ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ*.

#121

ΝΙΚΟΣ έγραψε:
ΝΙΚΟΣ έγραψε:ΕΙΝΑΙ ΚΑΤΑΠΛΗΚΤΙΚΟ!!!.
ΓΕΝΝΗΘΗΚΕ ΜΙΑ ΝΕΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ!!!

Aαγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
σήμερα πανηγυρίζει η Γεωμετρία, μαζί και όλοι εμείς οι φίλοι της.
Φίλη μου, έχουμε τη χαρά να σας κάνουμε γνωστό ότι:
ΜΙΑ ΝΕΑ ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΗ, ΠΙΣΤΕΥΩ, ΜΕΘΟΔΟΣ ΓΙΑ ΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, έχει γεννηθεί εδώ!!!
Πραγματικά, την νέα μέθοδο αυτή, αν και την έχουμε χρησιμοποιήσει εδώ ενστικτωδώς και όχι συνειδητά συχνά, για την απόδειξη – λύση πολλών Προτάσεων και Προβλημάτων Γεωμετρίας, εν τούτοις μέχρι τώρα δεν το είχαμε προσέξει. Την εφαρμόζαμε ενστικτωδώς.
Τη νέα μέθοδο αυτή ονομάσαμε «ΜΕΘΟΔΟ ΔΙΑ ΤΩΝ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΩΝ ΔΕΣΜΩΝ».
Η μέθοδος αυτή δίνει ένα ενιαίο τρόπο απόδειξης-λύσης μιας μεγάλης σειράς Προτάσεων -Προβλημάτων, συχνά δύσκολων, που αφορούν σημειοσειρές.
Με την μέθοδο αυτή χρησιμοποιούμε συμμετρικές κεντρικές δέσμες και προσπαθούμε να βρούμε, το κέντρο μίας συμμετρικής κεντρικής δέσμης ευθειών, με έξοδο από την ευθεία της σημειοσειράς σε επίπεδό της, κατά την αντιστοιχία: «Κάθε μία ακτίνα της δέσμης αυτής να περνά από ένα αντίστοιχο σημείο της σημειοσειράς».
Έτσι, με βάση τη δέσμη αυτή προκύπτει εύκολα και ενιαία η σχετική απόδειξη ή λύση.
Για μεγαλύτερη ευκολία, το παραπάνω κέντρο της δέσμης, προτιμάμε να είναι το σταθερό σημείο, κάθε φορά, από το οποίο φαίνονται με ορθές γωνίες τουλάχιστον δύο τμήματα, που ορίζονται από δύο ζεύγη σημείων της σημειοσειράς αυτής (Είναι γνωστό ότι το σημείο αυτό έχουμε ονομάσει «Ορθοοπτικό σημείο»).
Τα παραπάνω γίνονται αντιληπτά, αν μελετηθούν προσεκτικά, οι σχετικές Προτάσεις και Προβλήματα που έχουμε αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα.
Ακόμη, για την εμπέδωση της μεθόδου προτείνουμε στους φίλους να χρησιμοποιούν και να εφαρμόζουν τη νέα μέθοδο για την απόδειξη ή λύση σε σχετικές Προτάσεις και Προβλήματα, που θα ακολουθήσουν στο εξής.
Είναι φανερό ότι, αφού ο ενιαίος τρόπος αυτός εφαρμόζεται και δίνει αποδείξεις-λύσεις σε μεγάλη σειρά Προτάσεων και Προβλημάτων, θα αποτελεί πραγματικά μία «Ειδική Μέθοδο» για τη Γεωμετρία.
Επειδή μέχρι τώρα, για την μέθοδο αυτή, δεν έχουμε συναντήσει αλλού κάτι το σχετικό, πιστεύουμε ότι πρόκειται πραγματικά για νέα μέθοδο που πρωτοεμφανίζεται εδώ στο mathematica. Παρακαλούμε τους φίλους, αν κάτι σχετικό εντοπίσουν κάπου αλλού να μας το κάνουν γνωστό με τα πλήρη στοιχεία του.
Τη μέθοδο αυτή έχουμε εφαρμόσει και έχουμε αποδείξει ή λύσει μεγάλο αριθμό Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία έχουμε αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα ή θα αναρτήσουμε στη συνέχεια, αλλά και πολλά άλλα, που ενώ τα έχουμε γράψει, δεν προλαβαίνουμε δυστυχώς να τα στοιχειοθετήσουμε ηλεκτρονικά, για να τα αναρτήσουμε εδώ.
Αγαπητοί φίλοι αυτά τα καταπληκτικά συμβαίνουν με την έρευνα*.
Όσοι πιστοί προσέλθετε, για να αναβαθμίσουμε και να φέρομε στην επιφάνεια την κατεξοχήν Ελληνική επιστήμη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας.

*ΕΡΕΥΝΑ
Απόλαυση Ανακαλύψεις Έντονες Συγκινήσεις $\Rightarrow$
Δημιουργία $\Rightarrow$ Πρόοδος.

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

ΘΕΩΡΗΜΑ ΝΕΥΤΩΝΑ.

2η ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΜΕΘΟΔΟΥ, ΔΙΑ ΤΩΝ «ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΩΝ ΔΕΣΜΩΝ».
Εύκολη απόδειξη του παραπάνω Θεωρήματος, με την παραπάνω Μέθοδο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
στα πλαίσια των όσων παραπάνω έχουμε υποσχεθεί, δίνουμε παρακάτω την διατύπωση του Θεωρήματος (συνθήκης) του Νεύτωνα $11\left(47 \right)$ , που αφορά τετράδα αρμονικών σημείων, προκειμένου να αποδειχθεί από τους ενδιαφερόμενους φίλους.
Δική μου απόδειξη, όσο γίνεται πιο αναλυτικά και με εφαρμογή προφανώς της παραπάνω Μεθόδου, θα αναρτήσω εδώ, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.
Μέχρι τότε περιμένουμε τις δικές σας αποδείξεις, κατά προτίμηση με εφαρμογή της μεθόδου αυτής, την οποία έχουμε ανάρτηση παραπάνω στην εργασία αυτή, ώστε να επιτευχθεί και η εμπέδωσή της. Με την μέθοδο αυτή, όπως θα διαπιστωθεί παίρνουμε εύκολη και πολύ σαφή απόδειξη.

Το Θεώρημα αυτό έχει ως εξής:
$11\left(47 \right)$ . Η ικανή και αναγκαία συνθήκη, για να αποτελούν αρμονική τετράδα, τέσσερα συνευθειακά σημεία $A, B, \Gamma , \Delta$ , είναι:
$KA^{2}=KB^{2}=K\Gamma .K\Delta$ , $\left(1 \right)$ .
$\Lambda \Gamma ^{2}=\Lambda \Delta ^{2}=\Lambda A. \Lambda B$ , $\left(2 \right)$ .
(όπου $K, \Lambda$ είναι τα μέσα των τμημάτων $AB, \Gamma \Delta$ , αντίστοιχα).

Σχόλιο.
Την παραπάνω απόδειξή μου , καταχώρησα στην παράγραφο $11\left(47 \right)$ τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου , όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την απόδειξή μου του παραπάνω Θεωρήματος $11\left(47 \right)$ .
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις- λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, κατά προτίμηση με την παραπάνω Νέα Μέθοδο, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής

#122

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας.
Όταν είχαμε γιορτάσει τις επισκέψεις στον χώρο αυτό εδώ, είχαμε θέσει σαν επόμενο στόχο μας τις επισκέψεις. Όμως η ταχύτητα που εξελίχθηκαν τα πράγματα, δεν μας επέτρεψαν να γιορτάσουμε τις επισκέψεις.
Έτσι, φθάσαμε να γιορτάζουμε σήμερα την υπέρβαση των επισκέψεων των φίλων στο χώρο αυτό. Τούτο φανερώνει το μεγάλο ενδιαφέρον σας για όσα αναρτούμε εδώ, πράγμα το οποίο μας δίνει κουράγιο να συνεχίσουμε και γι’ αυτό σας ευχαριστούμε πολύ.
Συνεχίζουμε λοιπόν με στόχο τις επισκέψεις, καθώς πιστεύουμε ότι οι ενδιάμεσοι στόχοι θα περάσουν ταχύτατα.
Και πάλι ευχαριστούμε πολύ όλους εκείνους που συνέβαλαν στο γεγονός αυτό.
Ευχές.

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

#123

ΝΙΚΟΣ έγραψε:ΕΙΝΑΙ ΚΑΤΑΠΛΗΚΤΙΚΟ!!!.
ΓΕΝΝΗΘΗΚΕ ΜΙΑ ΝΕΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ!!!

Aαγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
σήμερα πανηγυρίζει η Γεωμετρία, μαζί και όλοι εμείς οι φίλοι της.
Φίλη μου, έχουμε τη χαρά να σας κάνουμε γνωστό ότι:
ΜΙΑ ΝΕΑ ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΗ, ΠΙΣΤΕΥΩ, ΜΕΘΟΔΟΣ ΓΙΑ ΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, έχει γεννηθεί εδώ!!!
Πραγματικά, την νέα μέθοδο αυτή, αν και την έχουμε χρησιμοποιήσει εδώ ενστικτωδώς και όχι συνειδητά συχνά, για την απόδειξη – λύση πολλών Προτάσεων και Προβλημάτων Γεωμετρίας, εν τούτοις μέχρι τώρα δεν το είχαμε προσέξει. Την εφαρμόζαμε ενστικτωδώς.
Τη νέα μέθοδο αυτή ονομάσαμε «ΜΕΘΟΔΟ ΔΙΑ ΤΩΝ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΩΝ ΔΕΣΜΩΝ».
Η μέθοδος αυτή δίνει ένα ενιαίο τρόπο απόδειξης-λύσης μιας μεγάλης σειράς Προτάσεων -Προβλημάτων, συχνά δύσκολων, που αφορούν σημειοσειρές.
Με την μέθοδο αυτή χρησιμοποιούμε συμμετρικές κεντρικές δέσμες και προσπαθούμε να βρούμε, το κέντρο μίας συμμετρικής κεντρικής δέσμης ευθειών, με έξοδο από την ευθεία της σημειοσειράς σε επίπεδό της, κατά την αντιστοιχία: «Κάθε μία ακτίνα της δέσμης αυτής να περνά από ένα αντίστοιχο σημείο της σημειοσειράς».
Έτσι, με βάση τη δέσμη αυτή προκύπτει εύκολα και ενιαία η σχετική απόδειξη ή λύση.
Για μεγαλύτερη ευκολία, το παραπάνω κέντρο της δέσμης, προτιμάμε να είναι το σταθερό σημείο, κάθε φορά, από το οποίο φαίνονται με ορθές γωνίες τουλάχιστον δύο τμήματα, που ορίζονται από δύο ζεύγη σημείων της σημειοσειράς αυτής (Είναι γνωστό ότι το σημείο αυτό έχουμε ονομάσει «Ορθοοπτικό σημείο»).
Τα παραπάνω γίνονται αντιληπτά, αν μελετηθούν προσεκτικά, οι σχετικές Προτάσεις και Προβλήματα που έχουμε αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα.
Ακόμη, για την εμπέδωση της μεθόδου προτείνουμε στους φίλους να χρησιμοποιούν και να εφαρμόζουν τη νέα μέθοδο για την απόδειξη ή λύση σε σχετικές Προτάσεις και Προβλήματα, που θα ακολουθήσουν στο εξής.
Είναι φανερό ότι, αφού ο ενιαίος τρόπος αυτός εφαρμόζεται και δίνει αποδείξεις-λύσεις σε μεγάλη σειρά Προτάσεων και Προβλημάτων, θα αποτελεί πραγματικά μία «Ειδική Μέθοδο» για τη Γεωμετρία.
Επειδή μέχρι τώρα, για την μέθοδο αυτή, δεν έχουμε συναντήσει αλλού κάτι το σχετικό, πιστεύουμε ότι πρόκειται πραγματικά για νέα μέθοδο που πρωτοεμφανίζεται εδώ στο mathematica. Παρακαλούμε τους φίλους, αν κάτι σχετικό εντοπίσουν κάπου αλλού να μας το κάνουν γνωστό με τα πλήρη στοιχεία του.
Τη μέθοδο αυτή έχουμε εφαρμόσει και έχουμε αποδείξει ή λύσει μεγάλο αριθμό Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία έχουμε αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα ή θα αναρτήσουμε στη συνέχεια, αλλά και πολλά άλλα, που ενώ τα έχουμε γράψει, δεν προλαβαίνουμε δυστυχώς να τα στοιχειοθετήσουμε ηλεκτρονικά, για να τα αναρτήσουμε εδώ.
Αγαπητοί φίλοι αυτά τα καταπληκτικά συμβαίνουν με την έρευνα*.
Όσοι πιστοί προσέλθετε, για να αναβαθμίσουμε και να φέρομε στην επιφάνεια την κατεξοχήν Ελληνική επιστήμη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας.

