Ένα όριο ...

#1

Nα υπολογιστεί:
$\lim_{x \rightarrow +\propto}(e^{\sqrt{x^{2}+1}}-e^{x})$

dement · #2

Καλημερα.

Απο Θ.Μ.Τ. εχουμε $e^{\sqrt{x^2+1}} - e^x} \geq e^x \left( \sqrt{x^2 + 1} - x \right)$ . Παλι με Θ.Μ.Τ. στο δευτερο παραγοντα εχουμε

$e^x \left( \sqrt{x^2 + 1} - x \right) \geq \frac {e^x}{2 \sqrt{x^2 + 1}} \geq \frac{e^x}{4x}$ για αρκετα μεγαλα

, και η τελευταια παρασταση προφανως τεινει στο απειρο.

Δημητρης Σκουτερης

#3

Όμορφη λύση Δημήτρη, άλλη μία με κανόνα Del' Hospital ..

#4

Μετά από μήνυμα του mathxl μου υποδείχθηκε ότι η λύση που έβαλα ήταν λάθος για αυτό την διέγραψα.

pito · #5

Μια ακόμη ( ελπίζω σωστή) λύση:
$lim_{x\rightarrow +\propto }(e^{\sqrt{x^{2}+1}}-e^{x})=lim_{x\rightarrow +\propto }e^{x}(e^{\sqrt{x^{2}+1}-x}-1).$ . Όμως αν θεωρήσω την $f(x)=e^{x}-x-1\Rightarrow f'(x)=0\Rightarrow e^{x}-1=0\Rightarrow x_{0}=0$ και η

παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο $x_{o}=0\Rightarrow f(x)\geq 0\Rightarrow e^{x}\geq x+1\Rightarrow e^{\sqrt{x^{2}+1}-x}-1\geq\sqrt{x^{2}+1}-x$ , με $\Rightarrow e^{\sqrt{x^{2}+1}-x}-1\geq \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+x}\Rightarrow e^{x}(e^{\sqrt{x^{2}+1}-x}-1)\geq \frac{e^{x}}{\sqrt{x^{2}+1}+x}$ άρα $lim_{x\rightarrow +\propto }\frac{e^{x}}{x(\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}+1)}=+\propto (lim _{x\rightarrow +\propto }\frac{e^{x}}{x}=+\propto )$ ( το τελευταίο σε παρένθεση όριο από de l'hospital) άρα $lim_{x\rightarrow +\propto }(e^{\sqrt{x^{2}+1}}-e^{x})=+\propto$

Νασιούλας Αντώνης · #6

pito έγραψε:Μια ακόμη ( ελπίζω σωστή) λύση:
$lim_{x\rightarrow +\propto }(e^{\sqrt{x^{2}+1}}-e^{x})=lim_{x\rightarrow +\propto }e^{x}(e^{\sqrt{x^{2}+1}-x}-1).$ . Όμως αν θεωρήσω την $f(x)=e^{x}-x-1\Rightarrow f'(x)=0\Rightarrow e^{x}-1=0\Rightarrow x_{0}=0$ και η παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο $x_{o}=0\Rightarrow f(x)\geq 0\Rightarrow e^{x}\geq x+1\Rightarrow e^{\sqrt{x^{2}+1}-x}-1\geq\sqrt{x^{2}+1}-x$ , με $\Rightarrow e^{\sqrt{x^{2}+1}-x}-1\geq \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+x}\Rightarrow e^{x}(e^{\sqrt{x^{2}+1}-x}-1)\geq \frac{e^{x}}{\sqrt{x^{2}+1}+x}$ άρα $lim_{x\rightarrow +\propto }\frac{e^{x}}{x(\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}+1)}=+\propto (lim _{x\rightarrow +\propto }\frac{e^{x}}{x}=+\propto )$ ( το τελευταίο σε παρένθεση όριο από de l'hospital) άρα $lim_{x\rightarrow +\propto }(e^{\sqrt{x^{2}+1}}-e^{x})=+\propto$

Παρόμοια λύση από την Δημήτρη εδώ.

Ένα όριο ...

Ένα όριο ...

Re: Ένα όριο ...

Re: Ένα όριο ...

Re: Ένα όριο ...

Re: Ένα όριο ...

Re: Ένα όριο ...

Μέλη σε σύνδεση