2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

pap65 · #41

ΜΠΗΚΑΝ 22 ΝΕΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΚΑΛΟ ΚΟΥΡΑΓΙΟ
Ετοιμάζω με την σειρά τη 2_20050

mathfinder · #42

Καλησπέρα
Φτιάχνω το GI_V_MATHP_2_20072

Θεωρούμε μια ευθεία (ε) και ένα σημείο A(6, -1)

εκτός της (ε).
Έστω M(2, 1)

η προβολή του Α στην (ε). Να βρείτε:
α) Την εξίσωση της ευθείας (ε).
(Μονάδες

)
β) Το συμμετρικό του Α ως προς την (ε).
(Μονάδες

)

ΛΥΣΗ
α) Επειδή $\lambda _{AM}=\frac{1-\left(-1 \right)}{2-6}=-\frac{1}{2}$ και $AM\perp \varepsilon$ είναι $\lambda _{\varepsilon }.\lambda _{AM}=-1\Leftrightarrow \lambda _{\varepsilon }=2$
Άρα η εξίσωση της (ε) είναι : $\varepsilon : y-y_{M}=\lambda _{\varepsilon }\left(x-x_{M} \right)\Leftrightarrow y-1=2\left(x-2 \right)\Leftrightarrow y=2x-3$ .
β) Έστω $B\left(x_{B},y_{B} \right)$ το συμμετρικό του Α ως προς την (ε) . Τότε ισχύει $\frac{6+x_{B}}{2}=2\Leftrightarrow x_{B}=-2$ και $\frac{-1+y_{B}}{2}=1\Leftrightarrow y_{B}=3$ .
Άρα είναι $B\left(-2,3 \right)$ .

Αθ. Μπεληγιάννης

hlkampel · #43

GI_V_MATHP_2_20052

Δίνονται τα διανύσματα $\vec \alpha ,\vec \beta$ με $\left| {\vec \alpha } \right| = 1$ , $\left( {\vec \alpha + 2\vec \beta } \right) \cdot \vec \beta = 7$

και $\vec \alpha \cdot \vec \beta = - 1$ .
α) Να υπολογίσετε τα ${\vec \alpha ^2}$ και $\left| {\vec \beta } \right|$ (Μονάδες 6)
β) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος $\vec \alpha + 2\vec \beta$ (Μονάδες 9)
γ) Να βρείτε την προβολή του $\vec \alpha + 2\vec \beta$ στο διάνυσμα $\vec \beta$ (Μονάδες 10)

Λύση

α) Είναι: ${\vec \alpha ^2} = {\left| {\vec \alpha } \right|^2} = 1$ και

$\left( {\vec \alpha + 2\vec \beta } \right) \cdot \vec \beta = 7 \Leftrightarrow \vec \alpha \cdot \vec \beta + 2{\vec \beta ^2} = 7 \Leftrightarrow - 1 + 2\left| {{{\vec \beta }^2}} \right| = 7 \Leftrightarrow$ ${\left| {\vec \beta } \right|^2} = 4 \Leftrightarrow \left| {\vec \beta } \right| = 2$

β) Είναι ${\left| {\vec \alpha + 2\vec \beta } \right|^2} = {\left( {\vec \alpha + 2\vec \beta } \right)^2} = {\vec \alpha ^2} + 4\vec \alpha \cdot \vec \beta + 4{\vec \beta ^2} = 1 - 4 + 16 = 13$

Έτσι $\left| {\vec \alpha + 2\vec \beta } \right| = \sqrt {13}$

γ) Ισχύει: $\vec \beta \cdot \pi \rho o{\beta _{\vec \beta }}\left( {\vec \alpha + 2\vec \beta } \right) = \left( {\vec \alpha + 2\vec \beta } \right) \cdot \vec \beta \Leftrightarrow \vec \beta \cdot \pi \rho o{\beta _{\vec \beta }}\left( {\vec \alpha + 2\vec \beta } \right) = 7\;\left( 1 \right)$

Όμως $\pi \rho o{\beta _{\vec \beta }}\left( {\vec \alpha + 2\vec \beta } \right)//\vec \beta \Leftrightarrow \pi \rho o{\beta _{\vec \beta }}\left( {\vec \alpha + 2\vec \beta } \right) = \lambda \vec \beta ,\lambda \in R\;\left( 2 \right)$

