ΠΡΩΤΟΕΜΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ, ΕΠΕΚΤΆΣΕΙΣ, ΑΠΟΔΕΊΞΕΙΣ, ΓΝΩΣΤΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ, Γ. Τ..

[Mihalis_Lambrou]

Β40. Κάθε εγγεγραμμένο σε κύκλο εξάπλευρο, που έχει παράλληλες τις πλευρές δύο ζευγών απέναντι πλευρών του, έχει συντρέχουσες τις διαμέσους του (τις ευθείες που συνδέουν τα μέσα των απέναντι πλευρών του).

Εξάγ.png (30.58 KiB) Προβλήθηκε 169 φορές

.
Είναι άμεσο και απλό: Έστω και . Παρακάτω θα δείξουμε ότι ισχύει και . Mε αυτό προσωρινά ως δεδομένο, λέμε: Αφού το είναι ισοσκελές τραπέζιο, έπεται ότι η διάμεσος των βάσεων (η διακεκομμένη γραμμή) είναι μεσοκάθετος κάθε μιάς από αυτές (άμεσο και γνωστό). Άρα διέρχεται από το κέντρο του κύκλου. Το ίδιο συμβαίνει και για τις άλλες δύο διαμέσους, οπότε οι τρεις τους συντρέχουν στο εν λόγω σημείο. Τελειώσαμε.

Μένει να δείξουμε την παραλληλία . Γνωρίζω τέσσερις απλούς τρόπους, αλλά ας δούμε τους δύο, και ίσως επανέλθω.

Πρώτος τρόπος (με Προβολική Γεωμετρία). Από το εξάγωνο του Pascal τα σημεία τομής των απέναντι πλευρών είναι συνευθειακά. Όμως οι ως παράλληλες, τέμνονται στο επ' άπειρον σημείο. Το ίδιο και οι . Με άλλα λόγια η ευθεία Pascal είναι η επ΄ άπειρον ευθεία. Από το Θεώρημα Pascal, το ζεύγος των άλλων δύο απέναντι πλευρών τέμνεται και αυτό στην επ΄ άπειρον ευθεία, και άρα είναι παράλληλες μεταξύ τους, όπως θέλαμε να δείξουμε.

Δεύτερος τρόπος (με Ευκλείδεια Γεωμετρία). Είναι (από το εγγράψιμο ) και (έχουν παράλληλες πλευρές), και (από το εγγράψιμο ) . Έπεται , από όπου η ζητούμενη παραλληλία.

[ΝΙΚΟΣ]

Τρεις Αποδείξεις της Παραπάνω Πρότασης .Β40

Αγαπητοί φίλοι της Γεωμετρίας,
Τρεις Αποδείξεις μου θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Βιβλίο Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας Τεύχος 7, Σελίδα βιβλίου 310, ηλεκτ 319, Πρόταση 7ι(166).

Ή, πιο εύκολα, απόδειξη θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/17DsqXK ... m99Zs/view
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή: Σελίδα βιβλίου 310, ψηφιακή 319, παράγραφος 7ι(166).

Παρακαλώ για τις δικές σας νέες αποδείξεις και για τα σχετικά καλοπροαίρετα σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις. Έτσι στο εξής δε θα απαντώ στις αποδείξεις σας, αν δεν πληρούν την προϋπόθεση αυτή.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
Με κολακεύει η ανακάλυψη κάποιας άγνωστης μέχρι τώρα αλήθειας στη Γεωμετρία, σημαντικής ή μη, που μέχρι τώρα κανένας άλλος δεν την γνώριζε. Ακόμη, με κολακεύει το γεγονός ότι κατέχω τα κλειδιά της απόδειξης και λύσης αναπόδεικτων και άλυτων μέχρι τώρα, δικών μου Προτάσεων και Προβλημάτων.

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητοί φίλοι,
αναρτώ παρακάτω την Πρόταση Β41 και ζητώ νέες αποδείξεις αλλά και τα καλοπροαίρετα σχόλιά σας. Κυρίως θα ήθελα: να μάθω αν το έχετε συναντήσει και που.

Επέκταση Γνωστού μας Θεωρήματος.
Β41. Θεωρούμε το πλήρες τετράπλευρο , και , τα τέσσερα ζεύγη σημείων τα οποία χωρίζουν αρμονικά τις πλευρές αντίστοιχα του τετράπλευρου , σε λόγους -, , , αντίστοιχα.
Να αποδειχθεί ότι οι τέσσερις κύκλοι διαμέτρων , περνούν από σταθερό σημείο.,

Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις. Έτσι στο εξής δε θα απαντώ στις αποδείξεις σας, αν δεν πληρούν την προϋπόθεση αυτή.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
Όταν αποφάσισα να ασχοληθώ με την μελέτη-έρευνα στη Γεωμετρία, γνώριζα ότι έμπαινα σε ξένα αλλά και πολύ δύσκολα μονοπάτια, επειδή δεν είμαι Μαθηματικός και επειδή οι λεωφόροι στον τομέα αυτό έχουν διαIυθεί από όλες τις μεγάλες προσωπικότητες, όλων των εποχών ,για χιλιάδες χρόνια τώρα. Γι’ αυτό πραγματικά, σήμερα είναι πολύ δύσκολο να ανακαλύψει κανείς κάτι καινούργιο στον τομέα αυτό.
Πολύ περισσότερο επειδή "Φύσις κρύπτεσθαι φίλει", όπως ο Ηράκλειτος έλεγε.