Ανισότητα στους πραγματικούς 3

Dreamkiller · #1

Αν οι πραγματικοί αριθμοί a,b,c

έχουν άθροισμα

να αποδείξετε ότι

$a^4+b^4+c^4+abc \geq a^3+b^3+c^3$

Δείτε και εδώ.

#2

Η ανισότητα γράφεται

$2(a^4+b^4+c^4)+abc(a+b+c)\geq (a^3+b^3+c^3)(a+b+c)$ και με τις απλοποιήσεις γίνεται

$a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c)\geq a(b^3+c^3)+b(c^3+a^3)+c(a^3+b^3)$ που είναι η ανισότητα Schur νια n=2.

Πρακτικά δηλαδή η αρχική είναι ισοδύναμη με την ανισότητα Schur.

Dreamkiller · #3

Ωχ, σωστά. Νόμιζα πως ήταν πιο σφιχτή, συγγνώμη.

Nick1990 · #4

Αφαιρόντας 3abc

και από τα 2 μέλη, και χρησημοποιόντας την ταυτότητα Euler στο δεξί μέλος και τη συνθήκη όπου χρειάζεται, η ανισότητα ισοδύναμα γράφεται:

$a^4 + b^4 + c^4 - a^2b^2 - b^2c^2 - c^2a^2 + a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 - abc(a + b + c) \geq 2(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) \Leftrightarrow \frac{1}{2}[(a^2 - b^2)^2 + (b^2 - c^2)^2 + (c^2 - a^2)^2 + (ab - bc)^2 + (bc - ca)^2 + (ca - ab)^2] \geq (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sum_{cyclic}{(a - b)^2[(a + b)^2 + c^2 - 2]} \geq 0$

Το οποίο είναι προφανές αφού από C.S:
$(a + b)^2 + c^2 \geq \frac{1}{2}(a + b + c)^2 = \frac{4}{2} = 2$ από τη συνθήκη, και κυκλικά.

Το ωραίο με αυτές τις ανισότητες που δεν έχουν ισότητα την τετριμένη a=b=c, είναι ότι σε αρκετά βήματα χάνονται οι ισότητες, αλλά αυτό δεν μετράει διότι υπάρχουν συντελεστές που μηδενίζονται. Εδώ πχ η ισότητα στην C.S ισχύει όταν a+b=c

, αλλά μπορεί να έχουμε γενικά ισότητα και χωρίς να ισχύει αυτό εαν ο συντελεστής (a-b)^2

γίνεται

. Οπότε εξετάζοντας τις 2 αυτές περιπτώσεις σε κάθε κυκλική μετάθεση, βρήσκουμε ότι η ισότητα στην παραπάνω ανισότητα ισχύει όταν $(a,b,c) \in \{(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)\}$ . Επίσης έχουμε και την περίπτωση a=b=c

Edit: Μόλις είδα το ποστ του Σιλ.. τελικά ήταν όντως πολύ χαλαρή, και αυτό φαίνεται και από το ότι ανάγεται εύκολα σε άθροισμα όπου όλοι οι όροι είναι θετικοί με μεγάλη χαλαρότητα (αφού εφαρμόζεται c.s σε κάθε όρο).

Ανισότητα στους πραγματικούς 3

Ανισότητα στους πραγματικούς 3

Re: Ανισότητα στους πραγματικούς 3

Re: Ανισότητα στους πραγματικούς 3

Re: Ανισότητα στους πραγματικούς 3

Μέλη σε σύνδεση