$\left( 1 \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 2 \right)} \lambda {\vec \beta ^2} = 7 \Rightarrow 4\lambda = 7 \Leftrightarrow \lambda = \dfrac{7}{4}$

Από τη $\left( 2 \right) \Rightarrow \pi \rho o{\beta _{\vec \beta }}\left( {\vec \alpha + 2\vec \beta } \right) = \dfrac{7}{4}\vec \beta$

Νίκος Ξενιάδης · #44

Nα υπολογίσετε το ύψους ΓΔ καθως και την εξίσωση ευθείας πάνω στην οποία βρίσκετε αυτό ΑΣΚΗΣΗ2-20067 . Από τις φρέσκες !
Τι θέλει να πεί ; Αν θέλει το μήκος , μήπως πρώτα να ζήταγε την εξίσωση ευθείας πάνω στην οποία είναι το ύψος ; Πραγματικά έχω την περιέργεια να δω . Αλλά πιστεύω σε μια νέα απόσυρση

Γιώργος Απόκης · #45

GI_V_MATHP_2_20053

Δίνονται τα διανύσματα $\displaystyle{\vec a,\vec \beta}$ με $\displaystyle{|\vec \beta|=2|\vec a|=4}$ και $\displaystyle{\vec a \cdot \vec \beta =-8}$

α) Να υπολογίσετε τη γωνία $\displaystyle{\left(\widehat{\vec a,\vec\beta}\right)}$

β) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\vec \beta+2\vec a=\vec 0}$

Λύση

α) Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{\vec a \cdot \vec \beta =-|\vec a||| \vec \beta|}$ άρα τα διανύσματα είναι αντίρροπα και επομένως έχουν γωνία $\displaystyle{180^o}$ .

β) Αφού τα διανύσματα είναι αντίρροπα, θα υπάρχει $\displaystyle{\lambda <0}$ τέτοιος ώστε $\displaystyle{\vec \beta=\lambda \vec a}$ .

Όμως $\displaystyle{|\vec \beta|=2|\vec a|}$ άρα $\displaystyle{\lambda=-2}$ και έτσι $\displaystyle{\vec \beta=-2 \vec a\Rightarrow \vec \beta+2 \vec a=\vec 0}$ .

ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ · #46

Καλησπέρα. ανεβάζω την 2 – 20053

ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ · #47

Ετοιμάζω την 2-20056

Γιώργος Απόκης · #48

Γιώργος Απόκης έγραψε: GI_V_MATHP_2_20053

Δίνονται τα διανύσματα $\displaystyle{\vec a,\vec \beta}$ με $\displaystyle{|\vec \beta|=2|\vec a|=4}$ και $\displaystyle{\vec a \cdot \vec \beta =-8}$

α) Να υπολογίσετε τη γωνία $\displaystyle{\left(\widehat{\vec a,\vec\beta}\right)}$

β) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\vec \beta+2\vec a=\vec 0}$

Λύση

α) Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{\vec a \cdot \vec \beta =-|\vec a||| \vec \beta|}$ άρα τα διανύσματα είναι αντίρροπα και επομένως έχουν γωνία $\displaystyle{180^o}$ .

β) Αφού τα διανύσματα είναι αντίρροπα, θα υπάρχει $\displaystyle{\lambda <0}$ τέτοιος ώστε $\displaystyle{\vec \beta=\lambda \vec a}$ .

Όμως $\displaystyle{|\vec \beta|=2|\vec a|}$ άρα $\displaystyle{\lambda=-2}$ και έτσι $\displaystyle{\vec \beta=-2 \vec a\Rightarrow \vec \beta+2 \vec a=\vec 0}$ .

ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ έγραψε:Καλησπέρα. ανεβάζω την 2 – 20053

Συγχρονισμός! Στις 7.57 έγραψα ότι θα ασχοληθώ με την άσκηση, ο Γιώργος την είχε ήδη λύσει και την ανέβασε στις 7.58 και λίγο μετά ανέβασα τη δική μου.

Βλέπω ότι διαφέρουν λίγο στο πρώτο ερώτημα...

ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ · #49

Γιώργος Απόκης έγραψε:
Γιώργος Απόκης έγραψε: GI_V_MATHP_2_20053

Δίνονται τα διανύσματα $\displaystyle{\vec a,\vec \beta}$ με $\displaystyle{|\vec \beta|=2|\vec a|=4}$ και $\displaystyle{\vec a \cdot \vec \beta =-8}$

α) Να υπολογίσετε τη γωνία $\displaystyle{\left(\widehat{\vec a,\vec\beta}\right)}$

β) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\vec \beta+2\vec a=\vec 0}$

Λύση

α) Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{\vec a \cdot \vec \beta =-|\vec a||| \vec \beta|}$ άρα τα διανύσματα είναι αντίρροπα και επομένως έχουν γωνία $\displaystyle{180^o}$ .

