Συνεχής και δεκαδικό μέρος ΙΙ

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\{f(x+y)\}=\{f(x)\}+\{f(y)\} ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

#2

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\{f(x+y)\}=\{f(x)\}+\{f(y)\} ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Η λογική της λύσης είναι η ίδια με την προηγούμενη

Η (1) γράφεται ισοδύναμα f(x+y)-[f(x+y)]=f(x)-[f(x)]+f(y)-[f(y)]

$\Leftrightarrow f(x+y)-f(x)-f(y)=[f(x+y)]-[f(x)]-[f(y)]$

Η συνάρτηση $g: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ , όπου g(x,y)=f(x+y)-f(x)-f(y)

είναι συνεχής με $g\left(\mathbb{R}^2\right) \subset \mathbb{Z}$ , άρα είναι σταθερή.

Έστω $g(x,y)=c,\ \forall x,y \in \mathbb{R}$ , τότε $f(x+y)=c+f(x)+f(y),\ \forall x,y \in \mathbb{R}$

Η $h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ με h(x)=f(x)+c

είναι συνεχής και h(x+y)=f(x+y)+c=f(x)+f(y)+2c=h(x)+h(y)

, άρα

(Cauchy) $h(x)=ax \Rightarrow f(x)=ax-c, c \in \mathbb{Z}$ , που αληθεύει την αρχική.

Συνεχής και δεκαδικό μέρος ΙΙ

Συνεχής και δεκαδικό μέρος ΙΙ

Re: Συνεχής και δεκαδικό μέρος ΙΙ

Μέλη σε σύνδεση