*ΕΡΕΥΝΑ
Απόλαυση Ανακαλύψεις Έντονες Συγκινήσεις $\Rightarrow$
Δημιουργία $\Rightarrow$ Πρόοδος.

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

$3^{\eta }$ ΑΠΛΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΔΙΑ ΤΩΝ «ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΩΝ ΔΕΣΜΩΝ».
Εύκολη απόδειξη πολύ γνωστού Θεωρήματος, με την παραπάνω Μέθοδο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
στα πλαίσια των όσων παραπάνω έχουμε υποσχεθεί, δίνουμε παρακάτω την διατύπωση πολύ γνωστού Θεωρήματος (συνθήκης) $11\left(48 \right)$ , που αφορά τετράδα αρμονικών σημείων, προκειμένου να αποδειχθεί από τους ενδιαφερόμενους φίλους.
Δική μου απόδειξη, όσο γίνεται πιο αναλυτικά και με απλή εφαρμογή προφανώς της παραπάνω Μεθόδου, θα αναρτήσω εδώ, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.
Μέχρι τότε περιμένουμε τις δικές σας αποδείξεις, κατά προτίμηση με εφαρμογή της μεθόδου αυτής, την οποία έχουμε ανάρτηση παραπάνω στην εργασία αυτή, ώστε να επιτευχθεί και η εμπέδωσή της. Με απλή εφαρμογή της μεθόδου αυτής, όπως θα διαπιστωθεί, παίρνουμε εύκολη και πολύ σαφή απόδειξη.

Το Θεώρημα αυτό έχει ως εξής:
$11\left(48 \right)$ . Η ικανή και αναγκαία συνθήκη, για να αποτελούν αρμονική τετράδα, τέσσερα συνευθειακά σημεία
$A, B,\Gamma , \Delta$ , είναι:
$K\Lambda ^{2}=KA^{2}+\Lambda \Delta ^{2}=KB^{2}+\Lambda \Gamma ^{2}$ . $\left(1 \right)$ .
(όπου $K, \Lambda$ είναι τα μέσα των τμημάτων $AB, \Gamma \Delta$ , αντίστοιχα).

Σχόλιο.
Την παραπάνω απόδειξή μου, που έχει γίνει με απλή εφαρμογή της παραπάνω Νέας Μεθόδου, καταχώρησα στην παράγραφο $11\left(48 \right)$ τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#124

ΝΙΚΟΣ έγραψε:
ΝΙΚΟΣ έγραψε:ΕΙΝΑΙ ΚΑΤΑΠΛΗΚΤΙΚΟ!!!.
ΓΕΝΝΗΘΗΚΕ ΜΙΑ ΝΕΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ!!!

Aαγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
σήμερα πανηγυρίζει η Γεωμετρία, μαζί και όλοι εμείς οι φίλοι της.
Φίλη μου, έχουμε τη χαρά να σας κάνουμε γνωστό ότι:
ΜΙΑ ΝΕΑ ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΗ, ΠΙΣΤΕΥΩ, ΜΕΘΟΔΟΣ ΓΙΑ ΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, έχει γεννηθεί εδώ!!!
Πραγματικά, την νέα μέθοδο αυτή, αν και την έχουμε χρησιμοποιήσει εδώ ενστικτωδώς και όχι συνειδητά συχνά, για την απόδειξη – λύση πολλών Προτάσεων και Προβλημάτων Γεωμετρίας, εν τούτοις μέχρι τώρα δεν το είχαμε προσέξει. Την εφαρμόζαμε ενστικτωδώς.
Τη νέα μέθοδο αυτή ονομάσαμε «ΜΕΘΟΔΟ ΔΙΑ ΤΩΝ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΩΝ ΔΕΣΜΩΝ».
Η μέθοδος αυτή δίνει ένα ενιαίο τρόπο απόδειξης-λύσης μιας μεγάλης σειράς Προτάσεων -Προβλημάτων, συχνά δύσκολων, που αφορούν σημειοσειρές.
Με την μέθοδο αυτή χρησιμοποιούμε συμμετρικές κεντρικές δέσμες και προσπαθούμε να βρούμε, το κέντρο μίας συμμετρικής κεντρικής δέσμης ευθειών, με έξοδο από την ευθεία της σημειοσειράς σε επίπεδό της, κατά την αντιστοιχία: «Κάθε μία ακτίνα της δέσμης αυτής να περνά από ένα αντίστοιχο σημείο της σημειοσειράς».
Έτσι, με βάση τη δέσμη αυτή προκύπτει εύκολα και ενιαία η σχετική απόδειξη ή λύση.
Για μεγαλύτερη ευκολία, το παραπάνω κέντρο της δέσμης, προτιμάμε να είναι το σταθερό σημείο, κάθε φορά, από το οποίο φαίνονται με ορθές γωνίες τουλάχιστον δύο τμήματα, που ορίζονται από δύο ζεύγη σημείων της σημειοσειράς αυτής (Είναι γνωστό ότι το σημείο αυτό έχουμε ονομάσει «Ορθοοπτικό σημείο»).
Τα παραπάνω γίνονται αντιληπτά, αν μελετηθούν προσεκτικά, οι σχετικές Προτάσεις και Προβλήματα που έχουμε αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα.
Ακόμη, για την εμπέδωση της μεθόδου προτείνουμε στους φίλους να χρησιμοποιούν και να εφαρμόζουν τη νέα μέθοδο για την απόδειξη ή λύση σε σχετικές Προτάσεις και Προβλήματα, που θα ακολουθήσουν στο εξής.
Είναι φανερό ότι, αφού ο ενιαίος τρόπος αυτός εφαρμόζεται και δίνει αποδείξεις-λύσεις σε μεγάλη σειρά Προτάσεων και Προβλημάτων, θα αποτελεί πραγματικά μία «Ειδική Μέθοδο» για τη Γεωμετρία.
Επειδή μέχρι τώρα, για την μέθοδο αυτή, δεν έχουμε συναντήσει αλλού κάτι το σχετικό, πιστεύουμε ότι πρόκειται πραγματικά για νέα μέθοδο που πρωτοεμφανίζεται εδώ στο mathematica. Παρακαλούμε τους φίλους, αν κάτι σχετικό εντοπίσουν κάπου αλλού να μας το κάνουν γνωστό με τα πλήρη στοιχεία του.
Τη μέθοδο αυτή έχουμε εφαρμόσει και έχουμε αποδείξει ή λύσει μεγάλο αριθμό Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία έχουμε αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα ή θα αναρτήσουμε στη συνέχεια, αλλά και πολλά άλλα, που ενώ τα έχουμε γράψει, δεν προλαβαίνουμε δυστυχώς να τα στοιχειοθετήσουμε ηλεκτρονικά, για να τα αναρτήσουμε εδώ.
Αγαπητοί φίλοι αυτά τα καταπληκτικά συμβαίνουν με την έρευνα*.
Όσοι πιστοί προσέλθετε, για να αναβαθμίσουμε και να φέρομε στην επιφάνεια την κατεξοχήν Ελληνική επιστήμη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας.

*ΕΡΕΥΝΑ
Απόλαυση Ανακαλύψεις Έντονες Συγκινήσεις $\Rightarrow$
Δημιουργία $\Rightarrow$ Πρόοδος.

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

$3^{\eta }$ ΑΠΛΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΔΙΑ ΤΩΝ «ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΩΝ ΔΕΣΜΩΝ».
Εύκολη απόδειξη πολύ γνωστού Θεωρήματος, με την παραπάνω Μέθοδο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
στα πλαίσια των όσων παραπάνω έχουμε υποσχεθεί, δίνουμε παρακάτω την διατύπωση πολύ γνωστού Θεωρήματος (συνθήκης) $11\left(48 \right)$ , που αφορά τετράδα αρμονικών σημείων, προκειμένου να αποδειχθεί από τους ενδιαφερόμενους φίλους.
Δική μου απόδειξη, όσο γίνεται πιο αναλυτικά και με απλή εφαρμογή προφανώς της παραπάνω Μεθόδου, θα αναρτήσω εδώ, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.
Μέχρι τότε περιμένουμε τις δικές σας αποδείξεις, κατά προτίμηση με εφαρμογή της μεθόδου αυτής, την οποία έχουμε ανάρτηση παραπάνω στην εργασία αυτή, ώστε να επιτευχθεί και η εμπέδωσή της. Με απλή εφαρμογή της μεθόδου αυτής, όπως θα διαπιστωθεί, παίρνουμε εύκολη και πολύ σαφή απόδειξη.

Το Θεώρημα αυτό έχει ως εξής:
$11\left(48 \right)$ . Η ικανή και αναγκαία συνθήκη, για να αποτελούν αρμονική τετράδα, τέσσερα συνευθειακά σημεία
$A, B,\Gamma , \Delta$ , είναι:
$K\Lambda ^{2}=KA^{2}+\Lambda \Delta ^{2}=KB^{2}+\Lambda \Gamma ^{2}$ . $\left(1 \right)$ .
(όπου $K, \Lambda$ είναι τα μέσα των τμημάτων $AB, \Gamma \Delta$ , αντίστοιχα).

Σχόλιο.
Την παραπάνω απόδειξή μου, που έχει γίνει με απλή εφαρμογή της παραπάνω Νέας Μεθόδου, καταχώρησα στην παράγραφο $11\left(48 \right)$ τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου , όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την απόδειξή μου του παραπάνω Θεωρήματος $11\left(48 \right)$ .
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις- λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, κατά προτίμηση με την παραπάνω Νέα Μέθοδο, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής

#125

ΝΙΚΟΣ έγραψε:ΕΙΝΑΙ ΚΑΤΑΠΛΗΚΤΙΚΟ!!!.
ΓΕΝΝΗΘΗΚΕ ΜΙΑ ΝΕΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ!!!

Aαγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
σήμερα πανηγυρίζει η Γεωμετρία, μαζί και όλοι εμείς οι φίλοι της.
Φίλη μου, έχουμε τη χαρά να σας κάνουμε γνωστό ότι:
ΜΙΑ ΝΕΑ ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΗ, ΠΙΣΤΕΥΩ, ΜΕΘΟΔΟΣ ΓΙΑ ΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, έχει γεννηθεί εδώ!!!
Πραγματικά, την νέα μέθοδο αυτή, αν και την έχουμε χρησιμοποιήσει εδώ ενστικτωδώς και όχι συνειδητά συχνά, για την απόδειξη – λύση πολλών Προτάσεων και Προβλημάτων Γεωμετρίας, εν τούτοις μέχρι τώρα δεν το είχαμε προσέξει. Την εφαρμόζαμε ενστικτωδώς.
Τη νέα μέθοδο αυτή ονομάσαμε «ΜΕΘΟΔΟ ΔΙΑ ΤΩΝ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΩΝ ΔΕΣΜΩΝ».
Η μέθοδος αυτή δίνει ένα ενιαίο τρόπο απόδειξης-λύσης μιας μεγάλης σειράς Προτάσεων -Προβλημάτων, συχνά δύσκολων, που αφορούν σημειοσειρές.
Με την μέθοδο αυτή χρησιμοποιούμε συμμετρικές κεντρικές δέσμες και προσπαθούμε να βρούμε, το κέντρο μίας συμμετρικής κεντρικής δέσμης ευθειών, με έξοδο από την ευθεία της σημειοσειράς σε επίπεδό της, κατά την αντιστοιχία: «Κάθε μία ακτίνα της δέσμης αυτής να περνά από ένα αντίστοιχο σημείο της σημειοσειράς».
Έτσι, με βάση τη δέσμη αυτή προκύπτει εύκολα και ενιαία η σχετική απόδειξη ή λύση.
Για μεγαλύτερη ευκολία, το παραπάνω κέντρο της δέσμης, προτιμάμε να είναι το σταθερό σημείο, κάθε φορά, από το οποίο φαίνονται με ορθές γωνίες τουλάχιστον δύο τμήματα, που ορίζονται από δύο ζεύγη σημείων της σημειοσειράς αυτής (Είναι γνωστό ότι το σημείο αυτό έχουμε ονομάσει «Ορθοοπτικό σημείο»).
Τα παραπάνω γίνονται αντιληπτά, αν μελετηθούν προσεκτικά, οι σχετικές Προτάσεις και Προβλήματα που έχουμε αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα.
Ακόμη, για την εμπέδωση της μεθόδου προτείνουμε στους φίλους να χρησιμοποιούν και να εφαρμόζουν τη νέα μέθοδο για την απόδειξη ή λύση σε σχετικές Προτάσεις και Προβλήματα, που θα ακολουθήσουν στο εξής.
Είναι φανερό ότι, αφού ο ενιαίος τρόπος αυτός εφαρμόζεται και δίνει αποδείξεις-λύσεις σε μεγάλη σειρά Προτάσεων και Προβλημάτων, θα αποτελεί πραγματικά μία «Ειδική Μέθοδο» για τη Γεωμετρία.
Επειδή μέχρι τώρα, για την μέθοδο αυτή, δεν έχουμε συναντήσει αλλού κάτι το σχετικό, πιστεύουμε ότι πρόκειται πραγματικά για νέα μέθοδο που πρωτοεμφανίζεται εδώ στο mathematica. Παρακαλούμε τους φίλους, αν κάτι σχετικό εντοπίσουν κάπου αλλού να μας το κάνουν γνωστό με τα πλήρη στοιχεία του.
Τη μέθοδο αυτή έχουμε εφαρμόσει και έχουμε αποδείξει ή λύσει μεγάλο αριθμό Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία έχουμε αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα ή θα αναρτήσουμε στη συνέχεια, αλλά και πολλά άλλα, που ενώ τα έχουμε γράψει, δεν προλαβαίνουμε δυστυχώς να τα στοιχειοθετήσουμε ηλεκτρονικά, για να τα αναρτήσουμε εδώ.
Αγαπητοί φίλοι αυτά τα καταπληκτικά συμβαίνουν με την έρευνα*.
Όσοι πιστοί προσέλθετε, για να αναβαθμίσουμε και να φέρομε στην επιφάνεια την κατεξοχήν Ελληνική επιστήμη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας.

*ΕΡΕΥΝΑ
Απόλαυση Ανακαλύψεις Έντονες Συγκινήσεις $\Rightarrow$
Δημιουργία $\Rightarrow$ Πρόοδος.

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

Συνημμένο .
4η ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΔΙΑ ΤΩΝ «ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΩΝ ΔΕΣΜΩΝ»
Γεωμετρική Κατασκευή, με την παραπάνω Νέα Μέθοδο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
στα πλαίσια των όσων παραπάνω έχουμε υποσχεθεί, δίνουμε παρακάτω την διατύπωση Γεωμετρικής Κατασκευής $10\iota \left(194 \right)$ , που αφορά τετράδα συνευθειακών σημείων, προκειμένου η Κατασκευή αυτή να γίνει από τους ενδιαφερόμενους φίλους.
Δική μου λύση, με εφαρμογή προφανώς της παραπάνω Μεθόδου, θα αναρτήσω εδώ, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.
Μέχρι τότε περιμένουμε τις δικές σας λύσεις, κατά προτίμηση με εφαρμογή της μεθόδου αυτής, την οποία έχουμε ανάρτηση παραπάνω στην εργασία αυτή, ώστε να επιτευχθεί και η εμπέδωσή της μεθόδου.
Με εφαρμογή της μεθόδου αυτής, όπως θα διαπιστωθεί, παίρνουμε εύκολη και πολύ σαφή απόδειξη, ενώ με άλλο τρόπο είναι αμφίβολο αν μπορεί να γίνει.

Η Κατασκευή αυτή έχει ως εξής:
$10\iota \left(194 \right)$ . Δίνεται ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ και τα διατεταγμένα σημεία της $A, \Delta , E, B$ , με $AE<B\Delta$ . Στην ίδια ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ να ορισθεί σημείο $\Gamma$ , για το οποίο να είναι:
$\left(A\Delta \Gamma B \right)$ = $\left(BE\Gamma A \right)$ .

Σχόλιο.
Την παραπάνω δική μου κατασκευή, που έχει γίνει με απλή εφαρμογή της παραπάνω Νέας Μεθόδου, καταχώρησα στην παράγραφο $10\iota \left(194 \right)$ τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#126

Δίνεται ευθεία ( $\varepsilon$ ) και τα διατεταγμένα σημεία της $A,\ D,\ E,\ B$ , με . Στην ίδια ευθεία ( $\varepsilon$ ) να ορισθεί σημείο , για το οποίο να είναι .

$\bullet$ Ορίζουμε το σημείο έστω

ώστε το τρίγωνο $\vartriangle ZAB$ να είναι ισοσκελές με ZA = ZB

και ας είναι $O,\ O',$ τα σημεία τομής των $ZA,\ ZB$ αντιστοίχως, από τις μεσοκάθετες ευθείες των $AD,\ EB.$

Γράφουμε του κύκλους $(O),\ (O'),$ με κέντρα τα $O,\ O'$ αντιστοίχως και ακτίνες OA = OD

και

και έστω ότι έχουν ένα τουλάχιστον κοινό σημείο, το

Η διχοτόμος της γωνίας $\angle APB$ τέμνει την

στο σημείο έστω

που είναι το ζητούμενο.

: Προσδιορισμός του σημείου C, ώστε να είναι (A,D,C,B) = (B,E,C,A).; f=112_t=20919(d).PNG (32.35 KiB) Προβλήθηκε 1918 φορές

$\bullet$ Πράγματι, εάν ορίσουμε τα σημεία $K\equiv (O)\cap DO$ και $L\equiv (O')\cap EO',$ αποδεικνύεται εύκολα ότι ισχύει $\angle AKD = \angle ELB\ \ \ ,(1)$ λόγω των ορθογωνίων τριγώνων $\vartriangle AKD,\ \vartriangle BLE$ και $\angle ODA = \angle OAD = \angle O'BE = \angle O'EB$

Αλλά, έχουμε $\angle AKD = \angle APD\ \ \ ,(2)$ και $\angle ELB = EPB\ \ \ ,(3)$

Από $(1),\ (2),\ (3)$ $\Longrightarrow$ $\angle APD = \angle EPB$ και άρα, η διχοτόμος

της γωνίας $\angle APB,$ διχοτομεί επίσης και τη γωνία $\angle DPE.$

$\bullet$ Παρατηρούμε τώρα ότι στις δέσμες $P.ADCB,\ P.BECA,$ οι ομόλογες ακτίνες τους ορίζουν ίσες γωνίες και άρα, οι δέσμες αυτές έχουν ίσους Διπλούς λόγους.

Ισχύει δηλαδή $(P.ADCB) = (P.BECA)\ \ \ ,(4)$

Από (4)

$\Longrightarrow$ (A,D,C,B) = (B,E,C,A)

και το πρόβλημα έχει λυθεί.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Νομίζω ότι ο περιορισμός AE < BD

στην εκφώνηση, δεν είναι απαραίτητος.

#127

Το σημείο

στην προηγούμενη λύση, προσδιορίστηκε μεταξύ των σημείων $D,\ E$ της δοσμένης διατεταγμένης τετράδας σημείων ( σημειοσειράς ) $A,\ D,\ E,\ B$ επί της ευθείας $(\varepsilon)$ , αλλά αυτό δεν είναι υποχρεωτικό από την εκφώνηση.

Έτσι, θα μπορούσε για παράδειγμα, να αναζητηθεί το σημείο

μεταξύ των $E,\ B.$ Δεν έχω όμως υπόψη μου αυτήν την ώρα κάποιο τρόπο προσδιορισμού του, ούτε όμως και αντιπαράδειγμα ότι δεν μπορεί να βρεθεί το

στη θέση αυτή ( μεταξύ των $E,\ B$ ).

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Είναι γνωστό ότι στην έκφραση του Διπλού λόγου, η σειρά με την οποία εμφανίζονται τέσσερα δοσμένα σημεία, μπορεί να είναι η ίδια αλλά μπορεί και να μην είναι η ίδια, με τη διάταξή τους επί της ευθείας στην οποία ανήκουν.

#128

Δουλεύοντας αντίστροφα, βρήκα ένα παράδειγμα όπου το σημείο

μπορεί να βρεθεί μεταξύ των $E,\ B.$

Πράγματι, έστω η σημειοσειρά $A,\ D,\ E,\ B,$ με AD = 5

και

και έστω

το σημείο μεταξύ των $E,\ B$ ώστε να είναι EC = 2

, οπότε

.

Διαπιστώνεται εύκολα ότι ισχύει το ζητούμενο της εκφώνησης $\displaystyle (A,D,C,B) = \frac{CA}{CD}\div \frac{BA}{BD} = 20 = \frac{CB}{CE}\div \frac{AB}{AE} = (B,E,C,A)$ .

Κώστας Βήττας.

#129

vittasko έγραψε:
Δίνεται ευθεία ( $\varepsilon$ ) και τα διατεταγμένα σημεία της $A,\ D,\ E,\ B$ , με . Στην ίδια ευθεία ( $\varepsilon$ ) να ορισθεί σημείο , για το οποίο να είναι .
$\bullet$ Ορίζουμε το σημείο έστω ώστε το τρίγωνο $\vartriangle ZAB$ να είναι ισοσκελές με και ας είναι $O,\ O',$ τα σημεία τομής των $ZA,\ ZB$ αντιστοίχως, από τις μεσοκάθετες ευθείες των $AD,\ EB.$

Γράφουμε του κύκλους $(O),\ (O'),$ με κέντρα τα $O,\ O'$ αντιστοίχως και ακτίνες και και έστω ότι έχουν ένα τουλάχιστον κοινό σημείο, το

Η διχοτόμος της γωνίας $\angle APB$ τέμνει την στο σημείο έστω που είναι το ζητούμενο.

$\bullet$ Πράγματι, εάν ορίσουμε τα σημεία $K\equiv (O)\cap DO$ και $L\equiv (O')\cap EO',$ αποδεικνύεται εύκολα ότι ισχύει $\angle AKD = \angle ELB\ \ \ ,(1)$ λόγω των ορθογωνίων τριγώνων $\vartriangle AKD,\ \vartriangle BLE$ και $\angle ODA = \angle OAD = \angle O'BE = \angle O'EB$

Αλλά, έχουμε $\angle AKD = \angle APD\ \ \ ,(2)$ και $\angle ELB = EPB\ \ \ ,(3)$

Από $(1),\ (2),\ (3)$ $\Longrightarrow$ $\angle APD = \angle EPB$ και άρα, η διχοτόμος της γωνίας $\angle APB,$ διχοτομεί επίσης και τη γωνία $\angle DPE.$

$\bullet$ Παρατηρούμε τώρα ότι στις δέσμες $P.ADCB,\ P.BECA,$ οι ομόλογες ακτίνες τους ορίζουν ίσες γωνίες και άρα, οι δέσμες αυτές έχουν ίσους Διπλούς λόγους.

Ισχύει δηλαδή $(P.ADCB) = (P.BECA)\ \ \ ,(4)$

Από $\Longrightarrow$ και το πρόβλημα έχει λυθεί.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Νομίζω ότι ο περιορισμός στην εκφώνηση, δεν είναι απαραίτητος.

