-4an+4ax}{4a^2}}}$
[*] αν $\displaystyle{a=0}$ τότε $\displaystyle{b=1}$ και η άσκηση λύνεται πιο εύκολα με παρόμοιο τρόπο

#3

Με αντίστοιχο τροπο και η
2. Έστω $\displaystyle{[x]=m\in Z}$ τότε $\displaystyle{g(x)=m+(x-m)^n}$ όταν $\displaystyle{m\le x<m+1}$
a. $\displaystyle{g}$ γνήσια αύξουσα και συνεχής στο $\displaystyle{(m,m+1)}$
b.πιθανή ασυνέχεια στα $\displaystyle{m}$
c. αλλά $\displaystyle{g(m)=m,\lim_{x \to (m+1)-}g(x)=m+1=g(m+1)}$
d. $\displaystyle{g([m,m+1))=[m,m+1)}$

ίδια όπως πριν με $\displaystyle{g^{-1}(x)=m+\sqrt[n]{x-m}}$

#4

socrates έγραψε:Δίνονται οι συναρτήσεις $f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με

$f (x)=[x]+a\{x\}^2 +b\{x\} , \ x \in \mathbb{R}$ και

$g(x) = [x]+\{x\}^n, \ x \in \mathbb{R},$

όπου $a,b\geq 0$ με και $n \in \mathbb{N}^*.$

Να δείξετε ότι οι είναι 1-1 και επί και να βρείτε την αντίστροφή τους.

Μία διαφορετική προσέγγιση:

Για την πρώτη

Έχουμε $a\{x\}^2 +b\{x\}<a\{x\} +b\{x\}=\{x\} \Rightarrow 0 \le a\{x\}^2 +b\{x\}<1$ (1)

Αν $[x_1] \neq [x_2]$ (χωρίς βλάβη υποθέτουμε ότι [x_1] > [x_2]

), τότε

με $r \ge 1$ , άρα

$f(x_1) \ge [x_1] =[x_2]+r >[x_2]+a\{x_2\}^2 +b\{x_2\}=f(x_2)$

Συνεπώς $f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow [x_1]=[x_2]$ , δηλαδή

$f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow a\{x_1\}^2 +b\{x_1\}=a\{x_2\}^2 +b\{x_2\}$

Τώρα εύκολα αποδεικνύεται ότι η συνάρτηση $g:[0,1) \to [0,1), g(u)=au^2+bu$ είναι γνησίως αύξουσα και επί, άρα

$f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2$ και το 1-1 τελείωσε.

Για το επί αρκεί η εξίσωση y=f(x)

να έχει λύση ως προς

(η οποία εννοείται ότι θα είναι μοναδική, λόγω του 1-1 της

συνάρτησης). Εύκολα μπορούμε να διαπιστώσουμε πως αν [x]=[y]

και $\displaystyle{\{x\}=\frac {-b+\sqrt{b^2+4a\{y\}}}{2a}}$

τότε f(x)=y

. Συνεπώς απεδείχθη και το επί και συγχρόνως

$\displaystyle{f^{-1}(y)=x=[y]+\frac {-b+\sqrt{b^2+4a\{y\}}}{2a}}$

Για τη δεύτερη

Έστω x_1,x_2

με $[x_1] \neq [x_2]$ και χωρίς βλάβη υποθέτουμε πως [x_1] >[x_2]

, άρα

, όπου $r \ge 1$ . Τότε

$g(x_1)>[x_1]=[x_2]+r>[x_2]+\{x_2\}^n=g(x_2)$ , άρα

$g(x_1)=g(x_2) \Rightarrow [x_1]=[x_2]$ , δηλαδή

$g(x_1)=g(x_2) \Rightarrow [x_1]=[x_2] \wedge \{x_1\}^n=\{x_2\}^n$

$\Rightarrow [x_1]+\{x_1\}=[x_2]+\{x_2\} \Rightarrow x_1=x_2$ , οπότε το 1-1 απεδείχθη.

Αν $y \in \mathbb{R}$ και $x=[y]+\sqrt[n]{\{y\}}$ , τότε f(x)=y

, άρα απεδείχθη και το επί.

Και επιπλέον $\displaystyle{f^{-1}(y)=[y]+\sqrt[n]{\{y\}}}$

1-1 και επί συναρτήσεις

1-1 και επί συναρτήσεις

Re: 1-1 και επί συναρτήσεις

Re: 1-1 και επί συναρτήσεις

Re: 1-1 και επί συναρτήσεις

Μέλη σε σύνδεση