Όριο

#1

Έστω $f:\mathbb{R}^*_+\to \mathbb{R}^*_+$ παραγωγίσιμη συνάρτηση τέτοια ώστε f(f(x))=x,

για κάθε

Αν $f(2011)\ne 2011,$ να βρεθεί το όριο $\displaystyle \lim_{x\to \infty} f(x).$

#2

socrates έγραψε:Έστω $f:\mathbb{R}^*_+\to \mathbb{R}^*_+$ παραγωγίσιμη συνάρτηση τέτοια ώστε για κάθε
Αν $f(2011)\ne 2011,$ να βρεθεί το όριο $\displaystyle \lim_{x\to \infty} f(x).$

Εύκολα αποδεικνύεται ότι η συνάρτηση είναι 1-1 και επί.

Επειδή είναι και συνεχής θα είναι γνησίως μονότονη.

Έστω ότι είναι γνησίως αύξουσα. Αν υπάρχει x>0

με

, τότε

, άτοπο.

Αν υπάρχει x>0

με

, τότε

, άτοπο.

Συνεπώς $f(x)=x, \ \forall x>0$ , το οποίο δεν ισχύει γιατί $f(2011)\ne 2011$ .

Άρα η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα και επειδή είναι και φραγμένη κάτω θα έχουμε $\displaystyle \lim_{x\to \infty} f(x)=a$ .

Αν a>0

, τότε $f(x) \ge a, \ \forall x>0$ , άτοπο, γιατί η συνάρτηση είναι επί, άρα a=0

Δεν βλέπω που χρειάζεται η παραγωγισιμότητα. Μου αρκεί η συνέχεια. Μήπως κάνω κάποιο λάθος που δεν βλέπω;

Όριο

Όριο

Re: Όριο

Μέλη σε σύνδεση