Κώστα,
σε ευχαριστώ πολύ για την λύση σου της παραπάνω Κατασκευής μου και την συμμετοχή σου στην προσπάθειά μου.
Σε γενικές γραμμές η λύση σου είναι σωστή, αν και δεν μπόρεσα να παρακολουθήσω το μέρος της απόδειξής σου, καθώς δεν κατάλαβα πώς προκύπτουν οι τομές , ώστε να πάρω θέση και για την απόδειξή σου.
Ο τρόπος που ακολούθησες για να ορίσεις το σημείο , είναι εκείνος της Νέας μου Μεθόδου, αλλά εκείνος που αρχικά ακολούθησα και εγώ για να έχω ισογώνιες ευθείες, με τη διαφορά ότι αντί να χρησιμοποιήσω εγώ ισοσκελές τρίγωνο κτλ (που χρησιμοποιείς εσύ), εγώ με χορδές , και προς το ίδιο μέρος της $\left(\varepsilon \right)$ , έγραφα, κατά τα γνωστά, τόξα δύο κύκλων, από τα οποία τα , να φαίνονται με ίσες γωνίες.
Αλλά επειδή οι κύκλοι αυτοί δεν τέμνονται πάντοτε, επέλεγα κατάλληλα και πολύ μεγάλες τις ίσες γωνιές και μικρή την απόσταση των , (δηλαδή για την περίπτωσή σου μεγάλες τις γωνίες της βάσεως του ισοσκελούς σου τριγώνου).
Για να παρακάμψω και αυτή την δυσκολία, τώρα γράφω δύο κύκλους με τόξα προς το ίδιο μέρος της $\left(\varepsilon \right)$ και από τα οποία, τα τμήματα , να φαίνονται με ίσες γωνίες και τα οποία τέμνονται προφανώς πάντοτε, οπότε προκύπτει πάντοτε και το , για το οποίο οι γωνίες , είναι και πάλι ίσες. Αλλά και πάλι βελτίωσα την Νέα Μέθοδό μου γράφοντας τούς κύκλους με διαμέτρους τα , οι οποίοι τέμνονται σε δύο σταθερά σημεία , , συμμετρικά τις $\left(\varepsilon \right)$ και από τα οποία τα , φαίνονται με ίσες γωνίες, καθώς είναι ορθές, οπότε και τα τμήματα , από αυτά φαίνονται με ίσες γωνίες.
Τα σταθερά σημεία , ονόμασα «ορθοοπτικά» και τα οποία δίνουν πολλές φορές λύσεις και σε προβλήματα που δεν δίνουν λύσεις τα τόξα με απλώς ίσες γωνίες (όχι ορθές).
Το , έτσι όπως δίνεται η εκφώνηση πέφτει στο τμήμα .
Είναι φανερό ότι και το συζυγίες αρμονικό του ως προς τα ή , αποτελεί λύση του Προβλήματος.
Το δεν είναι απαραίτητο. Τούτο σκόπιμα το έδωσα, ώστε τα σχήματα, όσων ασχοληθούν, να βγαίνουν συγκεκριμένα και ομοιόμορφα. Γι’ αυτό άλλωστε αναφέρω τούτο και σε άλλες παρόμοιες περιπτώσεις, για καλύτερη συνεννόηση.
Δική μου αποδείξει με τη Νέα προφανώς Μέθοδο, θα ακολουθήσει η οποία πιστεύω ότι θα λύσει και κάποιες άλλες πιθανόν απορίες.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#130

ΝΙΚΟΣ έγραψε:
ΝΙΚΟΣ έγραψε:ΕΙΝΑΙ ΚΑΤΑΠΛΗΚΤΙΚΟ!!!.
ΓΕΝΝΗΘΗΚΕ ΜΙΑ ΝΕΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ!!!

Aαγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
σήμερα πανηγυρίζει η Γεωμετρία, μαζί και όλοι εμείς οι φίλοι της.
Φίλη μου, έχουμε τη χαρά να σας κάνουμε γνωστό ότι:
ΜΙΑ ΝΕΑ ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΗ, ΠΙΣΤΕΥΩ, ΜΕΘΟΔΟΣ ΓΙΑ ΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, έχει γεννηθεί εδώ!!!
Πραγματικά, την νέα μέθοδο αυτή, αν και την έχουμε χρησιμοποιήσει εδώ ενστικτωδώς και όχι συνειδητά συχνά, για την απόδειξη – λύση πολλών Προτάσεων και Προβλημάτων Γεωμετρίας, εν τούτοις μέχρι τώρα δεν το είχαμε προσέξει. Την εφαρμόζαμε ενστικτωδώς.
Τη νέα μέθοδο αυτή ονομάσαμε «ΜΕΘΟΔΟ ΔΙΑ ΤΩΝ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΩΝ ΔΕΣΜΩΝ».
Η μέθοδος αυτή δίνει ένα ενιαίο τρόπο απόδειξης-λύσης μιας μεγάλης σειράς Προτάσεων -Προβλημάτων, συχνά δύσκολων, που αφορούν σημειοσειρές.
Με την μέθοδο αυτή χρησιμοποιούμε συμμετρικές κεντρικές δέσμες και προσπαθούμε να βρούμε, το κέντρο μίας συμμετρικής κεντρικής δέσμης ευθειών, με έξοδο από την ευθεία της σημειοσειράς σε επίπεδό της, κατά την αντιστοιχία: «Κάθε μία ακτίνα της δέσμης αυτής να περνά από ένα αντίστοιχο σημείο της σημειοσειράς».
Έτσι, με βάση τη δέσμη αυτή προκύπτει εύκολα και ενιαία η σχετική απόδειξη ή λύση.
Για μεγαλύτερη ευκολία, το παραπάνω κέντρο της δέσμης, προτιμάμε να είναι το σταθερό σημείο, κάθε φορά, από το οποίο φαίνονται με ορθές γωνίες τουλάχιστον δύο τμήματα, που ορίζονται από δύο ζεύγη σημείων της σημειοσειράς αυτής (Είναι γνωστό ότι το σημείο αυτό έχουμε ονομάσει «Ορθοοπτικό σημείο»).
Τα παραπάνω γίνονται αντιληπτά, αν μελετηθούν προσεκτικά, οι σχετικές Προτάσεις και Προβλήματα που έχουμε αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα.
Ακόμη, για την εμπέδωση της μεθόδου προτείνουμε στους φίλους να χρησιμοποιούν και να εφαρμόζουν τη νέα μέθοδο για την απόδειξη ή λύση σε σχετικές Προτάσεις και Προβλήματα, που θα ακολουθήσουν στο εξής.
Είναι φανερό ότι, αφού ο ενιαίος τρόπος αυτός εφαρμόζεται και δίνει αποδείξεις-λύσεις σε μεγάλη σειρά Προτάσεων και Προβλημάτων, θα αποτελεί πραγματικά μία «Ειδική Μέθοδο» για τη Γεωμετρία.
Επειδή μέχρι τώρα, για την μέθοδο αυτή, δεν έχουμε συναντήσει αλλού κάτι το σχετικό, πιστεύουμε ότι πρόκειται πραγματικά για νέα μέθοδο που πρωτοεμφανίζεται εδώ στο mathematica. Παρακαλούμε τους φίλους, αν κάτι σχετικό εντοπίσουν κάπου αλλού να μας το κάνουν γνωστό με τα πλήρη στοιχεία του.
Τη μέθοδο αυτή έχουμε εφαρμόσει και έχουμε αποδείξει ή λύσει μεγάλο αριθμό Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία έχουμε αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα ή θα αναρτήσουμε στη συνέχεια, αλλά και πολλά άλλα, που ενώ τα έχουμε γράψει, δεν προλαβαίνουμε δυστυχώς να τα στοιχειοθετήσουμε ηλεκτρονικά, για να τα αναρτήσουμε εδώ.
Αγαπητοί φίλοι αυτά τα καταπληκτικά συμβαίνουν με την έρευνα*.
Όσοι πιστοί προσέλθετε, για να αναβαθμίσουμε και να φέρομε στην επιφάνεια την κατεξοχήν Ελληνική επιστήμη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας.

*ΕΡΕΥΝΑ
Απόλαυση Ανακαλύψεις Έντονες Συγκινήσεις $\Rightarrow$
Δημιουργία $\Rightarrow$ Πρόοδος.

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

Συνημμένο .
4η ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΔΙΑ ΤΩΝ «ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΩΝ ΔΕΣΜΩΝ»
Γεωμετρική Κατασκευή, με την παραπάνω Νέα Μέθοδο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
στα πλαίσια των όσων παραπάνω έχουμε υποσχεθεί, δίνουμε παρακάτω την διατύπωση Γεωμετρικής Κατασκευής $10\iota \left(194 \right)$ , που αφορά τετράδα συνευθειακών σημείων, προκειμένου η Κατασκευή αυτή να γίνει από τους ενδιαφερόμενους φίλους.
Δική μου λύση, με εφαρμογή προφανώς της παραπάνω Μεθόδου, θα αναρτήσω εδώ, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.
Μέχρι τότε περιμένουμε τις δικές σας λύσεις, κατά προτίμηση με εφαρμογή της μεθόδου αυτής, την οποία έχουμε ανάρτηση παραπάνω στην εργασία αυτή, ώστε να επιτευχθεί και η εμπέδωσή της μεθόδου.
Με εφαρμογή της μεθόδου αυτής, όπως θα διαπιστωθεί, παίρνουμε εύκολη και πολύ σαφή απόδειξη, ενώ με άλλο τρόπο είναι αμφίβολο αν μπορεί να γίνει.

Η Κατασκευή αυτή έχει ως εξής:
$10\iota \left(194 \right)$ . Δίνεται ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ και τα διατεταγμένα σημεία της $A, \Delta , E, B$ , με $AE<B\Delta$ . Στην ίδια ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ να ορισθεί σημείο $\Gamma$ , για το οποίο να είναι:
$\left(A\Delta \Gamma B \right)$ = $\left(BE\Gamma A \right)$ .

Σχόλιο.
Την παραπάνω δική μου κατασκευή, που έχει γίνει με απλή εφαρμογή της παραπάνω Νέας Μεθόδου, καταχώρησα στην παράγραφο $10\iota \left(194 \right)$ τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,

με το παρακάτω συνημμένο μου , όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την απόδειξή μου του παραπάνω Θεωρήματος $10\iota \left(194 \right)$ .

Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις- λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και

Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, κατά προτίμηση με την παραπάνω Νέα Μέθοδο, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής

#131

Νίκο καλησπέρα.

Πρόσθεσα το σχήμα στην πρώτη μου δημοσίευση πιο πάνω ώστε να είναι πιο εύκολη η ανάγνωση.

Για την δοσμένη σημειοσειρά $A,\ D,\ E,\ B$ όπως εμφανίζεται στο σχήμα, ισχύει AD = 5

και

, σε συνδυασμό με την τρίτη μου δημοσίευση.

Έχει βρεθεί το σημείο

μεταξύ των $D,\ E,$ για το οποίο αποδεικνύεται ότι ισχύει το ζητούμενο (A,D,C,B) = (B,E,C,A)

καθώς επίσης εμφανίζεται και το σημείο

μεταξύ των $E,\ B$ ώστε ET = 2

, για το οποίο εύκολα διαπιστώνεται ότι ισχύει επίσης το ζητούμενο (A,D,T,B) = (B,E,T,A).

Έχω την υποψία ότι υπάρχουν και άλλα σημεία (*) επί της ευθείας της δοσμένης σημειοσειράς, για τα οποία ισχύει το ζητούμενο της ισότητας των Διπλών λόγων όπως ορίζεται στην εκφώνηση, αλλά δεν έχω τις αποδείξεις.

Κώστας Βήττας.

(*) Διαφορετικά από το C',

το αρμονικό συζυγές του

ως προς τα $A,\ B$ και ως προς τα $D,\ E$ επίσης.

#132

vittasko έγραψε:Νίκο καλησπέρα.

Πρόσθεσα το σχήμα στην πρώτη μου δημοσίευση πιο πάνω ώστε να είναι πιο εύκολη η ανάγνωση.

Για την δοσμένη σημειοσειρά $A,\ D,\ E,\ B$ όπως εμφανίζεται στο σχήμα, ισχύει και και , σε συνδυασμό με την τρίτη μου δημοσίευση.

Έχει βρεθεί το σημείο μεταξύ των $D,\ E,$ για το οποίο αποδεικνύεται ότι ισχύει το ζητούμενο καθώς επίσης εμφανίζεται και το σημείο μεταξύ των $E,\ B$ ώστε , για το οποίο εύκολα διαπιστώνεται ότι ισχύει επίσης το ζητούμενο

Έχω την υποψία ότι υπάρχουν και άλλα σημεία (*) επί της ευθείας της δοσμένης σημειοσειράς, για τα οποία ισχύει το ζητούμενο της ισότητας των Διπλών λόγων όπως ορίζεται στην εκφώνηση, αλλά δεν έχω τις αποδείξεις.

Κώστας Βήττας.

(*) Διαφορετικά από το το αρμονικό συζυγές του ως προς τα $A,\ B$ και ως προς τα $D,\ E$ επίσης.

Κώστα,
το σχήμα σου μου διευκρίνισε την απόδειξη σου, η οποία είναι πολύ καλή και σε ευχαριστώ.

Εκείνο όμως που παίρνει βελτίωση είναι το μέρος της κατασκευής σου, για το οποίο δεν χρειάζεται το ισοσκελές τρίγωνο κτλ, γιατί οι κύκλοι και μπορούν να γίνουν με το να γράψεις, κατά τα γνωστά, δύο κύκλους και με χορδές τις , οι οποίες να φαίνονται από τα τόξα των δύο κύκλων, που βρίσκονται προς το ίδιο μέρος της $\left(\varepsilon \right)$ , με μεγάλες ίσες γωνιές. Αν θέλεις να αποφύγεις και τούτο (το μεγάλες γωνίες), είναι προτιμότερο να γράψεις τους κύκλους αυτούς, με χορδές τις και , που θα τέμνονται πάντοτε και έχεις τις ισογώνιες που ζητάς.

Αυτή είναι όλη η Μέθοδος μου, που λύνει σχεδόν όλα τα προβλήματα με σημειοσειρές, αν προσθέσουμε και την ειδική περίπτωση που τους κύκλους , τους γράφουμε με διαμέτρους τα τμήματα και , που είναι αναγκαία σε πολλές περιπτώσεις.

Ακόμη, θα έλεγα ότι καλό θα είναι στις Κατασκευές να υπάρχει και ανάλυση, για να φαίνεται και ο τρόπος σκέψης (προφανώς για τους μαθητές που μας παρακολουθούν).

Για αυτό που γράφεις, ότι δηλαδή αν το μπορεί να βρίσκεται πχ μεταξύ , είναι αμφίβολο. Πάντως θέλει περισσότερη διερεύνηση και χρόνο.

Όταν μου δοθεί ευκαιρία θα το δω. Εκείνο όμως που είναι σίγουρο, είναι ότι λύση αποτελεί και το συζυγές αρμονικό του ως προς τα , ή τα , το οποίο θα βρίσκεται εκτός του (ειδικά εδώ προς το ).

Υπόψη ότι στο πρόβλημα αυτό η διάταξη της τετράδας των σημείων, είναι καθορισμένη και άρα δεν επιδέχεται αμφισβήτηση.

Ευχές.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#133

Νίκο και λοιποί φίλοι καλησπέρα.

Όπως γράφω και πιο πάνω, δεν έχω τις αποδείξεις. Νομίζω όμως ότι δεν υπάρχει αμφιβολία για την ύπαρξη και άλλων σημείων εκτός των $C,\ C'$ επί της ευθείας $(\varepsilon)$ της δοσμένης σημειοσειράς $A,\ D,\ E,\ B,$ ώστε να ισχύει το ζητούμενο της ισότητας των Διπλών λόγων, όπως ορίζεται στην εκφώνηση.

Από τη στιγμή που υπάρχει έστω και ένα παράδειγμα σημειοσειράς, όπου ισχύει το ζητούμενο, αίρεται η επιφύλαξη για το εάν ισχύει ένα αποτέλεσμα ( εδώ η ισότητα των Διπλών λόγων για σημεία διαφορετικά των $C,\ C'$ ) και είναι άλλο θέμα η απόδειξή του.

Ας δούμε μία άλλη σημειοσειρά, που μας δίνει τέτοιο σημείο μεταξύ των $A,\ D.$

Πράγματι, αν έστω στη δοσμένη σημειοσειρά $A,\ D,\ E,\ B$ ισχύει AD = 4

και

, τότε λόγω συμμετρίας, για το κοινό μέσον

των $DE,\ AB,$ ισχύει προφανώς το ζητούμενο (A,D,C,B) = (B,E,C,A)

.

Υπάρχει όμως και το σημείο έστω

μεταξύ των $A,\ D,$ ώστε AS = 3

οπότε

για το οποίο εύκολα διαπιστώνεται ότι ισχύει επίσης το ζητούμενο.

$\displaystyle (A,D,S,B) = \frac{SA}{SD}\div \frac{BA}{BD} = 15 = \frac{SB}{SE}\div \frac{AB}{AE} = (B,E,S,A)$ .

Συμφωνώ ότι το θέμα θέλει διερεύνηση και γι' αυτό το ανέφερα.

Κώστας Βήττας.

#134

ΝΙΚΟΣ έγραψε:
ΝΙΚΟΣ έγραψε:ΕΙΝΑΙ ΚΑΤΑΠΛΗΚΤΙΚΟ!!!.
ΓΕΝΝΗΘΗΚΕ ΜΙΑ ΝΕΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ!!!

Aαγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
σήμερα πανηγυρίζει η Γεωμετρία, μαζί και όλοι εμείς οι φίλοι της.
Φίλη μου, έχουμε τη χαρά να σας κάνουμε γνωστό ότι:
ΜΙΑ ΝΕΑ ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΗ, ΠΙΣΤΕΥΩ, ΜΕΘΟΔΟΣ ΓΙΑ ΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, έχει γεννηθεί εδώ!!!
Πραγματικά, την νέα μέθοδο αυτή, αν και την έχουμε χρησιμοποιήσει εδώ ενστικτωδώς και όχι συνειδητά συχνά, για την απόδειξη – λύση πολλών Προτάσεων και Προβλημάτων Γεωμετρίας, εν τούτοις μέχρι τώρα δεν το είχαμε προσέξει. Την εφαρμόζαμε ενστικτωδώς.
Τη νέα μέθοδο αυτή ονομάσαμε «ΜΕΘΟΔΟ ΔΙΑ ΤΩΝ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΩΝ ΔΕΣΜΩΝ».
Η μέθοδος αυτή δίνει ένα ενιαίο τρόπο απόδειξης-λύσης μιας μεγάλης σειράς Προτάσεων -Προβλημάτων, συχνά δύσκολων, που αφορούν σημειοσειρές.
Με την μέθοδο αυτή χρησιμοποιούμε συμμετρικές κεντρικές δέσμες και προσπαθούμε να βρούμε, το κέντρο μίας συμμετρικής κεντρικής δέσμης ευθειών, με έξοδο από την ευθεία της σημειοσειράς σε επίπεδό της, κατά την αντιστοιχία: «Κάθε μία ακτίνα της δέσμης αυτής να περνά από ένα αντίστοιχο σημείο της σημειοσειράς».
Έτσι, με βάση τη δέσμη αυτή προκύπτει εύκολα και ενιαία η σχετική απόδειξη ή λύση.
Για μεγαλύτερη ευκολία, το παραπάνω κέντρο της δέσμης, προτιμάμε να είναι το σταθερό σημείο, κάθε φορά, από το οποίο φαίνονται με ορθές γωνίες τουλάχιστον δύο τμήματα, που ορίζονται από δύο ζεύγη σημείων της σημειοσειράς αυτής (Είναι γνωστό ότι το σημείο αυτό έχουμε ονομάσει «Ορθοοπτικό σημείο»).
Τα παραπάνω γίνονται αντιληπτά, αν μελετηθούν προσεκτικά, οι σχετικές Προτάσεις και Προβλήματα που έχουμε αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα.
Ακόμη, για την εμπέδωση της μεθόδου προτείνουμε στους φίλους να χρησιμοποιούν και να εφαρμόζουν τη νέα μέθοδο για την απόδειξη ή λύση σε σχετικές Προτάσεις και Προβλήματα, που θα ακολουθήσουν στο εξής.
Είναι φανερό ότι, αφού ο ενιαίος τρόπος αυτός εφαρμόζεται και δίνει αποδείξεις-λύσεις σε μεγάλη σειρά Προτάσεων και Προβλημάτων, θα αποτελεί πραγματικά μία «Ειδική Μέθοδο» για τη Γεωμετρία.
Επειδή μέχρι τώρα, για την μέθοδο αυτή, δεν έχουμε συναντήσει αλλού κάτι το σχετικό, πιστεύουμε ότι πρόκειται πραγματικά για νέα μέθοδο που πρωτοεμφανίζεται εδώ στο mathematica. Παρακαλούμε τους φίλους, αν κάτι σχετικό εντοπίσουν κάπου αλλού να μας το κάνουν γνωστό με τα πλήρη στοιχεία του.
Τη μέθοδο αυτή έχουμε εφαρμόσει και έχουμε αποδείξει ή λύσει μεγάλο αριθμό Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία έχουμε αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα ή θα αναρτήσουμε στη συνέχεια, αλλά και πολλά άλλα, που ενώ τα έχουμε γράψει, δεν προλαβαίνουμε δυστυχώς να τα στοιχειοθετήσουμε ηλεκτρονικά, για να τα αναρτήσουμε εδώ.
Αγαπητοί φίλοι αυτά τα καταπληκτικά συμβαίνουν με την έρευνα*.
Όσοι πιστοί προσέλθετε, για να αναβαθμίσουμε και να φέρομε στην επιφάνεια την κατεξοχήν Ελληνική επιστήμη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας.

*ΕΡΕΥΝΑ
Απόλαυση Ανακαλύψεις Έντονες Συγκινήσεις $\Rightarrow$
Δημιουργία $\Rightarrow$ Πρόοδος.

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

Συνημμένο .
4η ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΔΙΑ ΤΩΝ «ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΩΝ ΔΕΣΜΩΝ»
Γεωμετρική Κατασκευή, με την παραπάνω Νέα Μέθοδο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
στα πλαίσια των όσων παραπάνω έχουμε υποσχεθεί, δίνουμε παρακάτω την διατύπωση Γεωμετρικής Κατασκευής $10\iota \left(194 \right)$ , που αφορά τετράδα συνευθειακών σημείων, προκειμένου η Κατασκευή αυτή να γίνει από τους ενδιαφερόμενους φίλους.
Δική μου λύση, με εφαρμογή προφανώς της παραπάνω Μεθόδου, θα αναρτήσω εδώ, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.
Μέχρι τότε περιμένουμε τις δικές σας λύσεις, κατά προτίμηση με εφαρμογή της μεθόδου αυτής, την οποία έχουμε ανάρτηση παραπάνω στην εργασία αυτή, ώστε να επιτευχθεί και η εμπέδωσή της μεθόδου.
Με εφαρμογή της μεθόδου αυτής, όπως θα διαπιστωθεί, παίρνουμε εύκολη και πολύ σαφή απόδειξη, ενώ με άλλο τρόπο είναι αμφίβολο αν μπορεί να γίνει.

Η Κατασκευή αυτή έχει ως εξής:
$10\iota \left(194 \right)$ . Δίνεται ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ και τα διατεταγμένα σημεία της $A, \Delta , E, B$ , με $AE<B\Delta$ . Στην ίδια ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ να ορισθεί σημείο $\Gamma$ , για το οποίο να είναι:
$\left(A\Delta \Gamma B \right)$ = $\left(BE\Gamma A \right)$ .

Σχόλιο.
Την παραπάνω δική μου κατασκευή, που έχει γίνει με απλή εφαρμογή της παραπάνω Νέας Μεθόδου, καταχώρησα στην παράγραφο $10\iota \left(194 \right)$ τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Κώστα μου,
η υπομονή σου και η βιασύνη σου, με έκαναν να αφήσω άλλες υποχρεώσεις μου και να ερευνήσω το παραπάνω Πρόβλημα $10\iota \left(194 \right)$ , πιο προσεκτικά. Τούτο όμως βγήκε σε καλό, καθώς προέκυψε, όχι μόνο η απάντηση στο ερώτημά σου, αλλά και η πλήρη λύση του Προβλήματος αυτού.

Συγκεκριμένα, εκτός από το ζεύγος των σημείων , που χωρίζει αρμονικά το ζεύγος των τμημάτων και ,υπάρχει και δεύτερο ζεύγος σημείων , που χώριζε αρμονικά το ζεύγος των τμημάτων και και που αυτά βρίσκονται στα τμήματα αυτά, από ένα στο καθένα.

Για να επιτευχθεί η απόδειξη τούτου, που είναι πολύ δύσκολη, είναι ανάγκη να χρησιμοποιηθεί το ένα από τα δύο «Ορθοοπτικά Σημεία», που αναφέρω στην παραπάνω Νέα μου Μέθοδο, δια των «Συμμετρικών Κεντρικών Δεσμών».

Τούτο φαίνεται ξεκάθαρα από την Κατασκευή μου $11\left(1 \right)$ , που έχω ανάρτηση πιο πάνω με το Συνημμένο μου , στην οποία βασίζεται και η λύση που έχω δώσει.

Έτσι, για το Πρόβλημα $10\iota \left(194 \right)$ , υπάρχουν πλέον δύο ζεύγη σημείων, τα και τα , τα οποία το επαληθεύουν.

Λεπτομερή λύση του Προβλήματος αυτού που βασίζεται στην Κατασκευή μου $11\left(1 \right)$ , θα δώσω στη συνέχεια, εντός των ημερών.

Ευχαριστώ πολύ τον Κώστα Βήττα για την βοήθεια του.

Να γιατί παντού και πάντοτε ζητώ τη συμμετοχή των φίλων στις διάφορες προσπάθειες μου.

Είναι σίγουρο ότι με την έρευνα προκύπτουν πολλά και σημαντικά πράγματα, όταν μάλιστα αυτή γίνεται συλλογικά από ομάδα ατόμων.

Γι’ αυτό εμείς του mathematica μπορούμε να κάνουμε θαύματα, αν συνεργαζόμαστε.

Και πάλι ευχαριστώ πολύ τον Κώστα, για την συνεισφορά του.

Με αγάπη,
Νίκος Κυριαζής.

#135

ΝΙΚΟΣ έγραψε:
ΝΙΚΟΣ έγραψε:
ΝΙΚΟΣ έγραψε:ΕΙΝΑΙ ΚΑΤΑΠΛΗΚΤΙΚΟ!!!.
ΓΕΝΝΗΘΗΚΕ ΜΙΑ ΝΕΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ!!!

Aαγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
σήμερα πανηγυρίζει η Γεωμετρία, μαζί και όλοι εμείς οι φίλοι της.
Φίλη μου, έχουμε τη χαρά να σας κάνουμε γνωστό ότι:
ΜΙΑ ΝΕΑ ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΗ, ΠΙΣΤΕΥΩ, ΜΕΘΟΔΟΣ ΓΙΑ ΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, έχει γεννηθεί εδώ!!!
Πραγματικά, την νέα μέθοδο αυτή, αν και την έχουμε χρησιμοποιήσει εδώ ενστικτωδώς και όχι συνειδητά συχνά, για την απόδειξη – λύση πολλών Προτάσεων και Προβλημάτων Γεωμετρίας, εν τούτοις μέχρι τώρα δεν το είχαμε προσέξει. Την εφαρμόζαμε ενστικτωδώς.
Τη νέα μέθοδο αυτή ονομάσαμε «ΜΕΘΟΔΟ ΔΙΑ ΤΩΝ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΩΝ ΔΕΣΜΩΝ».
Η μέθοδος αυτή δίνει ένα ενιαίο τρόπο απόδειξης-λύσης μιας μεγάλης σειράς Προτάσεων -Προβλημάτων, συχνά δύσκολων, που αφορούν σημειοσειρές.
Με την μέθοδο αυτή χρησιμοποιούμε συμμετρικές κεντρικές δέσμες και προσπαθούμε να βρούμε, το κέντρο μίας συμμετρικής κεντρικής δέσμης ευθειών, με έξοδο από την ευθεία της σημειοσειράς σε επίπεδό της, κατά την αντιστοιχία: «Κάθε μία ακτίνα της δέσμης αυτής να περνά από ένα αντίστοιχο σημείο της σημειοσειράς».
Έτσι, με βάση τη δέσμη αυτή προκύπτει εύκολα και ενιαία η σχετική απόδειξη ή λύση.
Για μεγαλύτερη ευκολία, το παραπάνω κέντρο της δέσμης, προτιμάμε να είναι το σταθερό σημείο, κάθε φορά, από το οποίο φαίνονται με ορθές γωνίες τουλάχιστον δύο τμήματα, που ορίζονται από δύο ζεύγη σημείων της σημειοσειράς αυτής (Είναι γνωστό ότι το σημείο αυτό έχουμε ονομάσει «Ορθοοπτικό σημείο»).
Τα παραπάνω γίνονται αντιληπτά, αν μελετηθούν προσεκτικά, οι σχετικές Προτάσεις και Προβλήματα που έχουμε αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα.
Ακόμη, για την εμπέδωση της μεθόδου προτείνουμε στους φίλους να χρησιμοποιούν και να εφαρμόζουν τη νέα μέθοδο για την απόδειξη ή λύση σε σχετικές Προτάσεις και Προβλήματα, που θα ακολουθήσουν στο εξής.
Είναι φανερό ότι, αφού ο ενιαίος τρόπος αυτός εφαρμόζεται και δίνει αποδείξεις-λύσεις σε μεγάλη σειρά Προτάσεων και Προβλημάτων, θα αποτελεί πραγματικά μία «Ειδική Μέθοδο» για τη Γεωμετρία.
Επειδή μέχρι τώρα, για την μέθοδο αυτή, δεν έχουμε συναντήσει αλλού κάτι το σχετικό, πιστεύουμε ότι πρόκειται πραγματικά για νέα μέθοδο που πρωτοεμφανίζεται εδώ στο mathematica. Παρακαλούμε τους φίλους, αν κάτι σχετικό εντοπίσουν κάπου αλλού να μας το κάνουν γνωστό με τα πλήρη στοιχεία του.
Τη μέθοδο αυτή έχουμε εφαρμόσει και έχουμε αποδείξει ή λύσει μεγάλο αριθμό Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία έχουμε αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα ή θα αναρτήσουμε στη συνέχεια, αλλά και πολλά άλλα, που ενώ τα έχουμε γράψει, δεν προλαβαίνουμε δυστυχώς να τα στοιχειοθετήσουμε ηλεκτρονικά, για να τα αναρτήσουμε εδώ.
Αγαπητοί φίλοι αυτά τα καταπληκτικά συμβαίνουν με την έρευνα*.
Όσοι πιστοί προσέλθετε, για να αναβαθμίσουμε και να φέρομε στην επιφάνεια την κατεξοχήν Ελληνική επιστήμη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας.

*ΕΡΕΥΝΑ
Απόλαυση Ανακαλύψεις Έντονες Συγκινήσεις $\Rightarrow$
Δημιουργία $\Rightarrow$ Πρόοδος.

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

Συνημμένο .
4η ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΔΙΑ ΤΩΝ «ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΩΝ ΔΕΣΜΩΝ»
Γεωμετρική Κατασκευή, με την παραπάνω Νέα Μέθοδο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
στα πλαίσια των όσων παραπάνω έχουμε υποσχεθεί, δίνουμε παρακάτω την διατύπωση Γεωμετρικής Κατασκευής $10\iota \left(194 \right)$ , που αφορά τετράδα συνευθειακών σημείων, προκειμένου η Κατασκευή αυτή να γίνει από τους ενδιαφερόμενους φίλους.
Δική μου λύση, με εφαρμογή προφανώς της παραπάνω Μεθόδου, θα αναρτήσω εδώ, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.
Μέχρι τότε περιμένουμε τις δικές σας λύσεις, κατά προτίμηση με εφαρμογή της μεθόδου αυτής, την οποία έχουμε ανάρτηση παραπάνω στην εργασία αυτή, ώστε να επιτευχθεί και η εμπέδωσή της μεθόδου.
Με εφαρμογή της μεθόδου αυτής, όπως θα διαπιστωθεί, παίρνουμε εύκολη και πολύ σαφή απόδειξη, ενώ με άλλο τρόπο είναι αμφίβολο αν μπορεί να γίνει.

Η Κατασκευή αυτή έχει ως εξής:
$10\iota \left(194 \right)$ . Δίνεται ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ και τα διατεταγμένα σημεία της $A, \Delta , E, B$ , με $AE<B\Delta$ . Στην ίδια ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ να ορισθεί σημείο $\Gamma$ , για το οποίο να είναι:
$\left(A\Delta \Gamma B \right)$ = $\left(BE\Gamma A \right)$ .

Σχόλιο.
Την παραπάνω δική μου κατασκευή, που έχει γίνει με απλή εφαρμογή της παραπάνω Νέας Μεθόδου, καταχώρησα στην παράγραφο $10\iota \left(194 \right)$ τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Κώστα μου,
η υπομονή σου και η βιασύνη σου, με έκαναν να αφήσω άλλες υποχρεώσεις μου και να ερευνήσω το παραπάνω Πρόβλημα $10\iota \left(194 \right)$ , πιο προσεκτικά. Τούτο όμως βγήκε σε καλό, καθώς προέκυψε, όχι μόνο η απάντηση στο ερώτημά σου, αλλά και η πλήρη λύση του Προβλήματος αυτού.

Συγκεκριμένα, εκτός από το ζεύγος των σημείων , που χωρίζει αρμονικά το ζεύγος των τμημάτων και ,υπάρχει και δεύτερο ζεύγος σημείων , που χώριζε αρμονικά το ζεύγος των τμημάτων και και που αυτά βρίσκονται στα τμήματα αυτά, από ένα στο καθένα.

Για να επιτευχθεί η απόδειξη τούτου, που είναι πολύ δύσκολη, είναι ανάγκη να χρησιμοποιηθεί το ένα από τα δύο «Ορθοοπτικά Σημεία», που αναφέρω στην παραπάνω Νέα μου Μέθοδο, δια των «Συμμετρικών Κεντρικών Δεσμών».

Τούτο φαίνεται ξεκάθαρα από την Κατασκευή μου $11\left(1 \right)$ , που έχω ανάρτηση πιο πάνω με το Συνημμένο μου , στην οποία βασίζεται και η λύση που έχω δώσει.

Έτσι, για το Πρόβλημα $10\iota \left(194 \right)$ , υπάρχουν πλέον δύο ζεύγη σημείων, τα και τα , τα οποία το επαληθεύουν.

Λεπτομερή λύση του Προβλήματος αυτού που βασίζεται στην Κατασκευή μου $11\left(1 \right)$ , θα δώσω στη συνέχεια, εντός των ημερών.

Ευχαριστώ πολύ τον Κώστα Βήττα για την βοήθεια του.

Να γιατί παντού και πάντοτε ζητώ τη συμμετοχή των φίλων στις διάφορες προσπάθειες μου.

Είναι σίγουρο ότι με την έρευνα προκύπτουν πολλά και σημαντικά πράγματα, όταν μάλιστα αυτή γίνεται συλλογικά από ομάδα ατόμων.

Γι’ αυτό εμείς του mathematica μπορούμε να κάνουμε θαύματα, αν συνεργαζόμαστε.

Και πάλι ευχαριστώ πολύ τον Κώστα, για την συνεισφορά του.

Με αγάπη,
Νίκος Κυριαζής.

$5^{\eta }$ ΠΟΛΥΠΛΟΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΔΙΑ ΤΩΝ «ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΩΝ ΔΕΣΜΩΝ»
Επέκταση Γεωμετρικής Κατασκευής, με την παραπάνω Νέα Μέθοδο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
μετά από απουσία μου τριών ημερών στη Χαλκιδική, σήμερα όπως έχω υποσχεθεί, έχω τη χαρά με την παρακάτω συνημμένο μου , να σας δώσω την επέκταση και ολοκλήρωση $11\left(49 \right)$ , της Κατασκευής μου $10\iota \left(194 \right)$ , που έχω αναρτήσει παραπάνω με το συνημμένο μου .

Πρόκειται για μία δύσκολη Κατασκευή από πλευράς κυρίως απόδειξής της, που έγινε κατόπιν επιμονής του φίλου Κώστα Βήττα, ο οποίος ως γνωστό ισχυριζόταν δικαιολογημένα, ότι εκτός από τα σημεία $\Gamma , \Gamma '$ υπάρχουν και σημεία τα οποία επαληθεύουν τη σχέση $\left(1 \right)$ της Κατασκευής αυτής, αλλά για τα οποία δεν μπορούσε να ορίσει την ακριβή θέση τους και δεν είχε τη λύση του Προβλήματος.

Έτσι, αφού μελέτησα το Πρόβλημα, προέκυψαν πράγματα ωραία, αλλά πολύπλοκα, καθώς έπρεπε να γίνει μία δέσμη τεσσάρων ακτινών, με τις ακτίνες της και την κορυφή της οποίας, να δημιουργηθούν τέσσερις άλλες συμμετρικές κεντρικές δέσμες, κτλ, (τα υπόλοιπα στο παρακάτω συνημμένο μου στη λύση του Προβλήματος).

Στο αποτέλεσμα αυτό με βοήθησε προφανώς η Νέα Μέθοδός μου των «Συμμετρικών Κεντρικών Δεσμών» με το «ορθοοπτικό» σημείο των τμημάτων , $B\Delta$ , η οποία αν δεν υπήρχε, είναι αμφίβολο, αν έφθανα στην παραπάνω λύση μου.

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής

#136

Νίκο, εξαιρετική δουλειά και σ' ευχαριστώ πολύ για το χρόνο σου.

Είναι ευρυματική η σκέψη σου ότι για τα σημεία $Z,\ Z',$ επί των τμημάτων $AD,\ EB$ αντιστοίχως, ως τα ίχνη των διχοτόμων των γωνιών $\angle AKD$ και $\angle EKB,$ εφαρμόζεται η ίδια ιδέα της συμμετρικής δέσμης (*) με κορυφή το

, όπως ακριβώς και στην περίπτωση του σημείου

επί του τμήματος DE,

ως το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας $\angle DKE.$

Νομίζω όμως, ότι αδικείται η συνολική λύση όπως εμφανίζεται στο κείμενο με τις πολλές παραπομπές σε προηγούμενες αναρτήσεις σου, γιατί είναι πολύ κουραστικό για τον μέσο αναγνώστη.

Θα προσπαθήσω, αν μου δοθεί χρόνος, να διασκευάσω τα γραφόμενά σου που σχετίζονται με την Πρόταση 11(49), σε αυτοτελές κείμενο με όλες τις αποδείξεις, βασισμένες στην ιδέα της συμμετρικής δέσμης.

Και πάλι σ' ευχαριστώ, Κώστας Βήττας.

(*) Συμμετρική είναι μία δέσμη τεσσάρων ακτίνων, όταν έχει άξονα συμμετρίας και ας μου επιτραπεί εδώ μία διευκρίνιση :

Από την ζητούμενη ισότητα των Διπλών λόγων $(A,D,C,B) = (B,E,C,A)\ \ \ ,(1)$ δεν προκύπτει ότι η δοσμένη σημειοσειρά $A,\ D,\ E,\ B$ είναι συμμετρική, που σημαίνει ότι τα τμήματα $AB,\ DE$ έχουν κοινό μέσον, γιατί αυτό ισχύει μόνο στην ειδική περίπτωση τομής της συμμετρικής δέσμης, από ευθεία κάθετη στον άξονα συμμετρίας της.

Από την (1)

βέβαια, έρχεται στο νου η ιδέα μήπως μπορεί να καταστεί η δοσμένη σημειοσειρά ως η τομή κάποιας συμμετρικής δέσμης από την ευθεία της σημειοσειράς. Γι' αυτό, σε πρώτη προσπάθεια αναζητήθηκε ένα σημείο

τέτοιο ώστε να ισχύει $\angle AKD = \angle EKB$ και έτσι, η διχοτόμος της γωνίας $\angle DKE$ ( αλλά και της $\angle AKB$ ), να μας δίνει το σημείο

μεταξύ των $D,\ E.$

Επιπροσθέτως, όπως αποδεικνύεται εύκολα και το σημείο

, ως το αρμονικό συζυγές του

ως προς τα $D,\ E$ ( αλλά και ως προς τα $A,\ B$ ), επαληθεύει επίσης την (1).

#137

vittasko έγραψε:Νίκο, εξαιρετική δουλειά και σ' ευχαριστώ πολύ για το χρόνο σου.

Είναι ευρυματική η σκέψη σου ότι για τα σημεία $Z,\ Z',$ επί των τμημάτων $AD,\ EB$ αντιστοίχως, ως τα ίχνη των διχοτόμων των γωνιών $\angle AKD$ και $\angle EKB,$ εφαρμόζεται η ίδια ιδέα της συμμετρικής δέσμης (*) με κορυφή το , όπως ακριβώς και στην περίπτωση του σημείου επί του τμήματος ως το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας $\angle DKE.$

Νομίζω όμως, ότι αδικείται η συνολική λύση όπως εμφανίζεται στο κείμενο με τις πολλές παραπομπές σε προηγούμενες αναρτήσεις σου, γιατί είναι πολύ κουραστικό για τον μέσο αναγνώστη.

Θα προσπαθήσω, αν μου δοθεί χρόνος, να διασκευάσω τα γραφόμενά σου που σχετίζονται με την Πρόταση 11(49), σε αυτοτελές κείμενο με όλες τις αποδείξεις, βασισμένες στην ιδέα της συμμετρικής δέσμης.

Και πάλι σ' ευχαριστώ, Κώστας Βήττας.

(*) Συμμετρική είναι μία δέσμη τεσσάρων ακτίνων, όταν έχει άξονα συμμετρίας και ας μου επιτραπεί εδώ μία διευκρίνιση :

Από την ζητούμενη ισότητα των Διπλών λόγων $(A,D,C,B) = (B,E,C,A)\ \ \ ,(1)$ δεν προκύπτει ότι η δοσμένη σημειοσειρά $A,\ D,\ E,\ B$ είναι συμμετρική, που σημαίνει ότι τα τμήματα $AB,\ DE$ έχουν κοινό μέσον, γιατί αυτό ισχύει μόνο στην ειδική περίπτωση τομής της συμμετρικής δέσμης, από ευθεία κάθετη στον άξονα συμμετρίας της.

Από την βέβαια, έρχεται στο νου η ιδέα μήπως μπορεί να καταστεί η δοσμένη σημειοσειρά ως η τομή κάποιας συμμετρικής δέσμης από την ευθεία της σημειοσειράς. Γι' αυτό, σε πρώτη προσπάθεια αναζητήθηκε ένα σημείο τέτοιο ώστε να ισχύει $\angle AKD = \angle EKB$ και έτσι, η διχοτόμος της γωνίας $\angle DKE$ ( αλλά και της $\angle AKB$ ), να μας δίνει το σημείο μεταξύ των $D,\ E.$

Επιπροσθέτως, όπως αποδεικνύεται εύκολα και το σημείο , ως το αρμονικό συζυγές του ως προς τα $D,\ E$ ( αλλά και ως προς τα $A,\ B$ ), επαληθεύει επίσης την

Κώστα Καλημέρα.
Ευχαριστώ πολύ για τα καλά σου λόγια.
Ακόμη Κώστα, δε θα ήθελα να θεωρείς ότι έχεις κάποια υποχρέωση απέναντί μου, για την λεπτομερειακή λύση του Προβλήματος $11\left(49 \right)$ , καθώς όλες τις αποδείξεις και λύσεις μου προσπαθώ πάντοτε να είναι όσο γίνεται λεπτομερείς. Το ίδιο έκανα και τώρα. Δεν έκανα κάτι παραπάνω.

Για τις παραπομπές στις λύσεις και αποδείξεις μου είναι αναπόφευκτες, γιατί θα πρέπει πράγματα που έχω αποδείξει παραπάνω να τα επαναλαμβάνω, κάθε φορά που χρειάζονται.

Αυτό που εγώ κάνω εδώ, γίνεται σε κάθε βιβλίο μαθηματικών. Δηλαδή, κάθε νέα Πρόταση, βασίζεται σε προηγούμενες Προτάσεις. Αυτός είναι και ο λόγος που έχω επιλέξει να γράφω συνέχεια στην ίδια θέση του mathematica, καθώς όλα αυτά που γράφω εδώ είναι συναφή και υπάρχει συνέχεια, όπως συμβαίνει σε κάθε βιβλίο. Άλλωστε, δεν σου κρύβω, ότι όλα αυτά που γράφω εδώ και πολλά άλλα συναφή, που δεν προλαβαίνω να αναρτήσω τελικά θα αποτελέσουν το έβδομο βιβλίο μου.

Όσο για τους αναγνώστες μου, είναι πραγματικά δύσκολο, αλλά αναπόφευκτο. Πάντως όσοι ενδιαφέρονται πραγματικά για τη Γεωμετρία, αυτό δεν τους είναι εμπόδιο.
Βέβαια υπάρχει και ο τρόπος με τα λήμματα, αλλά τότε θα έπρεπε τις ίδιες Προτάσεις με τις αποδείξεις τους, να τις αναρτώ πολλές φορές.

Για τη συμμετρική δέσμη πέντε ακτινών, πολύ σωστά δίνεις τον ορισμό. Στην παράγραφο $10\iota \left(197 \right)$ του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας», δίνω τον σχετικό ορισμό και τα κριτήρια συμμετρικότητάς της.

Στην ίδια παράγραφο δίνω επίσης τον ορισμό της συμμετρικής σημειοσειράς (συμβατικά) πέντε σημείων, αλλά και τις ιδιότητές της (κριτήρια).
Μια σημειοσειρά των πέντε σημείων την έχω χαρακτηρίσει (συμβατικά), ως συμμετρική, αν τα πέντε σημεία της προέρχονται ή αντιστοιχούν σε τομή συμμετρικής δέσμης των πέντε ακτινών, από ευθεία, όχι υποχρεωτικά κάθετη στον άξονα της δέσμης.

Αυτές έχουν δύο σημαντικές ιδιότητες (κριτήρια), τις οποίες έχω δώσει με τη μορφή των Προτάσεων $10\iota \left(190 \right)$ (συνημμένο ) και $10\iota \left(191 \right)$ (συνημμένο ), με τα οποία και τις αναγνωρίζουμε.

Δυστυχώς, αυτά συμβαίνουν επειδή από τη σχετική Θεωρία, δεν μπόρεσα μέχρι τώρα να αναρτήσω πολλά στοιχεία. Όμως αυτά τα σχετικά, που έχω αναρτήσει σε παρατηρήσεις των Προτάσεων $10\iota \left(185 \right)$ [παρατήρηση $\left(\beta \right)$ , συνημμένο ], $10\iota \left(189 \right)$ [παρατήρηση $\left(\gamma \right)$ , συνημμένο ), $10\iota \left(190 \right)$ [παρατήρηση $\left(\alpha \right)$ , συνημμένο ],κτλ, νομίζω ότι είναι αρκετά κατατοπιστικά, σε όσους παρακολουθούν λεπτομερώς και ανελλιπώς την προσπάθεια μου εδώ (Πάντως, όπως φαίνεται στα παραπάνω γραφόμενά σου, έχεις σωστά υποψιαστεί και τον ορισμό αυτό).

Δε λέω ότι είναι εύκολα τα πράγματα, καθώς δεν υπάρχει πάντοτε και ο απαιτούμενος χρόνος. Αλλά, δεν μπόρεσα μέχρι τώρα να δώσω περισσότερα σχετικά στοιχεία. Αυτά μπορεί να γίνουν κατανοητά, αν ο ενδιαφερόμενος εκτυπώσει την όλη εδώ εργασία μου και την μελετήσει πολύ προσεκτικά. Διαφορετικά θα πρέπει να αναμένει το έβδομο βιβλίο μου.

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

#138

ΝΙΚΟΣ έγραψε:
ΝΙΚΟΣ έγραψε:
ΝΙΚΟΣ έγραψε:
ΝΙΚΟΣ έγραψε:ΕΙΝΑΙ ΚΑΤΑΠΛΗΚΤΙΚΟ!!!.
ΓΕΝΝΗΘΗΚΕ ΜΙΑ ΝΕΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ!!!

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
[/b]
Συνημμένο .
4η ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΔΙΑ ΤΩΝ «ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΩΝ ΔΕΣΜΩΝ»
Γεωμετρική Κατασκευή, με την παραπάνω Νέα Μέθοδο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
στα πλαίσια των όσων παραπάνω έχουμε υποσχεθεί, δίνουμε παρακάτω την διατύπωση Γεωμετρικής Κατασκευής $10\iota \left(194 \right)$ , που αφορά τετράδα συνευθειακών σημείων, προκειμένου η Κατασκευή αυτή να γίνει από τους ενδιαφερόμενους φίλους.
Δική μου λύση, με εφαρμογή προφανώς της παραπάνω Μεθόδου, θα αναρτήσω εδώ, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.
Μέχρι τότε περιμένουμε τις δικές σας λύσεις, κατά προτίμηση με εφαρμογή της μεθόδου αυτής, την οποία έχουμε ανάρτηση παραπάνω στην εργασία αυτή, ώστε να επιτευχθεί και η εμπέδωσή της μεθόδου.
Με εφαρμογή της μεθόδου αυτής, όπως θα διαπιστωθεί, παίρνουμε εύκολη και πολύ σαφή απόδειξη, ενώ με άλλο τρόπο είναι αμφίβολο αν μπορεί να γίνει.

Η Κατασκευή αυτή έχει ως εξής:
$10\iota \left(194 \right)$ . Δίνεται ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ και τα διατεταγμένα σημεία της $A, \Delta , E, B$ , με $AE<B\Delta$ . Στην ίδια ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ να ορισθεί σημείο $\Gamma$ , για το οποίο να είναι:
$\left(A\Delta \Gamma B \right)$ = $\left(BE\Gamma A \right)$ .

Σχόλιο.
Την παραπάνω δική μου κατασκευή, που έχει γίνει με απλή εφαρμογή της παραπάνω Νέας Μεθόδου, καταχώρησα στην παράγραφο $10\iota \left(194 \right)$ τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Κώστα μου,
η υπομονή σου και η βιασύνη σου, με έκαναν να αφήσω άλλες υποχρεώσεις μου και να ερευνήσω το παραπάνω Πρόβλημα $10\iota \left(194 \right)$ , πιο προσεκτικά. Τούτο όμως βγήκε σε καλό, καθώς προέκυψε, όχι μόνο η απάντηση στο ερώτημά σου, αλλά και η πλήρη λύση του Προβλήματος αυτού.

Συγκεκριμένα, εκτός από το ζεύγος των σημείων , που χωρίζει αρμονικά το ζεύγος των τμημάτων και ,υπάρχει και δεύτερο ζεύγος σημείων , που χώριζε αρμονικά το ζεύγος των τμημάτων και και που αυτά βρίσκονται στα τμήματα αυτά, από ένα στο καθένα.

Για να επιτευχθεί η απόδειξη τούτου, που είναι πολύ δύσκολη, είναι ανάγκη να χρησιμοποιηθεί το ένα από τα δύο «Ορθοοπτικά Σημεία», που αναφέρω στην παραπάνω Νέα μου Μέθοδο, δια των «Συμμετρικών Κεντρικών Δεσμών».

Τούτο φαίνεται ξεκάθαρα από την Κατασκευή μου $11\left(1 \right)$ , που έχω ανάρτηση πιο πάνω με το Συνημμένο μου , στην οποία βασίζεται και η λύση που έχω δώσει.

Έτσι, για το Πρόβλημα $10\iota \left(194 \right)$ , υπάρχουν πλέον δύο ζεύγη σημείων, τα και τα , τα οποία το επαληθεύουν.

Λεπτομερή λύση του Προβλήματος αυτού που βασίζεται στην Κατασκευή μου $11\left(1 \right)$ , θα δώσω στη συνέχεια, εντός των ημερών.

Ευχαριστώ πολύ τον Κώστα Βήττα για την βοήθεια του.

Να γιατί παντού και πάντοτε ζητώ τη συμμετοχή των φίλων στις διάφορες προσπάθειες μου.

Είναι σίγουρο ότι με την έρευνα προκύπτουν πολλά και σημαντικά πράγματα, όταν μάλιστα αυτή γίνεται συλλογικά από ομάδα ατόμων.

Γι’ αυτό εμείς του mathematica μπορούμε να κάνουμε θαύματα, αν συνεργαζόμαστε.

Και πάλι ευχαριστώ πολύ τον Κώστα, για την συνεισφορά του.

Με αγάπη,
Νίκος Κυριαζής.

$5^{\eta }$ ΠΟΛΥΠΛΟΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΔΙΑ ΤΩΝ «ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΩΝ ΔΕΣΜΩΝ»
Επέκταση Γεωμετρικής Κατασκευής, με την παραπάνω Νέα Μέθοδο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
μετά από απουσία μου τριών ημερών στη Χαλκιδική, σήμερα όπως έχω υποσχεθεί, έχω τη χαρά με την παρακάτω συνημμένο μου , να σας δώσω την επέκταση και ολοκλήρωση $11\left(49 \right)$ , της Κατασκευής μου $10\iota \left(194 \right)$ , που έχω αναρτήσει παραπάνω με το συνημμένο μου .

Πρόκειται για μία δύσκολη Κατασκευή από πλευράς κυρίως απόδειξής της, που έγινε κατόπιν επιμονής του φίλου Κώστα Βήττα, ο οποίος ως γνωστό ισχυριζόταν δικαιολογημένα, ότι εκτός από τα σημεία $\Gamma , \Gamma '$ υπάρχουν και σημεία τα οποία επαληθεύουν τη σχέση $\left(1 \right)$ της Κατασκευής αυτής, αλλά για τα οποία δεν μπορούσε να ορίσει την ακριβή θέση τους και δεν είχε τη λύση του Προβλήματος.

Έτσι, αφού μελέτησα το Πρόβλημα, προέκυψαν πράγματα ωραία, αλλά πολύπλοκα, καθώς έπρεπε να γίνει μία δέσμη τεσσάρων ακτινών, με τις ακτίνες της και την κορυφή της οποίας, να δημιουργηθούν τέσσερις άλλες συμμετρικές κεντρικές δέσμες, κτλ, (τα υπόλοιπα στο παρακάτω συνημμένο μου στη λύση του Προβλήματος).

Στο αποτέλεσμα αυτό με βοήθησε προφανώς η Νέα Μέθοδός μου των «Συμμετρικών Κεντρικών Δεσμών» με το «ορθοοπτικό» σημείο των τμημάτων , $B\Delta$ , η οποία αν δεν υπήρχε, είναι αμφίβολο, αν έφθανα στην παραπάνω λύση μου.

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής

Αξιόλογη Επέκταση Γεωμετρικής Κατασκευής από Ευθεία και σε Κύκλο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
μετά από σχετική μελέτη προέκυψε ότι η παραπάνω Κατασκευή $11\left(49 \right)$ , διατύπωση και αποδείξη της οποίας έχω αναρτήσει εδώ με το συνημμένο μου , αληθεύει και σε κύκλο.

Κατόπιν τούτου, προτείνω στους ενδιαφερόμενους για την πρόοδο της Γεωμετρίας φίλους και κυρίως στον φίλο Κώστα Βήττα [που έχει ασχοληθεί και με την σχετική Κατασκευή $11\left(49 \right)$ ], να ασχοληθούν και να μας διατυπώσουν την παραπάνω επέκταση της Κατασκευής $11\left(49 \right)$ και για κύκλο και να μας δώσουν τη λύση της.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#139

$5^{\eta }$ ΠΟΛΥΠΛΟΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΔΙΑ ΤΩΝ «ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΩΝ ΔΕΣΜΩΝ»
Επέκταση Γεωμετρικής Κατασκευής, με την παραπάνω Νέα Μέθοδο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
μετά από απουσία μου τριών ημερών στη Χαλκιδική, σήμερα όπως έχω υποσχεθεί, έχω τη χαρά με την παρακάτω συνημμένο μου , να σας δώσω την επέκταση και ολοκλήρωση $11\left(49 \right)$ , της Κατασκευής μου $10\iota \left(194 \right)$ , που έχω αναρτήσει παραπάνω με το συνημμένο μου .

Πρόκειται για μία δύσκολη Κατασκευή από πλευράς κυρίως απόδειξής της, που έγινε κατόπιν επιμονής του φίλου Κώστα Βήττα, ο οποίος ως γνωστό ισχυριζόταν δικαιολογημένα, ότι εκτός από τα σημεία $\Gamma , \Gamma '$ υπάρχουν και σημεία τα οποία επαληθεύουν τη σχέση $\left(1 \right)$ της Κατασκευής αυτής, αλλά για τα οποία δεν μπορούσε να ορίσει την ακριβή θέση τους και δεν είχε τη λύση του Προβλήματος.

Έτσι, αφού μελέτησα το Πρόβλημα, προέκυψαν πράγματα ωραία, αλλά πολύπλοκα, καθώς έπρεπε να γίνει μία δέσμη τεσσάρων ακτινών, με τις ακτίνες της και την κορυφή της οποίας, να δημιουργηθούν τέσσερις άλλες συμμετρικές κεντρικές δέσμες, κτλ, (τα υπόλοιπα στο παρακάτω συνημμένο μου στη λύση του Προβλήματος).

Στο αποτέλεσμα αυτό με βοήθησε προφανώς η Νέα Μέθοδός μου των «Συμμετρικών Κεντρικών Δεσμών» με το «ορθοοπτικό» σημείο των τμημάτων , $B\Delta$ , η οποία αν δεν υπήρχε, είναι αμφίβολο, αν έφθανα στην παραπάνω λύση μου.

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής

Αξιόλογη Επέκταση Γεωμετρικής Κατασκευής από Ευθεία και σε Κύκλο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
μετά από σχετική μελέτη προέκυψε ότι η παραπάνω Κατασκευή $11\left(49 \right)$ , διατύπωση και αποδείξη της οποίας έχω αναρτήσει εδώ με το συνημμένο μου , αληθεύει και σε κύκλο.

Κατόπιν τούτου, προτείνω στους ενδιαφερόμενους για την πρόοδο της Γεωμετρίας φίλους και κυρίως στον φίλο Κώστα Βήττα [που έχει ασχοληθεί και με την σχετική Κατασκευή $11\left(49 \right)$ ], να ασχοληθούν και να μας διατυπώσουν την παραπάνω επέκταση της Κατασκευής $11\left(49 \right)$ και για κύκλο και να μας δώσουν τη λύση της.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αξιόλογη Επέκταση της Γεωμετρικής Κατασκευής $11\left(49 \right)$ από Ευθεία και σε Κύκλο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
προκειμένου να διευκολύνουμε τους ενδαφερόμενους φίλους, δίνω παρακάτω για λύση την διατύπωση της πρωτοεμφανιζόμενης πιστεύω Κατασκευής $11\left(50 \right)$ , την οποία είχαμε ζητήσει παραπάνω, αλλά μέχρι τώρα δεν μας έχει δοθεί. Πρόκειται για μία αξιόλογη Κατασκευή.

Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις. Δική μου λύση, θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η Κατασκευή αυτή, έχει ως εξής:
$11\left(50 \right)$ . Δίνεται κύκλος $\left(\kappa \right)$ και τα διατεταγμένα σημεία του $A, \Delta, E, B$ . Στον ίδιο κύκλο $\left(\kappa \right)$ , να ορισθούν τα σημεία $\Gamma , \Gamma ', Z, Z'$ , για τα οποία να είναι:
$\left(A\Delta \Gamma B \right)=\left(BE\Gamma A \right), \left(1 \right)$ ,
$\left(A\Delta \Gamma ' B \right)=\left(BE\Gamma ' A \right), \left(2 \right)$ ,
$\left(A\Delta Z B \right)=\left(BEZ A \right), \left(3 \right)$ ,
$\left(A\Delta Z' B \right)=\left(BEZ' A \right), \left(4 \right)$ ,

ή με άλλη διατύπωση:
Δίνεται κυρτό τετράπλευρο $A\Delta EB$ , εγγεγραμμένο σε κύκλο $\left(\kappa \right)$ . Να αποδειχθεί ότι στον ίδιο κύκλο $\left(\kappa \right)$ , υπάρχουν σημεία $\Gamma , \Gamma ', Z, Z'$ , για τα οποία αληθεύουν οι παραπάνω σχέσεις $\left(1 \right)$ μέχρι $\left(4 \right)$ .

Σχόλιο.
Την παραπάνω Κατασκευή, καταχώρησα στην παράγραφο $11\left(50 \right)$ τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#140

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
επειδή πολύ συχνά, στην εργασία αυτή, μας χρειάστηκαν, αλλά και θα μας χρειαστούν, ορισμένες βοηθητικές Προτάσεις (Λήμματα), θα τις αναρτήσω κι εδώ, όταν μου δίνεται η ευκαιρία, αν και πολλές από αυτές τις έχω αναρτήσει και άλλοτε στo mathematica.

Επειδή, τα Λήμματα αυτά δεν προέρχονται από το νέο βιβλίο μου που τώρα εδώ κτίζω, με το υλικό που αναρτώ στην εργασία μου αυτή εδώ και όχι μόνο και επειδή από την αιτία αυτή στα Λήμματα αυτά, αναγράφονται και κάποιες παραπομπές και αριθμήσεις, άσχετες με την εδώ εργασία, οι αναγνώστες φίλοι, θα πρέπει να τις παρακάμπτουν.

Πιστεύω ότι , έστω και έτσι, τα Λήμματα αυτά θα λύσουν απορίες και θα ικανοποιούν την ουσία του λόγου που αναρτώνται εδώ και που είναι η βοήθεια των ενδιαφερομένων φίλων, ώστε να μην τους παραπέμπουμε σε βιβλία, τα οποία δεν διαθέτουν όλοι.

Έτσι με την έννοια αυτή, παρακάτω με το συνημμένο μου , δίνω τη βοηθητική Πρόταση $1\alpha \left(17 \right)$ (Λήμμα).

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ*.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Μέλη σε σύνδεση