β) Αφού τα διανύσματα είναι αντίρροπα, θα υπάρχει $\displaystyle{\lambda <0}$ τέτοιος ώστε $\displaystyle{\vec \beta=\lambda \vec a}$ .

Όμως $\displaystyle{|\vec \beta|=2|\vec a|}$ άρα $\displaystyle{\lambda=-2}$ και έτσι $\displaystyle{\vec \beta=-2 \vec a\Rightarrow \vec \beta+2 \vec a=\vec 0}$ .
ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ έγραψε:Καλησπέρα. ανεβάζω την 2 – 20053
Συγχρονισμός! Στις 7.57 έγραψα ότι θα ασχοληθώ με την άσκηση, ο Γιώργος την είχε ήδη λύσει και την ανέβασε στις 7.58 και λίγο μετά ανέβασα τη δική μου.

Βλέπω ότι διαφέρουν λίγο στο πρώτο ερώτημα...

Με συγχωρείς δεν είχα δει ότι την ετοίμαζες!

Γιώργος Απόκης · #50

GI_V_MATHP_2_20059

Δίνονται τα διανύσματα $\displaystyle{\vec a=(-1,3),~\vec\beta=\left(-2,-\frac{1}{2}\right)}$ .

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος $\displaystyle{\vec u=\vec a-2\vec \beta}$ .

β) Να βρείτε το θετικό αριθμό $\displaystyle{x}$ για τον οποία τα διανύσματα $\displaystyle{\vec u}$ και $\displaystyle{\vec v=(x^2,x-1)}$ είναι κάθετα.

Λύση

α) Έχουμε $\displaystyle{\vec u=(-1,3)-2\left(-2,-\frac{1}{2}\right)=(-1,3)+(4,1)=(3,4)}$

β) Ισχύει $\displaystyle{\vec u\perp \vec v\Leftrightarrow \vec u\cdot\vec v=0\Leftrightarrow 3x^2+4(x-1)=0\Leftrightarrow 3x^2+4x-4=0}$ .

Το τριώνυμο έχει $\displaystyle{\Delta=64}$ και ρίζες $\displaystyle{x=-2<0,~x=\frac{2}{3}>0}$ από τις οποίες δεκτή είναι η $\displaystyle{x=\frac{2}{3}}$ .

Γιώργος Απόκης · #51

ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ έγραψε:
Γιώργος Απόκης έγραψε:
Γιώργος Απόκης έγραψε: GI_V_MATHP_2_20053

Δίνονται τα διανύσματα $\displaystyle{\vec a,\vec \beta}$ με $\displaystyle{|\vec \beta|=2|\vec a|=4}$ και $\displaystyle{\vec a \cdot \vec \beta =-8}$

α) Να υπολογίσετε τη γωνία $\displaystyle{\left(\widehat{\vec a,\vec\beta}\right)}$

β) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\vec \beta+2\vec a=\vec 0}$

Λύση

α) Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{\vec a \cdot \vec \beta =-|\vec a||| \vec \beta|}$ άρα τα διανύσματα είναι αντίρροπα και επομένως έχουν γωνία $\displaystyle{180^o}$ .

β) Αφού τα διανύσματα είναι αντίρροπα, θα υπάρχει $\displaystyle{\lambda <0}$ τέτοιος ώστε $\displaystyle{\vec \beta=\lambda \vec a}$ .

Όμως $\displaystyle{|\vec \beta|=2|\vec a|}$ άρα $\displaystyle{\lambda=-2}$ και έτσι $\displaystyle{\vec \beta=-2 \vec a\Rightarrow \vec \beta+2 \vec a=\vec 0}$ .
ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ έγραψε:Καλησπέρα. ανεβάζω την 2 – 20053
Συγχρονισμός! Στις 7.57 έγραψα ότι θα ασχοληθώ με την άσκηση, ο Γιώργος την είχε ήδη λύσει και την ανέβασε στις 7.58 και λίγο μετά ανέβασα τη δική μου.

Βλέπω ότι διαφέρουν λίγο στο πρώτο ερώτημα...
Με συγχωρείς δεν είχα δει ότι την ετοίμαζες!

