Δεν μας τα λες καλά , ούτε όλα !

KARKAR · #1

Α) Λύσετε την ανίσωση : $\sigma \upsilon \nu 2x-\eta \mu 2x<0$ , για $x\in[0 , \pi)$

Β) Δείξτε ότι : $\displaystyle \eta \mu 2x=\frac{2\varepsilon \varphi x}{1+\varepsilon \varphi ^{2}x} ,...., \sigma \upsilon \nu 2x=\frac{1-\varepsilon \varphi ^{2}x}{1+\varepsilon \varphi ^{2}x}$

Γ) Λύστε τώρα , με χρήση των νέων τύπων την ανίσωση του ερωτήματος Α) .

Σημειώστε τις παρατηρήσεις σας !

Γιώργος Απόκης · #2

Καλησπέρα. Δε μπορούσα να μην παρανομήσω!

(Ας μου επιτρέψει ο Θανάσης να χρησιμοποιήσω sin,cos,tan,cot)

Α) Έχουμε: $\displaystyle{cos 2x-sin 2x<0\Leftrightarrow cos2x-cos\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)<0\Leftrightarrow -2sin\frac{2x+\frac{\pi}{2}-2x}{2}sin\frac{2x-\frac{\pi}{2}+2x}{2}<0\Leftrightarrow -2sin\frac{\pi}{4}sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)<0\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)>0 }$ και αφού $x \in [0,\pi)$ έχουμε $\displaystyle{0<2x-\frac{\pi}{4}<\pi\Leftrightarrow \frac{\pi}{8}<x<\frac{5\pi}{8} }$ .

B) $\displaystyle{sin2x=2sinxcosx=\frac{2sinxcosx}{cos^2x+sin^2x}=\frac{\frac{2sinxcosx}{cos^2x}}{\frac{cos^2x+sin^2x}{cos^2x}}=\frac{2tanx}{1+tan^2x},~cosx\ne 0}$ και

$\displaystyle{cos2x=cos^2x-sin^2x=\frac{cos^2x-sin^2x}{cos^2x+sin^2x}=\frac{\frac{cos^2x-sin^2x}{cos^2x}}{\frac{cos^2x+sin^2x}{cos^2x}}=\frac{1-tan^2x}{1+tan^2x},~cosx\ne 0}$ .

Γ) Θα αποδείξω, αρχικά, ότι $\displaystyle{tan\frac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1,~tan\frac{5\pi}{8}=-\sqrt{2}-1}$ .

Είναι $\displaystyle{tan^2\frac{\pi}{8}=\frac{1-cos\frac{\pi}{4}}{1+cos\frac{\pi}{4}}=\frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}=\frac{(2-\sqrt{2})^2}{4-2}=3-2\sqrt{2}=(1-\sqrt{2})^2}$ άρα $\displaystyle{tan\frac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1}$ και

$\displaystyle{tan\frac{5\pi}{8}=tan\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{8}\right)=-cot\frac{\pi}{8}=-\frac{1}{tan\frac{\pi}{8}}=-\frac{1}{\sqrt{2}-1}=-\sqrt{2}-1}$

H αρχική ανίσωση ικανοποιείται για $\color{red}x=\frac{\pi}{2}\color{black}$ . Για $x\ne \frac{\pi}{2}$ , με αντικατάσταση προκύπτει:

$\displaystyle{\frac{1-tan^2x}{1+tan^2x}-\frac{2tanx}{1+tan^2x}<0\Leftrightarrow 1-tan^2x-2tanx<0$ . To τριώνυμο έχει ρίζες $\sqrt{2}-1,~-\sqrt{2}-1$ και λόγω της μονοτονίας της εφαπτομένης, έχουμε

$\displaystyle{x\in \left(\frac{\pi}{8},\frac{\pi}{2} \right)\cup \left(\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{8} \right) }$ . Τελικά, αφού το $x=\frac{\pi}{2}$ είναι λύση, έχουμε $\displaystyle{x\in \left(\frac{\pi}{8},\frac{5\pi}{8} \right)}$ .

Χρήστος Λαζαρίδης · #3

Λύσετε την ανίσωση : $\sigma \upsilon \nu 2x-\eta \mu 2x<0$ , για $x\in[0 , \pi)$

Μία προσπάθεια για το πρώτο ερώτημα στα νόμιμα πλαίσια της ύλης.
Μία λύση από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων.
Θέτουμε $\displaystyle{2x = y,y \in [0,2\pi )}$
η ανίσωση ισοδυμαμεί με την ανίσωση, $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu y < \eta \mu y}$
Η γραφική πράσταση της $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu y}$ , βρίσκεται "κάτω" από την γραφική παράσταση της $\displaystyle{\eta \mu y}$ , όταν
$\displaystyle{y \in (\frac{\pi }{4},\frac{{5\pi }}{4}) \Leftrightarrow x \in (\frac{\pi }{8},\frac{{5\pi }}{8})}$

Φιλικά Χρήστος

Δεν μας τα λες καλά , ούτε όλα !

Δεν μας τα λες καλά , ούτε όλα !

Re: Δεν μας τα λες καλά , ούτε όλα !

Re: Δεν μας τα λες καλά , ούτε όλα !

Μέλη σε σύνδεση