Διαίρεση πολυωνύμων και ανισότητα.

#1

Αν $\displaystyle{\displaystyle \left( {x - 1} \right)^2 /x^3 + \alpha x^2 + \beta x + \gamma }$ , με α,β, γ ακεραίους, τότε να αποδείξετε οτι:
$\displaystyle{\displaystyle |\alpha | + |\beta | + |\gamma | \geqslant 3 }$

#2

προβληματάκι ....

#3

Έχεις δίκιο το διόρθωσα αμέσως συγνώμη, αλλά ξεχάστηκα.

dement · #4

Το

ειναι διπλη ριζα του πολυωνυμου, οποτε μηδενιζει το πολυωνυμο και την παραγωγο του. Ετσι εχουμε a + b + c = -1

και

. Απο αυτα εχουμε $b = -3 - 2a, \ c = a + 2$ και πρεπει να ελαχιστοποιησουμε το |a| + |2a+3| + |a+2|

.

Παιρνοντας περιπτωσεις, βλεπουμε οτι, χωρις τον περιορισμο των ακεραιων, η ελαχιστη τιμη ισουται με

, (π.χ.

) ενω αν ειναι ακεραιοι, η ελαχιστη τιμη ισουται με

.

Δημητρης Σκουτερης

#5

Δεν χρησιμοποιώ καινούργιες ιδέες απλώς η λύση είναι προσαρμοσμένη για να μπορεί να γίνει στην τάξη με σχολικά υλικά:
Διαιρούμε το αρχικό πολυώνυμο με το (x-1)^2

#6

Μια λύση κι απο εμένα...
Έστω κ , η τρίτη ρίζα . Αφού ( απο vieta) 1+1+k=-α => κ=-α-2 αρα κ ακέραιος.
Απο την ισότητα : $\displaystyle{\displaystyle x^3 + ax^2 + \beta x + \gamma = \left( {x^2 - 2x + 1} \right)\left( {x - k} \right) }$ , λαμβάνουμε μετά απο πράξεις: α=-(κ+2), β=2κ+1 , γ=-κ.
Αρα : |α|+|β|+|γ|=|κ+2|+|κ|+|2κ+1| (1).
Όμως |κ+2|+|κ|>=|κ+2-κ|=2 και |2κ+1|>=1 , αφού 2κ+1 περιττός ακέραιος.
Η (1) δίνει λοιπόν: |α|+|β|+|γ|>=2+1 => |α|+|β|+|γ|>=3

Διαίρεση πολυωνύμων και ανισότητα.

Διαίρεση πολυωνύμων και ανισότητα.

Re: Διαίρεση πολυωνύμων και ανισότητα.

Re: Διαίρεση πολυωνύμων και ανισότητα.

Re: Διαίρεση πολυωνύμων και ανισότητα.

Re: Διαίρεση πολυωνύμων και ανισότητα.

Re: Διαίρεση πολυωνύμων και ανισότητα.

Μέλη σε σύνδεση