Δεν πειράζει Γιώργο. Είναι λογικό αφού οι πρώτες δύο δημοσιεύσεις ενδέχεται να διέφεραν κατά δευτερόλεπτα!

#52

20057

Γιώργος Απόκης · #53

GI_V_MATHP_2_20058

Δίνονται τα διανύσματα $\displaystyle{\vec a=(-1,\sqrt{3}),~\vec \beta=(\sqrt{3},3)}$ . Να υπολογίσετε

α) την γωνία $\displaystyle{\left(\widehat{\vec a,\vec\beta}\right)}$

β) το διάνυσμα $\displaystyle{\vec u=\vec a^2\vec \beta-(\vec a\cdot \vec\beta)\vec a}$ .

Λύση

α) Υπολογίζουμε $\displaystyle{\vec a\cdot \vec\beta=-1\cdot\sqrt{3}+3\sqrt{3}=2\sqrt{3}}$ ,

$\displaystyle{|\vec a|=\sqrt{1+3}=2}$ και $\displaystyle{|\vec \beta|=\sqrt{3+9}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}}$ επομένως

$\displaystyle{\sigma \upsilon \nu\left(\widehat{\vec a,\vec\beta}\right)=\frac{\vec a\cdot \vec\beta}{|\vec a\||\vec\beta|}=\frac{2\sqrt{3}}{2\cdot 2\sqrt{3}}=\frac{1}{2} }$ άρα η γωνία είναι $\displaystyle{60^o}$ .

β) Ισχύει : $\displaystyle{\vec a^2=|\vec a^2|=2^2=4}$ και $\displaystyle{(\vec a\cdot \vec\beta)^2=(2\sqrt{3})^2=12}$

άρα $\displaystyle{\vec u=4\vec\beta-12\vec a=4(\sqrt{3},3)-12(-1,\sqrt{3})=(4\sqrt{3}+12,12-12\sqrt{3})}$ .

ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ · #54

Ανεβάζω το ΘΕΜΑ 2 – 20056

mathfinder · #55

Στο συνημμένο η λύση του θέματος GI_V_MATHP_2_20071

Αθ. Μπεληγιάννης

pap65 · #56

ΘΕΜΑ 2_20050

Δίνονται τα διανύσματα $\displaystyle{\overrightarrow{\alpha }=\left( 1,7 \right)}$ και $\displaystyle{\overrightarrow{\beta }=\left( 2,4 \right)}$

α) Να βρεθεί η προβολή του $\displaystyle{\overrightarrow{\alpha }}$ πάνω στο $\displaystyle{\overrightarrow{\beta }}$ (Μονάδες 10)

β) Να αναλύσετε το $\displaystyle{\overrightarrow{\alpha }}$ σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες, από τις οποίες, η μία να είναι παράλληλη στο

$\displaystyle{\overrightarrow{\beta }}$ (Μονάδες 15)

ΛΥΣΗ

α) Ο τύπος για την προβολή διανύσματος σε διάνυσμα είναι :

$\displaystyle{\overrightarrow{\alpha }\cdot \overrightarrow{\beta }=\overrightarrow{\beta }\cdot \pi \rho o{{\beta }_{\overrightarrow{\beta }}}\overrightarrow{\alpha }\quad \left( 1 \right)}$ .

Ισχύει ότι : $\displaystyle{\pi \rho o{{\beta }_{\overrightarrow{\beta }}}\overrightarrow{\alpha }//\,\overrightarrow{\beta }\Leftrightarrow \pi \rho o{{\beta }_{\overrightarrow{\beta }}}\overrightarrow{\alpha }=\kappa \cdot \overrightarrow{\beta }}$

Άρα $\displaystyle{\pi \rho o{{\beta }_{\overrightarrow{\beta }}}\overrightarrow{\alpha }=\kappa \cdot \overrightarrow{\beta }=\left( 2\kappa ,4\kappa \right)}$

Έτσι από την ( 1 ) έχουμε:

$\displaystyle{\overrightarrow{\alpha }\cdot \overrightarrow{\beta }=\overrightarrow{\beta }\cdot \pi \rho o{{\beta }_{\overrightarrow{\beta }}}\overrightarrow{\alpha }\Leftrightarrow \left( 1,7 \right)\left( 2,4 \right)=\left( 2,4 \right)\left( 2\kappa ,4\kappa \right)}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow 1\cdot 2+4\cdot 7=2\cdot 2\kappa +4\cdot 4\kappa \Leftrightarrow 30=20\kappa \Leftrightarrow \kappa =\frac{3}{2}}$

Επομένως $\displaystyle{\pi \rho o{{\beta }_{\overrightarrow{\beta }}}\overrightarrow{\alpha }=\left( 4,6 \right)}$ .

