Ισόπλευρο

#1

Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδική τριάδα σημείων A,B,C

που ανήκουν στην καμπύλη $x^{3}+3xy+y^{3}=1$ και αποτελούν κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου.

#2

socrates έγραψε:Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδική τριάδα σημείων που ανήκουν στην καμπύλη $x^{3}+3xy+y^{3}=1$ και αποτελούν κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου.

Γνωρίζουμε ότι αν $\displaystyle{a,b,c\in \mathbb{R}}$ με $\displaystyle{a^3+b^3+c^3=3abc,}$ τότε είναι $\displaystyle{a=b=c}$ ή $\displaystyle{a+b+c=0.}$

Επομένως, για τα σημεία $\displaystyle{M(x,y)}$ της καμπύλης $\displaystyle{x^3+3xy+y^3=1}$ , ισχύει $\displaystyle{x=y=-1}$ ή $\displaystyle{x+y-1=0.}$

Με άλλα λόγια, τα σημεία της καμπύλης είναι το $\displaystyle{C(-1,-1)}$ και τα σημεία της ευθείας $\displaystyle{y=1-x.}$

Τώρα, είναι φανερό, ότι αν $\displaystyle{C}$ σημείο εκτός ευθείας, μπορούμε να βρούμε σημεία $\displaystyle{A,B}$ της ευθείας, ώστε τα $\displaystyle{A,B,C}$ να είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου.

Μάλιστα, στη συγκεκριμένη περίπτωση μπορούμε να βρούμε τα σημεία $\displaystyle{A,B}$ . Αν $\displaystyle{A(a,1-a)}$ και $\displaystyle{B(b,1-b)}$ , από τις συνθήκες $\displaystyle{CA=CB=AB,}$ αναγόμαστε στο σύστημα

$\displaystyle{2a^2-2a+5=2b^2-2b+5=2(a-b)^2,}$ του οποίου λύσεις, εύκολα βρίσκουμε ότι είναι οι $\displaystyle{a=\frac{1-\sqrt{3}}{2}, b=\frac{1+\sqrt{3}}{2}.}$

Ισόπλευρο

Ισόπλευρο

Re: Ισόπλευρο

Μέλη σε σύνδεση