Σύνολα!

#1

Να προσδιορίσετε τα σύνολα

και

αν ισχύουν οι ακόλουθες συνθήκες:

$\bullet A\cup B=\mathbb{Z}$
$\bullet$ αν $x\in A$ τότε $\left( x-1\right) \in B$
$\bullet$ αν $x,y\in B$ τότε $\left( x+y\right) \in A.$

Αρχιμήδης 6 · #2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

dement · #3

Μια άλλη λύση είναι η $A = 2 \mathbb{Z}, B = 2 \mathbb{Z} + 1$ . Μήπως υπάρχει και η επιπλέον συνθήκη $A \cap B = \emptyset$ ;

#4

Το πρόβλημα είναι έτσι ακριβώς.

Οι λύσεις είναι οι δύο που αναφέρθηκαν!

Αρχιμήδης 6 · #5

Σωκράτη μπόρεις να αναρτήσεις την υπόδειξη?

#6

Αρχιμήδης 6 έγραψε:Σωκράτη μπόρεις να αναρτήσεις την υπόδειξη?

Δεν υπάρχει λόγος για υπόδειξη. Η άσκηση είναι προσιτή.

Mulder · #7

$\bullet A\cup B=\mathbb{Z}, (1)$
$\bullet$ αν $x\in A$ τότε $\left( x-1\right) \in B ,(2)$
$\bullet$ αν $x,y\in B$ τότε $\left( x+y\right) \in A ,(3)$

Προφανής λύση η A=B=Z

.

Έστω ότι $A\neq Z$ ἠ $B\neq Z$ ,(4)

Àν $0\in B$ $\overset{3}{\Rightarrow}$ $(\forall x \in B \Rightarrow x\in A ) \Rightarrow B\subset A \Rightarrow A\cup B=A=Z$ .Τότε όμως απ'την (2) B=Z

άτοπο λόγω της (4).

Άρα $0\notin B \overset{1}{\Rightarrow} 0\in A \overset{2}{\Rightarrow} -1\in B$

Aν $3\notin B \overset{1}{\Rightarrow} 3\in A \overset{2}\Rightarrow 2\in B \overset{3:x=-1,y=2}{\Rightarrow} 1\in A \overset{2}{\Rightarrow} 0\in B$ ,ἀτοπο άρα $3\in B$

Tελικά, $\forall x \in A \Rightarrow (x-1) \in B \overset{3:x=x-1,y=-1}{\Rightarrow} x-2 \in A$ , (α)
$\forall x \in A \Rightarrow (x-1) \in B \overset{3:x=x-1,y=3}{\Rightarrow} x+2 \in A$ (β) και
$0\in A$ ,

άρα $2Z\subset A$ .

Αν $y\in (2Z+1)\cap A$ ,τότε y=2k+1

για κάποιο $k\in Z$ και με τις συνεπαγωγές (α) ,(β) έχουμε τελικά ότι A=Z

και πάλι απτή (2) B=Z

άτοπο.

Άρα πρἐπει 2Z=A

.

Τώρα για κάθε $z\in Z$ της μορφής z=2k+1

ἐχουμε ότι $2k+2\in A \overset{2}{\Rightarrow} z\in B$ , άρα $2Z+1\subset B$ ενώ αν υπάρχει κάποιο $a=2k\in B$ τότε $\overset{3:x=2k,y=1}{\Rightarrow} 2k+1\in A$ ,ἀτοπο, άρα πρέπει και B=2Z+1

.

Επαληθεύουμε τώρα ότι και τα σύνολα A=2Z , B=2Z+1

επαληθεύουν τις αρχικές συνθήκες.

#8

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε τα σύνολα και αν ισχύουν οι ακόλουθες συνθήκες:

$\bullet A\cup B=\mathbb{Z}$ (1)
$\bullet$ αν $x\in A$ τότε $\left( x-1\right) \in B$ (2)
$\bullet$ αν $x,y\in B$ τότε $\left( x+y\right) \in A.$ (3)

Μικρή παραλλαγή, αλλά είναι όπως την σκέφτηκα:

Αν $0\in B$ τότε από (3) $B\subseteq A$ οπότε από (1) $\mathbb Z = A\cup B = A$ και από (2) $B= \mathbb Z$ . Μπορούμε λοιπόν να υποθέσουμε ότι $0\not \in B$ και άρα $0\in A$ .

Από αυτό και με εναλλάξ χρήση των (2), (3) εύκολα βλέπουμε, διαδοχικά, ότι $-1\in B, -2\in A, -3\in B, -4 \in A, ...$ (*).

Τώρα, αν $1\in A$ τότε από την (2) ισχύει $0\in B$ και την περίπτωση αυτή την έχουμε εξετάσει. Οπότε μπορούμε να υποθέσουμε $1\not \in A, \, 1\in B$ . Από εδώ και με χρήση της (*) και της (3), κανένας θετικός άρτιος δεν είναι στο

(δηλαδή είναι όλοι στο

) γιατί αλλιώς $1 = 2k+(-2k+1)\in A$ . Συνεπώς από (2) όλοι οι περιττοί θετικοί είναι στο

και όμοια, κανένας θετικός περιττός δεν είναι στο

. Συνεπώς, σε αυτή την περίπτωση, $A= 2\mathbb Z, B = 2\mathbb Z +1$ .

Φιλικά,

Μιχάλης

Σύνολα!

Σύνολα!

Re: Σύνολα!

Re: Σύνολα!

Re: Σύνολα!

Re: Σύνολα!

Re: Σύνολα!

Re: Σύνολα!

Re: Σύνολα!

Μέλη σε σύνδεση