β) Θέλουμε να αναλύσουμε το $\displaystyle{\overrightarrow{\alpha }}$ σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες, από τις οποίες, η μία να είναι παράλληλη στο $\displaystyle{\overrightarrow{\beta }}$ .

Δηλαδή $\displaystyle{\overrightarrow{\alpha }=\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\quad \left( 2 \right)}$

[attachment=1]2_20050.png[/attachment]

Όπως φαίνεται από το σχήμα η συνιστώσα $\overrightarrow{u}$ είναι η η προβολή του $\displaystyle{\overrightarrow{\alpha }}$ πάνω στο

$\displaystyle{\overrightarrow{\beta }}$

$\displaystyle{\overrightarrow{u}=\pi \rho o{{\beta }_{\overrightarrow{\beta }}}\overrightarrow{\alpha }=\left( 4,6 \right)}$

Άρα από την σχέση ( 2 )

$\left( 1,7 \right)=\overrightarrow{v}+\left( 4,6 \right)\Leftrightarrow \overrightarrow{v}=\left( 1,7 \right)-\left( 4,6 \right)=\left( -3,1 \right)$

Επομένως $\displaystyle{\overrightarrow{\alpha }=\left( -3,1 \right)+\left( 4,6 \right)}$

mathfinder · #57

Στο συνημμένο η λύση του θέματος GI_V_MATHP_2_20070

Αθ. Μπεληγιάννης

pap65 · #58

Ετοιμάζω τη 2_20060

pap65 · #59

[size=150]ΘΕΜΑ 2_20060[/size]

Δίνονται τα διανύσματα $\overrightarrow{\alpha }=\left( 1,-1 \right)$ και $\overrightarrow{\beta }=\left( 3,0 \right)$ .

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος $\displaystyle{\overrightarrow{u}=4\overrightarrow{\alpha }-\frac{1}{3}\overrightarrow{\beta }}$ (Μονάδες 10)

β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που έχει συντελεστή διεύθυνσης $\frac{{{\overrightarrow{u}}^{2}}}{5}$

και διέρχεται από το σημείο $A\left( 1,\overrightarrow{\alpha }\cdot \overrightarrow{\beta }+2 \right)$ . (Μονάδες 15)

ΛΥΣΗ

α) Είναι : $\displaystyle{\overrightarrow{u}=4\overrightarrow{\alpha }-\frac{1}{3}\overrightarrow{\beta }=4\cdot \left( 1,-1 \right)-\frac{1}{3}\cdot \left( 3,0 \right)=\left( 4,-4 \right)-\left( 1,0 \right)=\left( 3,-4 \right)}$

β) Είναι : $\left| \overrightarrow{u} \right|=\sqrt{{{3}^{2}}+{{\left( -4 \right)}^{2}}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$

Άρα $\frac{{{\overrightarrow{u}}^{2}}}{5}=\frac{{{\left| \overrightarrow{u} \right|}^{2}}}{5}=\frac{{{5}^{2}}}{5}=5$

Ακόμη $\overrightarrow{\alpha }\cdot \overrightarrow{\beta }=\left( 1,-1 \right)\cdot \left( 3,0 \right)=1\cdot 3-1\cdot 0=3-0=3$

Συνεπώς $A\left( 1,5 \right)$

Επομένως η ευθεία που αναζητούμε περνάει από το σημείο $A\left( 1,5 \right)$ και έχει συντελεστή διεύθυνσης $\lambda =5$ .

Εφαρμόζουμε τον τύπο $\varepsilon :y-{{y}_{0}}=\lambda \left( x-{{x}_{0}} \right)$

Έτσι $\varepsilon :y-5=5\cdot \left( x-1 \right)\Leftrightarrow y-5=5x-5$

Δηλαδή $\varepsilon :y=5x$

mathfinder · #60

Ανεβάζω και την άσκηση GI_V_MATHP_2_20069 η οποία είναι όμοια με την GI_V_MATHP_2_20050 .

Αθ. Μπεληγιάννης

2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση