Γ.Τ.

G.Tsikaloudakis · #1

(Μαθηματικα Λυκείου τευχ. 4ο)

Δίνονται οι μιγαδικοί z,w

με:

$z = \alpha + \beta i{\rm{ }}{\rm{, }}\mathop {}\nolimits_{} {\rm{ }}\mathop {}\nolimits_{} {\rm{ w = (}}\alpha ^2 - {\rm{2}}\alpha {\rm{) + }}\left( {\beta ^2 - {\rm{4}}\beta } \right)i{\rm{ }}{\rm{, }}\mathop {}\nolimits_{} {\rm{ }}\mathop {}\nolimits_{} {\rm{ }}\alpha ,\beta \in R$

και η εικόνα του

ανήκει στην ευθεία x + y - 4 = 0

.

1. Να βρεθεί ο γ. τ. της Μ(

).

2. Να βρεθεί αν υπαρχουν μιγαδικοι z,w

με τις παραπάνω συνθήκες , ώστε: |z| = |w|

Χρήστος Λαζαρίδης · #2

G.Tsikaloudakis έγραψε:(Μαθηματικα Λυκείου τευχ. 4ο)

Δίνονται οι μιγαδικοί με:

$z = \alpha + \beta i{\rm{ }}{\rm{, }}\mathop {}\nolimits_{} {\rm{ }}\mathop {}\nolimits_{} {\rm{ w = (}}\alpha ^2 - {\rm{2}}\alpha {\rm{) + }}\left( {\beta ^2 - {\rm{4}}\beta } \right)i{\rm{ }}{\rm{, }}\mathop {}\nolimits_{} {\rm{ }}\mathop {}\nolimits_{} {\rm{ }}\alpha ,\beta \in R$

και η εικόνα του ανήκει στην ευθεία .

1. Να βρεθεί ο γ. τ. της Μ().

2. Να βρεθεί αν υπαρχουν μιγαδικοι με τις παραπάνω συνθήκες , ώστε:

Πολύ ενδιαφέρον το 2.

1. $\displaystyle{ \left( {\alpha ^2 - 2\alpha } \right) + \left( {\beta ^2 - 4\beta } \right) - 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {\alpha ^2 - 2\alpha + 1} \right) + \left( {\beta ^2 - 4\beta + 4} \right) = 9 \Leftrightarrow \left( {\alpha - 1} \right)^2 + \left( {\beta - 2} \right)^2 = 3^2 }$
Ο γ.τ είναι ο κύκλος

, κέντρου $\displaystyle{K(1,2)}$ και ακτίνας 3.

2. Από την αρχή

, φέρνουμε τις διχοτόμους των αξόνων.
Η διχοτόμος $\displaystyle{y = x}$ τέμνει την ευθεία στο $\displaystyle{P(2,2)}$ .
Η διχοτόμος $\displaystyle{y = - x}$ τέμνει τον κύκλο C στο $\displaystyle{M( - 2,2)}$
Έχουμε: $\displaystyle{(OP) = (OM) = 2\sqrt 2 }$
Τα $\displaystyle{P,M}$ είναι οι εικόνες των w,z

αντίστοιχα.
Τελικά υπάρχουν μιγαδικοί και έχουν εικόνες τα $\displaystyle{P,M}$

Φιλικά Χρήστος

ΥΓ Περιμένω μία διερευνικότερη απάντηση στο 2.

dennys · #3

Τα σημεία τομής ευθείας και κύκλου επίσης ισαπέχουν απο το (0,0)

αρα εχουν ισα μέτρα.

φιλικά

Χρήστος Λαζαρίδης · #4

dennys έγραψε:Τα σημεία τομής ευθείας και κύκλου επίσης ισαπέχουν απο το αρα εχουν ισα μέτρα.

φιλικά

dennys

Νομίζω ότι δεν έχεις δίκιο.
Τα σημεία που αναφέρεις δεν ισαπέχουν απο το

.

Φιλικά Χρήστος

dennys · #5

κ. Λαζαρίδη γειά σας

Μαλλον πρέπει να ξαναδείτε την άσκηση,γιατί καμμιά φορά κάνουμε και λάθη.
Εδωσα την αποψή μου ,αλλά δυστυχώς , διαγράφηκε ( ΠΟΛΥ ΣΩΣΤΑ) διότι δεν ηταν σε latex.
Av δείτε καλύτερα υπάρχουν πολλά σημεία οπως σας εξήγησα.

Φιλικά dennys

Χρήστος Λαζαρίδης · #6

dennys έγραψε:κ. Λαζαρίδη γειά σας

Μαλλον πρέπει να ξαναδείτε την άσκηση,γιατί καμμιά φορά κάνουμε και λάθη.
Εδωσα την αποψή μου ,αλλά δυστυχώς , διαγράφηκε ( ΠΟΛΥ ΣΩΣΤΑ) διότι δεν ηταν σε latex.
Av δείτε καλύτερα υπάρχουν πολλά σημεία οπως σας εξήγησα.

Φιλικά dennys

dennys

Προσπαθώ να καταλάβω, αλλά δεν τα καταφέρνω.
Συμφωνώ ότι κάνουμε και λάθη και πρώτος πρώτος εγώ

Φιλικά Χρήστος

G.Tsikaloudakis · #7

Κατασκευάζοντας την άσκηση αυτή δεν εντόπισα την
δυσκολια του 2ου ερωτήματος.
Ευχαριστώ τον εκλεκτό συνάδελφο και συνεργάτη στον Ευκλέιδη Β΄ Χρήστο Λαζαρίδη,
καθώς και τον '' Dennys΄΄ για την ενασχόλιση με το Θέμα.
Επιχειρώ μια απάντηση στο 2ο .

2ο. Αν υπάρχουν z,w

τέτοιοι ώστε |z| = |w|

, θα πρέπει η μεσοκάθετη των είκόνων τους να διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
Θεωρώ τις εικόνες A, B

των

αντίστοιχα και

το μέσο του

.
Είναι :

$\begin{array}{l} M\left( {\frac{{\alpha ^2 - \alpha }}{2},\frac{{4 - \alpha ^2 + 2\alpha + \beta }}{2}} \right)\mathop {}\limits^{} \mathop {}\limits^{} ,\mathop {}\limits_{} \lambda _{OM} = \frac{{4 - \alpha ^2 + 2\alpha + \beta }}{{\alpha ^2 - \alpha }} \\ \\ \lambda _{AB} = \frac{{\beta - 4 + \alpha ^2 - 2\alpha }}{{\alpha ^2 - \alpha }} \\ \end{array}$

Οπότε πρέπει:

$\lambda _{AB} \lambda _{OM} = - 1{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left( {\beta - 4 + \alpha ^2 - 2\alpha } \right)\left( {4 - \alpha ^2 + 2\alpha + \beta } \right) = - \left( {\alpha ^2 - \alpha } \right)^2 \mathop {}\limits^{} \mathop {}\limits^{} , \alpha \ne 0,1$ (1)

Από την (1) και με δεδομένο ότι:

$\alpha ^2 + \beta ^2 = \left( {\alpha ^2 - 2\alpha } \right)^2 + \left( {4 + 2\alpha - \alpha ^2 } \right)^2$

καταλήγουμε στην εξίσωση:

$2\alpha ^2 \left( {\alpha ^2 - 3\alpha + 2} \right)^2 = 0\mathop {}\limits^{} \Rightarrow \mathop {}\limits^{} \alpha = 2$ .

Άρα $z = 2 \pm 2i\sqrt 2 {\rm{ }}\mathop {}\limits^{} ,\mathop {}\limits^{} w = 0 + 4i$

Υ.Γ. Πρέπει να ελέξουμε και για τις τιμές a=0

και

(εύκολο νομίζω)

dennys · #8

κ.Τσικαλουδάκη
Δεν πρέπει να παραβλέψουμε οτι οι μιγαδικοί εξαρτώνται και δεν κινούνται ανεξάρτητα στούς τόπους τους
Θα παρακαλούσα να μας εξηγήσετε τελικά στο 2ο ερώτημα οι μιγαδικοι θα 'σέρνονται ' με την δοθείσα σχέση ή οχι. Γιατί οι μιγαδικοί που μας
δίνετε δεν ακολουθούν τις σχέσεις ,με τα $\alpha$ και $,\beta$ .

Αν κάτι δεν βλέπω παρακαλώ να το πείτε
Ευχαριστω θερμά

S.E.Louridas · #9

Πάντως για a=1

και

έχουμε:
$z = 1 + 5i,\;w = - 1 + 5i \Rightarrow \left| z \right| = \left| w \right|\;\kappa \alpha \dot \iota \;w \in \left( {x + y - 4 = 0} \right),$ συνεπώς υπάρχει τουλάχιστον ένα ζεύγος μιγάδων (z,w)

.....

S.E.Louridas

hsiodos · #10

Σχετικά με το δεύτερο ερώτημα.

Ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του $\displaystyle{w}$ είναι η ευθεία $\varepsilon$ : x + y - 4 = 0

ενώ της εικόνας του μιγαδικού $\displaystyle{ z\,}$ ο κύκλος $\displaystyle{C\,\,}$ με κέντρο $\displaystyle{K(1,2)}$ και ακτίνα $\displaystyle{\,r = 3}$ .

1. Γιώργο στη λύση που δίνεις πιο πάνω υπάρχει λάθος στις πράξεις(στον συντελεστή διεύθυνσης της $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ ) . Αλλά και ο τρόπος που ακολουθείς νομίζω ότι δεν οδηγεί σε λύση αφού τα δεδομένα που χρησιμοποιείς $\displaystyle{ \lambda _{{\rm A}{\rm B}} \lambda _{{\rm O}{\rm M}} = - 1}$ και $\displaystyle{ \,\left| {\,z\,} \right| = \left| {\,w\,} \right|}$ είναι ισοδύναμα (οδηγούν στην ίδια σχέση) .

2. Εύκολα βρίσκουμε πως ο κύκλος $\displaystyle{C\,\,}$ τέμνει την ευθεία ε , έστω στα σημεία $\displaystyle{\Gamma ,\Delta }$ . Είναι λάθος να πούμε όμως ότι οι ζητούμενοι $\displaystyle{ z,w}$ είναι αυτοί που έχουν (ταυτόχρονα) εικόνα το $\displaystyle{\Gamma }$ ή το $\displaystyle{\Delta}$ . Και αυτό γιατί εύκολα διαπιστώνουμε ότι δεν υπάρχει ζεύγος $\displaystyle{ z,w}$ ώστε $\displaystyle{z = w}$ .

3. Υπήρχε μια απάντηση (του dennys;) που τώρα δεν βλέπω ,θεωρώ ότι ήταν σωστή και την γράφω λίγο πιο αναλυτικά.

Έχουμε $\displaystyle{d(O,\varepsilon ) = 2\sqrt 2 }$ , $\displaystyle{ \,\left| {\,w\,} \right|_{\min } = 3 - \sqrt 5 \,\,,\,\,\left| {\,w\,} \right|_{\max } = 3 + \sqrt 5 \,}$ δηλαδή $\displaystyle{ \left| {\,w\,} \right|_{\min } < d(O,\varepsilon ) < \,\left| {\,w\,} \right|_{\max } }$

Επομένως κάθε κύκλος $\displaystyle{(O,R)}$ με $\displaystyle{d(O,\varepsilon ) \le R \le \left| {\,w\,} \right|_{\max } }$ τέμνει (ή εφάπτεται) την ευθεία ε και τον κύκλο $\displaystyle{ C\,}$ . Κατά συνέπεια υπάρχουν άπειρα ζεύγη $\displaystyle{z,w}$ ώστε $\displaystyle{ \left| {\,z\,} \right| = \left| {\,w\,} \right|}$

: Γ.Τ.png (20.11 KiB) Προβλήθηκε 1919 φορές

Γιώργος

G.Tsikaloudakis · #11

Έγινε η διόρθωση στο αποτέλεσμα
$z = 2 \pm 2i\sqrt 2 \mathop {}\limits^{}$

Για τους z,w πρέπει να ισχύουν οι δοσμένες συνθήκες ,οπότε δεν είναι σωστή η παραπάνω απαντηση του ΄΄hsiodos''
Ευχαριστώ Φιλικά

Κώστας Μαλλιάκας · #12

Νομίζω ότι ούτε και το πρώτο ερώτημα είναι τόσο αθώο οπότε επηρεάζει και το δεύτερο. Όταν κατασκευάζουμε τέτοιες ασκήσεις χρειάζεται προσοχή και ειδικά όπως ανέφερε παραπάνω ο Dennys αν ο ένας μιγαδικός εξαρτάται από τον άλλο. Το ένα πρόβλημα είναι η φράση "γεωμετρικός τόπος" που χρησιμοποιούμε. Οι εικόνες του

