Εξίσωση

Orestis · #1

Να λύθει η εξίσωση:

$3^{\chi }+4^{\chi }=2^{\chi }+5^{\chi }$

#2

...και μια που το ξενυχτάμε...μια προσπάθεια στο θέμα του Ορέστη...

Η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα ${{3}^{x}}-{{2}^{x}}={{5}^{x}}-{{4}^{x}}$ (1)

Θεωρούμε την συνάρτηση $f(t)={{t}^{x}},\,\,t>0$ που είναι παραγωγίσιμη με ${f}'(t)=x{{t}^{x-1}},\,\,t>0$ οπότε στα διαστήματα $[2,\,\,3],\,\,[4,\,\,5]$ ισχύουν οι

προϋποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής οπότε υπάρχουν ${{\rho }_{1}}\in (2,\,3),\,\,\,{{\rho }_{2}}\in (4,5)$ ώστε

${f}'({{\rho }_{1}})=\frac{f(3)-f(2)}{3-2}=f(3)-f(2)={{3}^{x}}-{{2}^{x}}$ και ${f}'({{\rho }_{2}})=\frac{f(5)-f(4)}{5-4}=f(5)-f(3)={{5}^{x}}-{{4}^{x}}$ επομένως ισχύουν $x\rho _{1}^{x-1}={{3}^{x}}-{{2}^{x}}$ και

$x\rho _{2}^{x-1}={{5}^{x}}-{{3}^{x}}$ και έτσι η (1) ισοδύναμα γίνεται $x\rho _{1}^{x-1}=x\rho _{2}^{x-1}\Leftrightarrow x(\rho _{1}^{x-1}-\rho _{2}^{x-1})=0$ απ όπου x=0

ή $\rho _{1}^{x-1}=\rho _{2}^{x-1}\Leftrightarrow \frac{\rho _{1}^{x-1}}{\rho _{2}^{x-1}}=1$ και

αφού ${{\rho }_{1}}\ne {{\rho }_{2}}$ προκύπτει x=1

επομένως μοναδικές ρίζες της εξίσωσης είναι $x=0,\,\,1$

Μαθηματικά και Φιλικά
Βασίλης

#3

Orestis έγραψε:Να λύθει η εξίσωση:

$3^{\chi }+4^{\chi }=2^{\chi }+5^{\chi }$

Την άσκηση αυτή και άλλες που της μοιάζουν αλλά λύνονται με διαφορετικό τρόπο, τις έχουμε συναντήσει πάρα πολλές φορές στο mathematica. Σταχυολογώ μερικές τέτοιες από τα παλιά, που μοιάζουν μεταξύ τους αλλά που η κάθε μία λύνεται αλλιώς.

1) Να λυθεί η 3^x+4^x=5^x

και γενικότερα η a^x+b^x=c^x

όπου

και

.

2) Να λυθεί η 3^x+15^x=5^x + 9^x

και γενικότερα η a^x+b^x=c^x+d^x

όπου

και

.

3) Να λυθεί η 9^x+11^x=6^x+14^x

και γενικότερα η a^x+b^x=c^x+d^x

όπου

και

.

και λοιπά και λοιπά. Η δοθείσα εμπίπτει στην κατηγορία 3), αλλά εδώ έβαλα διαφορετικά νούμερα ενώ π.χ. η 3^x+4^x+5^x= 6^x

εμπίπτει στην κατηγορία ???? (βρες το!).

Φιλικά,

Μιχάλης

Εξίσωση

Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση