Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

KARKAR · #41

Άσκηση 20
Ένας ποδηλάτης , τρέχοντας με σταθερή ταχύτητα , διατρέχει μια απόσταση 24 km

.

Αν μπορούσε να τρέξει με ταχύτητα κατά 6 km/h

μεγαλύτερη , θα ολοκλήρωνε τη

διαδρομή σε χρόνο μικρότερο κατά 8 min

. Ποια ήταν η ταχύτητα του ποδηλάτη ?

KARKAR · #42

Άσκηση 21
Η παραβολή y=-x^2+2x+8

, έχει κορυφή το σημείο

και τέμνεται από την ευθεία

y=-x-2

, στα σημεία

και

. Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle ABC$ .

freyia · #43

KARKAR έγραψε:Άσκηση 20
Ένας ποδηλάτης , τρέχοντας με σταθερή ταχύτητα , διατρέχει μια απόσταση .

Αν μπορούσε να τρέξει με ταχύτητα κατά μεγαλύτερη , θα ολοκλήρωνε τη

διαδρομή σε χρόνο μικρότερο κατά . Ποια ήταν η ταχύτητα του ποδηλάτη ?

Άμα $\displaystyle{v}$ Km/h είναι η ταχύτητα στην αρχή, τότε χρειάζεται χρόνο $\displaystyle{t}$ ώρες για να διανύσει τα $\displaystyle{24}$ Km

Άμα η ταχύτητα γίνει $\displaystyle{v+6}$ km/h , τότε χρειάζεται χρόνο $\displaystyle{t-\frac{8}{60}}$ ώρες.

Έχουμε επομένως τις εξισώσεις:

$\displaystyle{24=vt}$ και $\displaystyle{24=(v+6)(t-\frac{8}{60})}$

Άμα λύσουμε το σύστημα, θα βρούμε: $\displaystyle{t=\frac{4}{5} h}$ και $\displaystyle{v=30 \frac{Km}{h}}$

freyia · #44

KARKAR έγραψε:Άσκηση 21
Η παραβολή , έχει κορυφή το σημείο και τέμνεται από την ευθεία

, στα σημεία και . Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle ABC$ .

Η κορυφή είναι $\displaystyle{A(1,9)}$ . Ακόμα άμα λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων της παραβολής και της ευθείας, θα δούμε ότι

$\displaystyle{B(5,-7)}$ και $\displaystyle{C(-2,0)}$ .

Επομένως $\displaystyle{c=AB=4\sqrt{17} , b=AC=3\sqrt{10} , a=BC=7\sqrt{2}}$

Από τον τύπο του Ήρωνα, έχουμε: $\displaystyle{E=\sqrt{t(t-a)(t-b)(t-c)}$ , με $\displaystyle{t=\frac{a+b+c}{2}}$

Τώρα $\displaystyle{t(t-a)=...=\frac{21\sqrt{20}-42}{2}}$ και $\displaystyle{(t-b)(t-c)=...=\frac{21\sqrt{20}+42}{2}}$

Επομένως $\displaystyle{t(t-a)(t-b)(t-c)=\frac{21^2 .20-42^2}{4}=\frac{21^2 .20-4.21^2}{4}=21^2 .4=42^2}$

Και τώρα $\displaystyle{E=\sqrt{42^2}=42}$

KARKAR · #45

: parabolic area.png (15.45 KiB) Προβλήθηκε 2007 φορές

Ο τύπος του Ήρωνα , ή εκείνος με την ορίζουσα , δίνουν βέβαια λύση στο πρόβλημα της εύρεσης του εμβαδού ,

αλλά δεν περλαμβάνονται στις γνώσεις των μαθητών της Α' Λυκείου . Εναλλακτικά μπορούμε να βρούμε το

(ABC)

ως εξής : Βρίσκουμε την εξίσωση της ευθείας

(με ύλη Γυμνασίου !) και το σημείο

στο οποίο

τέμνει τον άξονα x'x

, που είναι το $\displaystyle(\frac{13}{4},0)$ . Παρατηρούμε ότι το άθροισμα των εμβαδών των τριγώνων

ABD

και

, τα οποία έχουν κοινή βάση ίση με $\displaystyle\frac{21}{4}$ και ύψη

και

, μας δίνουν το συνολικό

ζητούμενο εμβαδόν : $(ABC)=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \frac{21}{4}\cdot 16=42$

Ιστοσελίδα · #46

KARKAR έγραψε:Ας δημιουργήσουμε και ένα φάκελο με ασκήσεις Άλγεβρας Α' Λυκείου μόνο για μαθητές , με κανόνες αντίστοιχους

των παρόμοιων φακέλων άλλων τάξεων , ουσιαστικά δηλαδή με ασκήσεις σαν αυτές που θα βάζαμε στις

εξετάσεις και ως προς τη μορφή (2-3-4 ερωτήματα ) και ως προς τη δυσκολία (όχι μόνο 4α θέματα !)
....

Κάποιες από τις ασκήσεις που βλέπω εδώ ΣΙΓΟΥΡΑ ΔΕΝ μπορούν να είναι θέματα εξετάσεων το Μάϊο !!!
Τα υποερωτήματα δεν μπορούν να είναι άσχετα μεταξύ τους, αλλά πρέπει να είναι της μορφής έχω ένα τελικό ερώτημα και το αναλύω σε υποερωτήματα για να λυθεί η άσκηση ευκολότερα από τους μαθητές. Αν συζητήσω δε για κάποια από τα θέματα με τις απόλυτες τιμές θα έλεγα απλά ότι είναι εκτός τόπου, χρόνου και ουσίας !!! Όλα τα «υπολογιστικά» μέρη της ύλης : απόλυτες τιμές, ρίζες, δυνάμεις, ταυτότητες έχουν βοηθητικό ρόλο για τα ουσιώδη : προβλήματα, συναρτήσεις, εξισώσεις, ανισώσεις και δεν είναι αυτοσκοπός ο λογισμός!
Συγνώμη για τον έντονο λόγο μου, αλλά πρέπει να είμαστε προσεκτικοί και να μην αποπροσανατολίζουμε κάποιους μαθητές που πιθανόν παρακολουθούν τη συγκεκριμένη συζήτηση. Οι έμπειροί συνάδελφοι που συνεισφέρουν στο θέμα το κάνουν σε αυτό το πνεύμα απ' ότι βλέπω.

KARKAR · #47

Άσκηση 22
Δίνεται η εξίσωση : x^2+(x-2)^2=2k

.

1) Αν η εξίσωση δεν είναι αδύνατη , ποιες τιμές μπορεί να πάρει το

?

2) Αν η μία ρίζα της εξίσωσης είνα τριπλάσια της άλλης , βρείτε το

3) Για ποιo

, η κορυφή της παραβολής y=x^2+(x-2)^2-2k

, βρίσκεται πάνω στην ευθεία y=x

?

gavrilos · #48

KARKAR έγραψε:Δίνεται η εξίσωση : .

1) Αν η εξίσωση δεν είναι αδύνατη , ποιες τιμές μπορεί να πάρει το ?

2) Αν η μία ρίζα της εξίσωσης είνα τριπλάσια της άλλης , βρείτε το

3) Για ποιo , η κορυφή της παραβολής , βρίσκεται πάνω στην ευθεία ?

1)Η εξίσωση μπορεί να γραφεί ως $\displaystyle{2x^{2}-4x+4-2k=0 \Leftrightarrow x^{2}-2x+2-k=0 \Leftrightarrow \Delta =4-8+4k=4(k-1)}$ άρα πρέπει $\displaystyle{k\geq 1}$ .

2)Oι λύσεις της είναι $\displaystyle{\frac{2-\sqrt{4(k-1)}}{2} ,\frac{2+\sqrt{4(k-1)}}{2}}$ όπου ,εφόσον όλοι οι όροι είναι θετικοί ,καταλαβαίνουμε ότι

$\displaystyle{\frac{2+\sqrt{4(k-1)}}{2}=3\frac{2-\sqrt{4(k-1)}}{2} \Leftrightarrow 2+\sqrt{4(k-1)}=6-3\sqrt{4(k-1)} \Leftrightarrow 4\sqrt{4(k-1)}=4 \Leftrightarrow 4(k-1)=1 \Leftrightarrow k=\frac{5}{4}}}$ .

3)Η παραβολή είναι η $\displaystyle{y=2x^{2}-4x+4-2k}$ .Η κορυφή της παραβολής βρίσκεται σε σημείο $\displaystyle{P(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a})}$ .

Η τετμημένη του σημείου ισούται προφανώς με $\displaystyle{-\frac{-4}{4}=1}$ άρα για να περνάει η $\displaystyle{y=x}$ θα πρέπει και η

τεταγμένη να είναι $\displaystyle{1}$ και $\displaystyle{-\frac{\Delta}{4a}=1 \Leftrightarrow \frac{\Delta}{4a}=-1 \Leftrightarrow \Delta=-4a=-8}$ .Τώρα $\displaystyle{\Delta=16-8(4-2k)=16k-16 \Leftrightarrow 16k-16=-8 \Leftrightarrow k=\frac{1}{2}}$ .

*Πολύ πιθανό να κάνω κάπου λάθος.
**Θα ήταν καλό να δημιουργηθεί ένας φάκελος γεωμετρίας με θέματα παρόμοιας δυσκολίας που να απευθύνεται σε μαθητές.

Φιλικά,
gavrilos

Edit:Τελικά όντως είχα κάνει κάποιες...αβλεψίες. Ευχαριστώ τον KARKAR για τη διόρθωση!

parmenides51 · #49

gavrilos έγραψε:**Θα ήταν καλό να δημιουργηθεί ένας φάκελος γεωμετρίας με θέματα παρόμοιας δυσκολίας που να απευθύνεται σε μαθητές.

υπάρχει ήδη, εδώ

gavrilos · #50

Ευχαριστώ πολύ.
Δεν το είχα δει μιας και δεν έχει ασχοληθεί κανείς εδώ και καιρό αλλά θα προσπαθήσω να το "ξαναζωντανέψω".

ji2mada2006 · #51

Μια άσκηση ερυθρόλευκων αποχρώσεων.
ΑΣΚΗΣΗ 23η
Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=2\sqrt{kx^2-2x+1}-\sqrt{nx^2-6x+9}$ όπου n,k

πραγματικοί αριθμοί, που ικανοποιούν την παρακάτω πρόταση:
<< P(A)=1,99+k^2-2k

η πιθανότητα να κερδίσει του χρόνου ο Ολυμπιακός το πρωτάθλημα και
P(B)=1.01+n^2-2n

η πιθανότητα να το κερδίσει οποιαδήποτε άλλη ομάδα.>>
1)Να δειχθεί ότι τα n,k

παίρνουν την τιμή 1 .
2) Να βρεθούν οι πιθανότητες P(A)

και

.
3) Να απλοποιηθεί ο τύπος της

.(χωρίς ρίζες)
4) Να βρεθεί το Π.Ο. της

.
5) Nα βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της

με τους άξονες.
6) Να απαλειφθούν οι απόλυτες τιμές.
7) Έστω f(1)

και

2 όροι μιας αριθμητικής προόδου ,να βρεθεί η διαφορά $\omega$ της αριθμητικής προόδου αν γνωρίζετε ότι υπάρχουν άλλοι

όροι ανάμεσά τους.

pana1333 · #52

Καλησπέρα και από εμένα....δίνω μια δική μου.....

ΑΣΚΗΣΗ 24

Δίνεται η συνάρτηση

με τύπο

.

A) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού $\lambda$ ώστε $f\left(\lambda ^{2}+1\right)>0$ .

B) Να λυθεί η εξίσωση $\sqrt{f^{2}\left(k \right)}+\sqrt{f\left(k ^{2} \right)}=f\left(f\left(2 \right) \right),k \epsilon R$ .

Γ) Δίνεται η εξίσωση $f\left(\mu \right)x^{2}+f\left(\mu +1 \right)x+f\left(2 \right)=0, \mu \epsilon R$ . Για ποιες τιμές του $\mu$ η εξίσωση έχει μια τουλάχιστον πραγματική ρίζα;

Δ) Να βρεθεί ο αριθμός $\mu$ έτσι ώστε $\frac{1}{x^{2}_{1}}+\frac{1}{x^{2}_{2}}+\frac{2}{x_{1}x_{2}}=4\left( \mu -1\right)^{2}$

BAGGP93 · #53

pana1333 έγραψε:Καλησπέρα και από εμένα....δίνω μια δική μου.....

ΑΣΚΗΣΗ 24

Δίνεται η συνάρτηση με τύπο .

A) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού $\lambda$ ώστε $f\left(\lambda ^{2}+1\right)>0$ .

B) Να λυθεί η εξίσωση $\sqrt{f^{2}\left(k \right)}+\sqrt{f\left(k ^{2} \right)}=f\left(f\left(2 \right) \right),k \epsilon R$ .

Γ) Δίνεται η εξίσωση $f\left(\mu \right)x^{2}+f\left(\mu +1 \right)x+f\left(2 \right)=0, \mu \epsilon R$ . Για ποιες τιμές του $\mu$ η εξίσωση έχει μια τουλάχιστον πραγματική ρίζα;

Δ) Να βρεθεί ο αριθμός $\mu$ έτσι ώστε $\frac{1}{x^{2}_{1}}+\frac{1}{x^{2}_{2}}+\frac{2}{x_{1}x_{2}}=4\left( \mu -1\right)^{2}$

Καλησπέρα.

Α)Η $\displaystyle{f}$ έχει πεδίο ορισμού το σύνολο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ των πραγματικών αριθμών και άρα

το $\displaystyle{f(\lambda^2+1)}$ είναι καλώς ορισμένο για κάθε $\displaystyle{\lambda\in\mathbb{R}}$ .Έτσι,

$\displaystyle{f(\lambda^2+1)>0\Leftrightarrow \lambda^2+1-1>0\Leftrightarrow \lambda^2>0\Leftrightarrow \lambda\in\mathbb{R}-\left\{0\right\}}$

Β)Για την εξίσωση αυτήν έχουμε τον ακόλουθο περιορισμό

$\displaystyle{f(k^2)\geq 0\Leftrightarrow k^2-1\geq 0\Leftrightarrow (k-1)(k+1)\geq 0\Leftrightarrow k\in\left(-\infty,-1\right]\cup\left[1,+\infty\right)}}$

Για τα παραπάνω $\displaystyle{k}$ είναι,

$\displaystyle{\sqrt{f^2(k)}+\sqrt{f(k^2)}=f(f(2))\Rightarrow}$

$\displaystyle{\Rightarrow \left|f(k)\right|+\sqrt{k^2-1}=f(1)=0}$

$\displaystyle{\Rightarrow f(k)=0\ \land k^2-1=0}$

$\displaystyle{\Rightarrow k-1=0\ \land (k-1)(k+1)=0}$

$\displaystyle{\Rightarrow k=1}$ .

Η λύση, σύμφωνα με τον περιορισμό, είναι δεκτή και επιπλέον, μοναδική λύση της εν λόγω εξίσωσης.

Γ)Για $\displaystyle{\mu\in\mathbb{R}}$ έχουμε

$\displaystyle{f(\mu)x^2+f(\mu+1)x+f(2)=0\Leftrightarrow (\mu-1)x^2+\mu\cdot x+1=0(\ast)}$

Αν $\displaystyle{\mu=1}$ , τότε η εξίσωση αυτή έχει πραγματική ρίζα το $\displaystyle{x=-1}$

Αν $\displaystyle{\mu\neq 1}$ , τότε ισοδύναμα θέλουμε να αναζητήσουμε τις λύσεις της

$\displaystyle{\left(x+\frac{\mu}{2(\mu-1)}\right)^2=\frac{(\mu-2)^2}{4(\mu-1)^2}}$

Αν τώρα $\displaystyle{\mu=2}$ η εξίσωση έχει ως μοναδική πραγματική ρίζα την $\displaystyle{x=-\frac{\mu}{2(\mu-1)}=-1}$

Τέλος, αν $\displaystyle{\mu\neq 2}$ η εξίσωση $\displaystyle{(\ast)}$ έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες οι οποίες δίνονται από τους τύπους

$\displaystyle{x_1=\frac{-\mu+(\mu-2)}{2(\mu-1)}=-\frac{1}{\mu-1}}$ και $\displaystyle{x_2=\frac{-\mu-(\mu-2)}{2(\mu-1)}=-1}$

Συνεπώς, για κάθε τιμή του $\displaystyle{\mu\in\mathbb{R}}$ η εξίσωση $\displaystyle{(\ast)}$ έχει τουλάχιστον μια πραγματική ρίζα.

Δ)Αξιοποιώντας τους τύπους του Vieta βρίσκουμε

$\displaystyle{\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}+\frac{2}{x_1\cdot x_2}=4(\mu-1)^2\Rightarrow}$

$\displaystyle{\Rightarrow \frac{x_1^2+x_2^2}{(x_1\cdot x_2)^2}+\frac{2}{x_1\cdot x_2}=4(\mu-1)^2}$

$\displaystyle{\Rightarrow \frac{x_1^2+x_2^2+2x_1\cdot x_2}{(x_1\cdot x_2)^2}=4(\mu-1)^2}$

$\displaystyle{\Rightarrow \frac{(x_1+x_2)^2}{(x_1\cdot x_2)^2}=4(\mu-1)^2}$

$\displaystyle{\Rightarrow \mu^2=4(\mu-1)^2}$

$\displaystyle{\Rightarrow \mu^2-4(\mu-1)^2=0}$

$\displaystyle{\Rightarrow \left[\mu-2(\mu-1)\right]\left[\mu+2(\mu-1)\right]=0$

$\displaystyle{\Rightarrow \left(2-\mu)(3\mu-2)=0$

$\displaystyle{\Rightarrow \mu=2\ \lor \mu=\frac{2}{3}}$

erxmer · #54

ΑΣΚΗΣΗ 25

Δίνεται η γεωμετρική πρόοδος a_n

με

και λόγο $\lambda$

A) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού $\lambda$ η παράσταση A=3a_3-6a_2+40a_1

γίνεται ελάχιστη

B) Αν επιπλέον το άθροισμα των 3 πρώτων όρων της προόδου είναι 2013 τότε

1) να βρεθεί ο όρος a_1

2) να λυθεί η ανισωση $\displaystyle{|x^2-5x| \geq \frac{5S_{4}^2}{a_{4}+S_{5}}}$

Γ) να υπολογιστεί το άθροισμα των όρων b_n

μιας αριθμητικής προόδου, που ορίζεται ώστε

$b_1=a_1 \,\,, \omega=\lambda, b_2=b_1+ \omega ....$ , προκειμένου η εξίσωση

x^2+b_nx+5n=0

να μην έχει πραγματικές ρίζες.

gavrilos · #55

ji2mada2006 έγραψε:Μια άσκηση ερυθρόλευκων αποχρώσεων.
ΑΣΚΗΣΗ 23η
Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=2\sqrt{kx^2-2x+1}-\sqrt{nx^2-6x+9}$ όπου πραγματικοί αριθμοί, που ικανοποιούν την παρακάτω πρόταση:
<< η πιθανότητα να κερδίσει του χρόνου ο Ολυμπιακός το πρωτάθλημα και
η πιθανότητα να το κερδίσει οποιαδήποτε άλλη ομάδα.>>
1)Να δειχθεί ότι τα παίρνουν την τιμή 1 .
2) Να βρεθούν οι πιθανότητες και .
3) Να απλοποιηθεί ο τύπος της .(χωρίς ρίζες)
4) Να βρεθεί το Π.Ο. της .
5) Nα βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της με τους άξονες.
6) Να απαλειφθούν οι απόλυτες τιμές.
7) Έστω και 2 όροι μιας αριθμητικής προόδου ,να βρεθεί η διαφορά $\omega$ της αριθμητικής προόδου αν γνωρίζετε ότι υπάρχουν άλλοι όροι ανάμεσά τους.

Κάνω μια προσπάθεια σε μερικά από τα ερωτήματα.

1) Βλέπουμε ότι $\displaystyle{P(B)=P(A')}$ ενώ ξέρουμε και ότι $\displaystyle{P(A)+P(A')=1 \Leftrightarrow P(A)+P(B)=1}$ .

Αντικαθιστούμε και έχουμε με πράξεις ότι $\displaystyle{(k-1)^{2}+(n-1)^{2}=0 \Leftrightarrow k=n=1}$ .

2) $\displaystyle{P(A)=99}$ % και $\displaystyle{P(B)=1}$ %.

3) $\displaystyle{f(x)=2|x-1|-|x-3|}$ .

4)Π.Ο. είναι το διάστημα $\displaystyle{(-\infty,+\infty)}$ με όλους τους πραγματικούς αριθμούς.

Απαντάω πρώτα το 6) Ο τύπος είναι $\displaystyle{f(x)=2|x-1|-|x-3|=\begin{cases} -x-1 & \text{ if }\ x<1 \\ 3x-5 & \text{ if } 1\leq x < 3 \\ x+1 & \text{ if } x\geq 3 \end{cases}}$ .

Αφήνω τα άλλα 2 για άλλη φορά γιατί τώρα δεν προλαβαίνω.Ελπίζω να είναι σωστά αυτά που έχω γράψει.

Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

Re: Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

Re: Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

Re: Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

Re: Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

Re: Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

Re: Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

Re: Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

Re: Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

Re: Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

Re: Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

Re: Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

Re: Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

Re: Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

Re: Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

Re: Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

Μέλη σε σύνδεση