ανήκουν στην ευθεία x+y-4=0

αλλά δεν την καλύπτουν όλη. είναι κάποια σημεία της ευθείας αφού το $x=\alpha ^{2}-2\bullet \alpha \geq -1$ και $y=\beta ^{2}-4\bullet \beta\geq -4$ οπότε ίσως μα μην έχουμε όλα τα στοιχεία του παραπάνω κύκλου και δεν είναι λοιπόν σίγουρα γεωμετρικός τόπος ο κύκλος αυτός εκτός και αν αποδειθεί ότι γίνεται. Ψάχνω τρόπο παρουσίασης με geogebra και θα επανέλθω αν τα καταφέρω σύντομα. Πάντως πιστεύω ότι η άσκηση πρέπει να προσεχθεί.

#13

Κώστας Μαλλιάκας έγραψε:Νομίζω ότι ούτε και το πρώτο ερώτημα είναι τόσο αθώο οπότε επηρεάζει και το δεύτερο. Όταν κατασκευάζουμε τέτοιες ασκήσεις χρειάζεται προσοχή και ειδικά όπως ανέφερε παραπάνω ο Dennys αν ο ένας μιγαδικός εξαρτάται από τον άλλο. Το ένα πρόβλημα είναι η φράση "γεωμετρικός τόπος" που χρησιμοποιούμε. Οι εικόνες του Z ανήκουν στην ευθεία x+y-4=0 αλλά δεν την καλύπτουν όλη. είναι κάποια σημεία της ευθείας αφού το $x=\alpha ^{2}-2\bullet \alpha \geq -1$ και $y=\beta ^{2}-4\bullet \beta\geq -4$ οπότε δεν θα έχουμε όλα τα στοιχεία του παραπάνω κύκλου και δεν είναι λοιπόν γεωμετρικός τόπος ο κύκλος αυτός. Ψάχνω τρόπο παρουσίασης με geogebra και θα επανέλθω αν τα καταφέρω σύντομα. Πάντως πιστεύω ότι η άσκηση πρέπει να προσεχθεί.

Κώστα δεν είναι οι εικόνες του $\displaystyle{ z }$ αλλά οι εικόνες του $\displaystyle{ w }$ που κινούνται πάνω σε αυτήν την ευθεία.

Κώστας Μαλλιάκας · #14

chris_gatos έγραψε:
Κώστας Μαλλιάκας έγραψε:Νομίζω ότι ούτε και το πρώτο ερώτημα είναι τόσο αθώο οπότε επηρεάζει και το δεύτερο. Όταν κατασκευάζουμε τέτοιες ασκήσεις χρειάζεται προσοχή και ειδικά όπως ανέφερε παραπάνω ο Dennys αν ο ένας μιγαδικός εξαρτάται από τον άλλο. Το ένα πρόβλημα είναι η φράση "γεωμετρικός τόπος" που χρησιμοποιούμε. Οι εικόνες του Z ανήκουν στην ευθεία x+y-4=0 αλλά δεν την καλύπτουν όλη. είναι κάποια σημεία της ευθείας αφού το $x=\alpha ^{2}-2\bullet \alpha \geq -1$ και $y=\beta ^{2}-4\bullet \beta\geq -4$ οπότε δεν θα έχουμε όλα τα στοιχεία του παραπάνω κύκλου και δεν είναι λοιπόν γεωμετρικός τόπος ο κύκλος αυτός. Ψάχνω τρόπο παρουσίασης με geogebra και θα επανέλθω αν τα καταφέρω σύντομα. Πάντως πιστεύω ότι η άσκηση πρέπει να προσεχθεί.
Κώστα δεν είναι οι εικόνες του $\displaystyle{ z }$ αλλά οι εικόνες του $\displaystyle{ w }$ που κινούνται πάνω σε αυτήν την ευθεία.

Ναι Χρήστο, έχεις δίκιο αυτό εννοούσα και εξάλλου αυτό χρησιμοποιώ , αλλά ευχαριστώ για την διόρθωση. Με λίγο ακόμη ψάξιμο και με την βοήθεια λογισμικού είδα τελικά αν δεν μου ξεφεύγει κάτι ότι καλύπτονται όλα τα σημεία του κύκλου και εξηγώ γιατί:
Οι εικόνες του

κινούνται στο ευθύγραμμο τμήμα της παραπάνω ευθείας με άκρα A(-1,5)

και

οπότε είναι $-1\leq x\leq 8$ και $-4\leq y\leq 5$ οπότε τελικά $-2\leq \alpha \leq 4$ και $-1\leq \beta \leq 5$ που αυτό ισχύει για όλα τα σημεία του παραπάνω κύκλου. Τώρα νομίζω αποδείχθηκε ότι αυτός ο κύκλος είναι ο ζητούμενος γ.τ.

Κώστας Μαλλιάκας · #15

Προσπαθώντας με το Sketcpad να ερμηνεύσω την άσκηση έφτιαξα το συννημένο αρχείο και κάτι δεν πάει καλά. Δείχνει τελικά να μην καλύπτεται όλος ο κύκλος. Αν κάποιος ξέρει και το λογισμικό ας ρίξει μια ματιά...

Χρήστος Λαζαρίδης · #16

G.Tsikaloudakis έγραψε:(Μαθηματικα Λυκείου τευχ. 4ο)
Δίνονται οι μιγαδικοί με:
$z = \alpha + \beta i{\rm{ }}{\rm{, }}\mathop {}\nolimits_{} {\rm{ }}\mathop {}\nolimits_{} {\rm{ w = (}}\alpha ^2 - {\rm{2}}\alpha {\rm{) + }}\left( {\beta ^2 - {\rm{4}}\beta } \right)i{\rm{ }}{\rm{, }}\mathop {}\nolimits_{} {\rm{ }}\mathop {}\nolimits_{} {\rm{ }}\alpha ,\beta \in R$
και η εικόνα του ανήκει στην ευθεία .
1. Να βρεθεί ο γ. τ. της Μ().
2. Να βρεθεί αν υπαρχουν μιγαδικοι με τις παραπάνω συνθήκες , ώστε:

Μία προσπάθεια "τακτοποίησης" της άσκησης.
Σύμφωνα με την εκφώνηση του Γιώργου ο γ.τ της εικόνας του

είναι η ευθεία ε, με εξίσωση,
$\displaystyle{ x + y - 4 = 0 }$

Δηλαδή, κάθε εικόνα του

ανήκει στην ε και κάθε σημείο της ε είναι εικόνα του

.
Αυτό όμως δεν συμβαίνει.
Για παράδειγμα $\displaystyle{E(2, - 6) \in \varepsilon }$ , άρα,
$\displaystyle{w = - 2 + 6i \Rightarrow \alpha ^2 - 2\alpha = - 2 \Rightarrow \alpha ^2 - 2\alpha + 2 = 0}$ , άτοπο.
Φαίνεται λοιπόν ότι δεν είναι σωστή η εκφώνηση.

$\displaystyle{(x,y) \in \varepsilon }$ , εαν και μόνο εάν, υπάρχουν $\displaystyle{\alpha ,\beta \in R}$ , ώστε:
$\displaystyle{ \begin{array}{*{20}c} {\alpha ^2 - 2\alpha = x} \\ {\beta ^2 - 4\beta = y} \\ \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{*{20}c} {\alpha ^2 - 2\alpha - x = 0} \\ {\beta ^2 - 4\beta - y = 0} \\ \end{array} }$
$\displaystyle{ \begin{array}{*{20}c} {4 + 4x \ge 0} \\ {16 + 4y \ge 0} \\ \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{*{20}c} {x \ge - 1} \\ {y \ge - 4} \\ \end{array} }$
Με τους προηγούμενους περιορισμούς , μπορούμε να θεωρήσουμε ως γ.τ των εικόνων του w το ευθύγραμμο τμήμα $\displaystyle{AB}$ ,
$\displaystyle{A( - 1,5),B(8, - 4)}$
Όσο τώρα αφορά τον κύκλο $\displaystyle{C:(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9}$ , δεν είναι ολόκληρος αλλά το τόξο του,
$\displaystyle{ CD }$
,όπου, $\displaystyle{C( - 1,2 + \sqrt 5 ),D( - 1,2 - \sqrt 5 )}$

Φιλικά Χρήστος

hsiodos · #17

G.Tsikaloudakis έγραψε:Έγινε η διόρθωση στο αποτέλεσμα
$z = 2 \pm 2i\sqrt 2 \mathop {}\limits^{}$

Για τους z,w πρέπει να ισχύουν οι δοσμένες συνθήκες ,οπότε δεν είναι σωστή η παραπάνω απαντηση του ΄΄hsiodos''
Ευχαριστώ Φιλικά

Γιώργο όσον αφορά την διαπραγμάτευση μου έχεις δίκιο , υπάρχουν λάθη τα οποία θα επισημάνω σε επόμενο μήνυμα μου.

Ωστόσο το αποτέλεσμα που δίνεις νομίζω δεν είναι σωστό, ικανοποιεί τις υποθέσεις; Εξ 'άλλου ο Σωτήρης πιο πάνω έχει παρουσιάσει μια λύση που δεν βρίσκεις. Αν θέλεις παρουσίασε αναλυτικά και πάλι την λύση σου.

Φιλικά
Γιώργος

hsiodos · #18

Καλό μεσημέρι σε όλους

1. Στην απάντηση που έχω δώσει πιο πάνω πράγματι υπάρχουν λάθη. Όπως επισημαίνει και ο Κώστας ο γεωμετρικός τόπος
της εικόνας του $\displaystyle{w}$ δεν είναι η ευθεία $\displaystyle{x + y - 4 = 0}$ αλλά το ευθύγραμμο τμήμα $\displaystyle{AB}$ (επί της προηγούμενης ευθείας) με $\displaystyle{ {\rm A}( - 1,5)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,{\rm B}(8, - 4)}$ .

Είναι $\displaystyle{w = (a^2 - 2a) + (\beta ^2 - 4\beta )i\,}$ και η εικόνα του $\displaystyle{w}$ βρίσκεται στην ευθεία $\displaystyle{x + y - 4 = 0}$ από όπου βρίσκουμε $\displaystyle{ (a^2 - 2a) + (\beta ^2 - 4\beta ) - 4 = 0\,\,\,(1)\,}$ ή $\displaystyle{(a - 1)^2 + (\beta - 2)^2 = 9\,\,(2)}$

$\displaystyle{ (2) \Rightarrow 9 - (a - 1)^2 \ge 0 \Leftrightarrow - 2 \le \alpha \le 4}$ και $\displaystyle{ (2) \Rightarrow 9 - (\beta - 2)^2 \ge 0 \Leftrightarrow - 1 \le \beta \le 5}$

Αν θεωρήσουμε την συνάρτηση $\displaystyle{ f(a) = a^2 - 2a\,\,, - 2 \le \alpha \le 4}$ βρίσκουμε ότι έχει σύνολο τιμών το $\displaystyle{ \,[ - 1,8]\,}$ οπότε αν $\displaystyle{ - 1 \le \alpha ^2 - 2\alpha \le 8}$ από την (1) παίρνουμε $\displaystyle{ - 1 \le \beta \le 5}$ .
Συνεπώς οι εικόνες του $\displaystyle{w}$ είναι τα σημεία του τμήματος ΑΒ . (Μπορούμε ακόμη να δούμε ότι η συνάρτηση $\displaystyle{ g(\beta ) = \beta ^2 - 4\beta , - 1 \le \beta \le 5}$ έχει σύνολο τιμών το $\displaystyle{[ - 4,5]}$ )

2. Ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του $\displaystyle{z}$ είναι ο κύκλος με κέντρο $\displaystyle{{\rm K}(1,2)}$ και ακτίνα $\displaystyle{ \rho = 3}$ .
Ένας τρόπος για να φανεί αυτό και με την βοήθεια ενός προγράμματος είναι:

Θέτουμε $\displaystyle{ \kappa = a^2 - 2a\,\,,\,\,\lambda = \beta ^2 - 4\beta }$

Τότε βρίσκουμε (για τον z) ότι: $\displaystyle{ z_1 = \left( {1 + \sqrt {1 + \kappa } } \right) + \left( {2 + \sqrt {4 + \lambda } } \right)i }$ ή $\displaystyle{ z_2 = \left( {1 - \sqrt {1 + \kappa } } \right) + \left( {2 + \sqrt {4 + \lambda } } \right)i}$ ή $\displaystyle{ z_3 = \left( {1 + \sqrt {1 + \kappa } } \right) + \left( {2 - \sqrt {4 + \lambda } } \right)i }$ ή $\displaystyle{ z_4 = \left( {1 - \sqrt {1 + \kappa } } \right) + \left( {2 - \sqrt {4 + \lambda } } \right)i\,}$

Καθώς η εικόνα του $\displaystyle{w}$ καλύπτει το ευθύγραμμο ΑΒ οι εικόνες των $\displaystyle{ z_{1,} z_2 ,z_3 ,z_4 }$ καλύπτουν τον κύκλο (από ένα τεταρτημόριο η καθεμιά).
Επισυνάπτω το σχετικό αρχείο.

: ΓΤ.png (39.57 KiB) Προβλήθηκε 1731 φορές

3. Σχετικά με το δεύτερο ερώτημα. Η απάντηση που έχω δώσει δεν είναι σωστή αφού οι $\displaystyle{ z,w}$ είναι συσχετισμένοι. Έτσι όταν για παράδειγμα η εικόνα του $\displaystyle{ w}$ είναι το σημείο $\displaystyle{P}$ (σχήμα στην πρώτη μου απάντηση) αυτό δεν σημαίνει ότι η εικόνα του $\displaystyle{ z}$ θα είναι κάποιο από τα σημεία $\displaystyle{H,G}$ (ίδιο σχήμα)

Το ερώτημα αυτό χρειάζεται περαιτέρω διερεύνηση.

Γιώργος

G.Tsikaloudakis · #19

Τώρα που ξανακοιτάζω τη λύση βλέπω κάποιο λάθος στη λύση μου.

Όσο για τα δεδομένα , νομίζω ότι δεν υπάρχει ασάφεια.

Λέμε: Δίνονται οι μιγαδικοί $z = \alpha + \beta i$

$w = (\alpha ^2 - 2\alpha ) + (\beta ^2 - 4\beta )i\mathop {}\limits^{} ,\mathop {}\limits^{} \alpha ,\beta \in R$

(δηλαδή οι

είναι της μορφής

$w = (\alpha ^2 - 2\alpha ) + (\beta ^2 - 4\beta )i$ )
και εικόνες τους ανήκουν στην ευθεία

$\varepsilon :{\rm{ }}\mathop {}\limits^{} {\rm{ }}x + y - 4 = 0$

Η έκφραση ΄΄ανήκουν στην ευθεία'' δεν σημαίνει ότι οι εικόνες των υποχρεωτικά
καλύπτουν την ευθεία $\varepsilon$ .

Άρα , λόγω περιορισμών των τιμών του ${\mathop{\rm Re}\nolimits} (w)$
και ${\mathop{\rm Im}\nolimits} (w)$

ο γ.τ. των εικόνων των

είναι ευθύγραμμο τμήμα (όπως πολύ σωστα
αναφέρθηκε)
Όμως ο γ. τ. των εικόνων των

είναι όλος ο κύκλος.

Για λόγους πληρότητας των ερωτημάτων , μπορούμε να τα διαμορφώσουμε
ως εξής:

1. Να βρεθεί ο γ.τ. των εικόνων των

2. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν μιγαδικοί z,w

με ίσα μέτρα που
να ικανοποιούν τις παραπάνω συνθήκες.

3. Να βρεθεί το πλήθος των μιγαδικών z,w

ικανοποιούν τις παραπάνω συνθήκες και έχουν ίσα μέτρα

Έτσι έχουμε απαντήσει στο 1 .και 2 .

Όπως πολυ σωστά βρήκε ο συναδελφος Σωτήρης , για α=1 ικανοποιείται η 2.
Αυτό προκύπτει και από τη δική μου λύση, (διορθωμένη) ως εξής:

Αν A, B

είναι οι εικόνες των z,w

αντίστοιχα και

το μέσο του

, τότε από τη σέχση:

$\lambda _{OM} \cdot \lambda _{AB} = - 1$

βρίσκουμε τελικά:

$4\beta = (4 - \alpha ^2 + 2\alpha )^2 + (\alpha ^2 - \alpha )(\alpha ^2 - 3\alpha ) - (4 - \alpha ^2 + 2\alpha )$
(2)

Από τη (2) για $\alpha = 1$
προκύπτει

$z = 1 + 5i\mathop {}\limits^{} \mathop {}\limits^{}, w = - 1 + 5i$

Με βάση τώρα την (2) μπορούμε να δούμε το 3ο ερώτημα.

#20

G.Tsikaloudakis έγραψε:Τώρα που ξανακοιτάζω τη λύση βλέπω κάποιο λάθος στη λύση μου.

Όσο για τα δεδομένα , νομίζω ότι δεν υπάρχει ασάφεια.

Λέμε: Δίνονται οι μιγαδικοί $z = \alpha + \beta i$

$w = (\alpha ^2 - 2\alpha ) + (\beta ^2 - 4\beta )i\mathop {}\limits^{} ,\mathop {}\limits^{} \alpha ,\beta \in R$

(δηλαδή οι είναι της μορφής

$w = (\alpha ^2 - 2\alpha ) + (\beta ^2 - 4\beta )i$ )
και εικόνες τους ανήκουν στην ευθεία

$\varepsilon :{\rm{ }}\mathop {}\limits^{} {\rm{ }}x + y - 4 = 0$

Η έκφραση ΄΄ανήκουν στην ευθεία'' δεν σημαίνει ότι οι εικόνες των υποχρεωτικά
καλύπτουν την ευθεία $\varepsilon$ .

Άρα , λόγω περιορισμών των τιμών του ${\mathop{\rm Re}\nolimits} (w)$
και ${\mathop{\rm Im}\nolimits} (w)$

ο γ.τ. των εικόνων των είναι ευθύγραμμο τμήμα (όπως πολύ σωστα
αναφέρθηκε)
Όμως ο γ. τ. των εικόνων των είναι όλος ο κύκλος.

Για λόγους πληρότητας των ερωτημάτων , μπορούμε να τα διαμορφώσουμε
ως εξής:

1. Να βρεθεί ο γ.τ. των εικόνων των

2. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν μιγαδικοί με ίσα μέτρα που
να ικανοποιούν τις παραπάνω συνθήκες.

3. Να βρεθούν όλοι οι μιγαδικοί ικανοποιούν τις παραπάνω συνθήκες και έχουν ίσα μέτρα

Έτσι έχουμε απαντήσει στο 1 .και 2 .

Όπως πολυ σωστά βρήκε ο συναδελφος Σωτήρης , για α=1 ικανοποιείται η 2.
Αυτό προκύπτει και από τη δική μου λύση, (διορθωμένη) ως εξής:

Αν είναι οι εικόνες των αντίστοιχα και το μέσο του , τότε από τη σέχση:

$\lambda _{OM} \cdot \lambda _{AB} = - 1$

βρίσκουμε τελικά:

$4\beta = (4 - \alpha ^2 + 2\alpha )^2 + (\alpha ^2 - \alpha )(\alpha ^2 - 3\alpha ) - (4 - \alpha ^2 + 2\alpha )$
(2)

Από τη (2) για $\alpha = 1$
προκύπτει

$z = 1 + 5i\mathop {}\limits^{} \mathop {}\limits^{}, w = - 1 + 5i$

Με βάση τώρα την (2) μπορούμε να δούμε το 3ο ερώτημα.

Τελικά, ό,τι και αν κάνουμε, για το τρίτο ερώτημα, πρέπει να λύσουμε το σύστημα:

a^2-2a+b^2-4b=4

που είναι ζόρικο!

Γ.Τ.

Γ.Τ.

Re: Γ.Τ.

Re: Γ.Τ.

Re: Γ.Τ.

Re: Γ.Τ.

Re: Γ.Τ.

Re: Γ.Τ.

Re: Γ.Τ.

Re: Γ.Τ.

Re: Γ.Τ.

Re: Γ.Τ.

Re: Γ.Τ.

Re: Γ.Τ.

Re: Γ.Τ.

Re: Γ.Τ.

Re: Γ.Τ.

Re: Γ.Τ.

Re: Γ.Τ.

Re: Γ.Τ.

Re: Γ.Τ.

Μέλη σε σύνδεση