Μια ωραία ανισότητα από τον Ji Chen!

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, achilleas, socrates, silouan

Πρώτη μη αναγνωσμένη δημοσίευση • 2 δημοσιεύσεις • Σελίδα 1 από 1

matha: Γενικός Συντονιστής; Δημοσιεύσεις: 6428; Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm; Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Μια ωραία ανισότητα από τον Ji Chen!

Παράθεση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τρί Οκτ 11, 2011 12:03 pm

Ας είναι $\displaystyle{x,y,z>0}$ με $\displaystyle{z=\max \{x,y,z\}.}$
Να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{z+x}}\geq \sqrt{\frac{x+y}{z}}.}$

Μάγκος Θάνος

Dreamkiller: Δημοσιεύσεις: 263; Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 12:52 pm

Re: Μια ωραία ανισότητα από τον Ji Chen!

Παράθεση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Dreamkiller » Πέμ Οκτ 13, 2011 12:58 am

Παρατηρούμε ότι $\displaystyle \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{xy(x+y+2z)}{z(z+x)(z+y)}=\frac{x+y}{z}$ .
Υψώνοντας στο τετράγωνο τη δοθείσα αρκεί να αποδείξουμε ότι $4z^2(z+x)(z+y) \geq xy(x+y+2z)^2$
Όμως ισχύει ότι $z(z+x)(z+y) \geq xy(x+y+2z)$ αφού ισοδύναμα γράφεται $z^2(x+y+z) \geq xy(x+y+z)$ .
Άρα αρκεί να αποδείξουμε ότι $4z \geq x+y+2z$ , που ισχύει.

Απάντηση

2 δημοσιεύσεις • Σελίδα 1 από 1

Επιστροφή στο “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης