ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ*.

#81

ΝΙΚΟΣ έγραψε:ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ 11(1) ΚΑΙ ΕΠΕΚΤΑΣΗ ΤΗΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ 11(34).
Κατασκευή Αρμονικής Ενέλιξης 2 $\nu$ Ζευγών Σημείων.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
σας δίνω για απόδειξη την παρακάτω πρωτοεμφανιζόμενη πιστεύω Κατασκευή, η οποία αποτελεί Γενίκευση της Γεωμετρικής Κατασκευής 11(1) και Επέκταση της Κατασκευής 11(34), αναφέρεται δε σε Κατασκευή Αρμονικής Ενέλιξης Σημειοσειράς 2 $\nu$ Zευγών Σημείων.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις. Δική μου λύση, θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η Κατασκευή αυτή, έχει ως εξής:
11(38). Σε ευθεία να τοποθετηθούν δύο $\nu$ -άδες ζευγών σημείων, έτσι ώστε τα ζεύγη καθεμιάς $\nu$ -άδας να μη χωρίζονται μεταξύ τους, αλλά για τα ζεύγη των σημείων κάθε μιας $\nu$ -άδας, το πρώτο ζεύγος να βρίσκεται μέσα στο δεύτερο, το δεύτερο μέσα στο τρίτο, κοκ, και τα ζεύγη της μιας $\nu$ -άδας να βρίσκονται έξω από τα ζεύγη της άλλης και προς το ίδιο μέρος αυτής, ενώ τα ζεύγη των σημείων και των δύο $\nu$ -άδων να χωρίζονται αρμονικά από ένα άλλο ζεύγος σημείων.
Ακόμη, (αυτά να τοποθετηθούν έτσι ώστε) τα $\nu$ ζεύγη σημείων που αποτελούνται από ένα σημείο από κάθε μια από τις παραπάνω δύο $\nu$ -άδες, που δεν χωρίζονται μεταξύ τους, αλλά το πρώτο ζεύγος βρίσκεται μέσα στο δεύτερο, το δεύτερο μέσα στο τρίτο, κοκ, και έτσι ώστε όλα αυτά τα ζεύγη σημείων να χωρίζονται αρμονικά από ένα ακόμη ζεύγος σημείων.

Σχόλιο.
Την παραπάνω Κατασκευή, καταχώρησα στην παράγραφο 11(38) τόμος 11, του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου 130, όπως έχω υποσχεθεί, δίνω τη λύση της παραπάνω Κατασκευής 11(38).
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις, λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

#82

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΔΙΠΛΗΣ ΕΝΕΛΙΞΗΣ 2 $\nu$ ΖΕΥΓΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ
Επέκταση της Κατασκευής 11(38) και της Πρότασης 11(39).

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
σας δίνω για απόδειξη την παρακάτω πρωτοεμφανιζόμενη πιστεύω Πρόταση, η οποία αποτελεί επέκταση της Κατασκευής 11(38) και αναφέρεται σε ιδιότητες αρμονικής ενέλιξης σημειοσειράς 2 $\nu$ ζευγών σημείων [Πρόταση 11(39)].
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους αποδείξεις. Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.
Η Πρόταση αυτή, έχει ως εξής:
11(40). Σε ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ δίνονται δύο $\nu$ -άδες ζευγών σημείων με την παρακάτω διάταξη:

,…, $\Gamma$ ,

,

, $\Gamma'$ ,…,

(πρώτη $\nu$ -άδα) και
$\nu$ ,…, $\gamma$ , $\beta$ , $\alpha$ , $\alpha '$ , $\beta '$ , $\gamma '$ ,…, $\nu'$ (δεύτερη $\nu$ -άδα), (1).
και έτσι ώστε τα 2 $\nu$ ζεύγη σημείων:

-

,

-

, $\Gamma$ - $\Gamma'$ ,…,

-

, $\alpha$ - $\alpha '$ , $\beta$ - $\beta '$ , $\gamma$ - $\gamma '$ ,.., $\nu$ - $\nu'$ , (2).
να χωρίζονται αρμονικά, από ένα άλλο ζεύγος σημείων

-

,
ενώ τα 2 $\nu$ ζεύγη σημείων:

- $\alpha$ ,

- $\alpha '$ ,'

- $\beta$ ,

- $\beta '$ , $\Gamma'$ - $\gamma$ , $\Gamma$ - $\gamma '$ , …,

- $\nu$ ,

- $\nu'$ , …,

-

. (3).
να χωρίζονται ταυτόχρονα αρμονικά, και από ένα δεύτερο ζεύγος σημείων

-

.
Να αποδειχθεί ότι:
(α). Τα 2 $\nu$ ζεύγη σημείων της (2), βρίσκονται σε αρμονική ενέλιξη, της οποίας να δοθούν τα κύρια στοιχεία.
(β). Το ίδιο (να αποδειχθεί) και για τα 2 $\nu$ ζεύγη σημείων της (3).
(γ). Οι 2 $\nu$ κύκλοι που έχουν διαμέτρους τα τμήματα εκείνα τα οποία έχουν άκρα τα ζεύγη σημείων της (2), (να αποδειχθεί ότι) αποτελούν δέσμη κύκλων της οποίας να δοθούν τα βασικά στοιχεία και το είδος της.
(δ). Το ίδιο, με την παράγραφο (γ), (να αποδειχθεί ότι) και για τους 2 $\nu$ κύκλους που έχουν διαμέτρους τα τμήματα εκείνα τα οποία έχουν άκρα τα ζεύγη σημείων της (3).
(ε). Σε επίπεδο της ευθείας $\left(\varepsilon \right)$ , (να αποδειχθεί ότι) υπάρχει σημείο από το οποίο τα τμήματα:

,

\displaystyle{\alpha

A'} $\alpha '$ ,

\displaystyle{\beta

B'} $\beta '$ , $\Gamma$ \displaystyle{\gamma

\Gamma '} $\gamma '$ ,…,

\displaystyle{\nu

N'} $\nu'$ ,

, (4).
φαίνονται με ορθή γωνία (ορθοοπτικό σημείο).
(στ). Οι κύκλοι με διαμέτρους τα τμήματα της (4), αποτελούν δέσμη, της οποίας να αναφερθούν το είδος και τα βασικά της στοιχεία.
(ζ). Τα 2 $\nu$ ζεύγη των άκρων των τμημάτων της (4), (να αποδειχθεί ότι) βρίσκονται σε αρμονική ανέλιξη, της οποίας να δοθούν τα κύρια στοιχεία.
Σχόλια.
(α). Την παραπάνω Πρόταση, καταχώρησα στην παράγραφο 11(40) τόμος 11, του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».
(β). Υπάρχει τέτοια 2 $\nu$ -άδα συνευθειακών σημείων; Η απάντηση είναι θετική και αναφέρεται στην Κατασκευή 11(38) (συνημμένο μου 130).

Χρόνια Πολλά και καλά σε όλους.
Καλή Ανάσταση, με όλες τις σημασίες της λέξεως και καλή Λαμπρή.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#83

ΝΙΚΟΣ έγραψε:
ΝΙΚΟΣ έγραψε:Αγαπητοί φίλοι,
όπως έχω υποσχεθεί, δίνω παρακάτω μια άλλη εύκολη Κατασκευή, σε αντιστάθμισμα, της προηγούμενης, πολύ δύσκολης Κατασκευής.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις.
Δικές μου λύσεις θα δώσω σε εύλογο χρονικό διάστημα.

10ι(192). Δίνεται ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ και τα διατεταγμένα σημεία της $A, \Gamma ,B,$ με $A\Gamma <\Gamma B$ . Να αποδειχθεί ότι υπάρχει σημείο $\Delta$ της ευθείας $\left(\varepsilon \right)$ , για το οποίο είναι: $\frac{A\Gamma ^{2}}{\Gamma B^{2}}=\frac{A\Delta }{\Delta B}$ .

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

Με τις ευχές μου στον αγαπητό, ακούραστο εραστή της Γεωμετρίας Νίκο Κυριαζή μια προσέγγιση εδώ, απαντώντας στην πρό(σ)κληση του Ανδρέα!

#84

ΝΙΚΟΣ έγραψε:ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΔΙΠΛΗΣ ΕΝΕΛΙΞΗΣ 2 $\nu$ ΖΕΥΓΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ
Επέκταση της Κατασκευής 11(38) και της Πρότασης 11(39).

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
σας δίνω για απόδειξη την παρακάτω πρωτοεμφανιζόμενη πιστεύω Πρόταση, η οποία αποτελεί επέκταση της Κατασκευής 11(38) και αναφέρεται σε ιδιότητες αρμονικής ενέλιξης σημειοσειράς 2 $\nu$ ζευγών σημείων [Πρόταση 11(39)].
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους αποδείξεις. Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.
Η Πρόταση αυτή, έχει ως εξής:
11(40). Σε ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ δίνονται δύο $\nu$ -άδες ζευγών σημείων με την παρακάτω διάταξη:
,…, $\Gamma$ , , , , , $\Gamma'$ ,…, (πρώτη $\nu$ -άδα) και
$\nu$ ,…, $\gamma$ , $\beta$ , $\alpha$ , $\alpha '$ , $\beta '$ , $\gamma '$ ,…, $\nu'$ (δεύτερη $\nu$ -άδα), (1).
και έτσι ώστε τα 2 $\nu$ ζεύγη σημείων:
-, -, $\Gamma$ - $\Gamma'$ ,…, -, $\alpha$ - $\alpha '$ , $\beta$ - $\beta '$ , $\gamma$ - $\gamma '$ ,.., $\nu$ - $\nu'$ , (2).
να χωρίζονται αρμονικά, από ένα άλλο ζεύγος σημείων -,
ενώ τα 2 $\nu$ ζεύγη σημείων:
- $\alpha$ , - $\alpha '$ ,'- $\beta$ , - $\beta '$ , $\Gamma'$ - $\gamma$ , $\Gamma$ - $\gamma '$ , …, - $\nu$ , - $\nu'$ , …, -. (3).
να χωρίζονται ταυτόχρονα αρμονικά, και από ένα δεύτερο ζεύγος σημείων -.
Να αποδειχθεί ότι:
(α). Τα 2 $\nu$ ζεύγη σημείων της (2), βρίσκονται σε αρμονική ενέλιξη, της οποίας να δοθούν τα κύρια στοιχεία.
(β). Το ίδιο (να αποδειχθεί) και για τα 2 $\nu$ ζεύγη σημείων της (3).
(γ). Οι 2 $\nu$ κύκλοι που έχουν διαμέτρους τα τμήματα εκείνα τα οποία έχουν άκρα τα ζεύγη σημείων της (2), (να αποδειχθεί ότι) αποτελούν δέσμη κύκλων της οποίας να δοθούν τα βασικά στοιχεία και το είδος της.
(δ). Το ίδιο, με την παράγραφο (γ), (να αποδειχθεί ότι) και για τους 2 $\nu$ κύκλους που έχουν διαμέτρους τα τμήματα εκείνα τα οποία έχουν άκρα τα ζεύγη σημείων της (3).
(ε). Σε επίπεδο της ευθείας $\left(\varepsilon \right)$ , (να αποδειχθεί ότι) υπάρχει σημείο από το οποίο τα τμήματα:
, \displaystyle{\alphaA'} $\alpha '$ , \displaystyle{\betaB'} $\beta '$ , $\Gamma$ \displaystyle{\gamma\Gamma '} $\gamma '$ ,…,\displaystyle{\nuN'} $\nu'$ , , (4).
φαίνονται με ορθή γωνία (ορθοοπτικό σημείο).
(στ). Οι κύκλοι με διαμέτρους τα τμήματα της (4), αποτελούν δέσμη, της οποίας να αναφερθούν το είδος και τα βασικά της στοιχεία.
(ζ). Τα 2 $\nu$ ζεύγη των άκρων των τμημάτων της (4), (να αποδειχθεί ότι) βρίσκονται σε αρμονική ανέλιξη, της οποίας να δοθούν τα κύρια στοιχεία.
Σχόλια.
(α). Την παραπάνω Πρόταση, καταχώρησα στην παράγραφο 11(40) τόμος 11, του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».
(β). Υπάρχει τέτοια 2 $\nu$ -άδα συνευθειακών σημείων; Η απάντηση είναι θετική και αναφέρεται στην Κατασκευή 11(38) (συνημμένο μου 130).

Χρόνια Πολλά και καλά σε όλους.
Καλή Ανάσταση, με όλες τις σημασίες της λέξεως και καλή Λαμπρή.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου 131, όπως έχω υποσχεθεί, δίνω τη λύση της παραπάνω Κατασκευής 11(40).
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις, λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.

ΧΡΙΣΤΟΣ ΑΝΕΣΤΗ, Χρόνια πολλά και καλά σε όλους.

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

#85

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
ΝΙΚΟΣ έγραψε:
ΝΙΚΟΣ έγραψε:Αγαπητοί φίλοι,
όπως έχω υποσχεθεί, δίνω παρακάτω μια άλλη εύκολη Κατασκευή, σε αντιστάθμισμα, της προηγούμενης, πολύ δύσκολης Κατασκευής.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις.
Δικές μου λύσεις θα δώσω σε εύλογο χρονικό διάστημα.

10ι(192). Δίνεται ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ και τα διατεταγμένα σημεία της $A, \Gamma ,B,$ με $A\Gamma <\Gamma B$ . Να αποδειχθεί ότι υπάρχει σημείο $\Delta$ της ευθείας $\left(\varepsilon \right)$ , για το οποίο είναι: $\frac{A\Gamma ^{2}}{\Gamma B^{2}}=\frac{A\Delta }{\Delta B}$ .

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
Με τις ευχές μου στον αγαπητό, ακούραστο εραστή της Γεωμετρίας Νίκο Κυριαζή μια προσέγγιση εδώ, απαντώντας στην πρό(σ)κληση του Ανδρέα!

Γιώργο,
Σε ευχαριστώ πολύ για τη συμμετοχή σου και τη συμβολή σου στη νέα μου προσπάθεια, που προσβλέπει στην προσφορά μας στην κατεξοχήν Ελληνική επιστήμη της Ευκλειδείου Γεωμετρίας.
Είδα τη λύση σου και ομολογώ ότι τη ζηλεύω, για την ιδέα, τη σαφήνεια αλλά και την απλότητά της.
Με το συνημμένο μου 104,όπως και εσύ θα είδες, δίνω τρεις λύσεις, θα μπορούσε όμως να δώσω και δύο άλλες, τις οποίες αναφέρω στην Πρόταση μου 2ε(35) του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».
Ομολογώ ότι την δημοσίευση που αναφέρεις, του φίλου Ανδρέα Πούλου, δεν την είχα δει και τον ευχαριστώ γιατί ασχολήθηκε με την παραπάνω Πρόταση μου κι έγινε αιτία να βγει μία τόσο ωραία λύση της.
Γιώργο, αν μου επιτρέπεις την λύση σου να τη συμπεριλάβω, φυσικά με το όνομά σου, στο βιβλίο μου, μαζί με τις πέντε λύσεις μου. Περιμένω απάντησή σου.
Και πάλι σε ευχαριστώ πολύ
και χρόνια πολλά για το Πάσχα.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

#86

Μετά τις διευκρινήσεις του αγαπητού και σεβαστού Νίκου Κυριαζή, (εδώ)

επισυνάπτω σε αρχείο Word μία προσέγγιση στο πρόβλημα 10ι (192) με ένα θερμό ευχαριστώ για τα καλά του λόγια. Ασφαλώς μπορεί να χρησιμοποιηθεί όπου και όπως κρίνει ο δημιουργός της άσκησης!

#87

Γιώργος Ρίζος έγραψε:Μετά τις διευκρινήσεις του αγαπητού και σεβαστού Νίκου Κυριαζή, (εδώ)

επισυνάπτω σε αρχείο Word μία προσέγγιση στο πρόβλημα 10ι (192) με ένα θερμό ευχαριστώ για τα καλά του λόγια. Ασφαλώς μπορεί να χρησιμοποιηθεί όπου και όπως κρίνει ο δημιουργός της άσκησης!

Φίλε Γιώργο,
και πάλι σε ευχαριστώ πολύ για τη συνεισφορά σου στη νέα μου προσπάθεια.

Με αγάπη,
Νίκος Κυριαζής.

#88

ΝΙΚΟΣ έγραψε:Κατασκευή Πρόκληση Δεινών Γεωμετρών.
Αγαπητοί φίλοι,
δίνω παρακάτω μια δυνατή και πρωτοεμφανιζόμενη πιστεύω, Κατασκευή για να τρομάξουν και οι δυνατοί Γεωμέτρες, όπως έχω υποσχεθεί στο τηλέφωνο, σε πολύ καλό φίλο, που μου το ζήτησε .
Ας σημειωθεί εδώ, ότι την Κατασκευή αυτή, δεν είχα σκοπό να την αναρτήσω τώρα, αλλά μετά από σειρά άλλων Προτάσεων, Γ. Τόπων και Κατασκευών. Τούτο γίνεται, κατ’ εξαίρεση, μετά την παραπάνω αίτηση. Γι’ αυτό τη δική μου λύση θα τη δώσω πολύ αργότερα. Μέχρι τότε περιμένουμε τις λύσεις των ενδιαφερόμενων φίλων της Γεωμετρίας.

Κατασκευή Πρόκληση.
11(15), Δίνεται, σε ευθεία (ε),αρμονική τετράδα σημείων $A, B, \Gamma , \Delta$ . Αν το ζεύγος των σημείων τέμνει αρμονικά τα τμήματα και $\Gamma \Delta$ , το ζεύγος των σημείων τέμνει αρμονικά τα τμήματα $A\Delta , B\Gamma$ και , αν $\Lambda , N, M, M_{_{1}}$ είναι τα μέσα των τμημάτων $A\Gamma , B\Delta , EE', ZZ'$ αντίστοιχα και αν $ZA<Z\Delta$ , να βρεθεί ζεύγος σημείων , από τα οποία:
(α). Τα έξι τμήματα $A\Gamma , B\Delta , EE' ,ZZ', \Lambda N, M M_{1}$ , να φαίνονται με ορθές γωνίες (Τα ονομάζονται ορθοοπτικά σημεία).
(β). Τα εννέα τμήματα $Z'E, EZ, ZE', AB, B\Gamma , \Gamma \Delta , \Lambda M_{1}, \Lambda M, MN$ , να φαίνονται με γωνίες 45 μοιρών.
(γ). Τα επτά τμήματα $Z'A, AE, EB, BZ, Z\Gamma , \Gamma E', E'\Delta$ , να φαίνονται με $\frac{1}{4}$ ορθής γωνίας.
Ακόμη, να αποδειχθεί ότι και η τετράδα σημείων $M_{1}, \Lambda , M, N$ , είναι αρμονική.

Σχόλιο.
Την παραπάνω, πρωτοεμφανιζόμενη πιστεύω, Κατασκευή, καταχώρισα στην παράγραφο 11(15), τόμος 11, του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας», με τη λύση της.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
επαναφέρω την παραπάνω Κατασκευή 11(15), πριν αναρτήσω τη λύση της που έχω υποσχεθεί, καθώς πιστεύω ότι μετά από όσα σχετικά στο μεταξύ έχουμε συζήτηση εδώ, έχετε πλέον τη δυνατότητα να δώσετε λύση στο σκληρό αυτό Πρόβλημα.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις. Δική μου λύση της Κατασκευής αυτής, θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα, λαμβανομένης υπόψη και της δυσκολίας της.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#89

ΝΙΚΟΣ έγραψε:
ΝΙΚΟΣ έγραψε:Κατασκευή Πρόκληση Δεινών Γεωμετρών.
Αγαπητοί φίλοι,
δίνω παρακάτω μια δυνατή και πρωτοεμφανιζόμενη πιστεύω, Κατασκευή για να τρομάξουν και οι δυνατοί Γεωμέτρες, όπως έχω υποσχεθεί στο τηλέφωνο, σε πολύ καλό φίλο, που μου το ζήτησε .
Ας σημειωθεί εδώ, ότι την Κατασκευή αυτή, δεν είχα σκοπό να την αναρτήσω τώρα, αλλά μετά από σειρά άλλων Προτάσεων, Γ. Τόπων και Κατασκευών. Τούτο γίνεται, κατ’ εξαίρεση, μετά την παραπάνω αίτηση. Γι’ αυτό τη δική μου λύση θα τη δώσω πολύ αργότερα. Μέχρι τότε περιμένουμε τις λύσεις των ενδιαφερόμενων φίλων της Γεωμετρίας.

Κατασκευή Πρόκληση.
11(15), Δίνεται, σε ευθεία (ε),αρμονική τετράδα σημείων $A, B, \Gamma , \Delta$ . Αν το ζεύγος των σημείων τέμνει αρμονικά τα τμήματα και $\Gamma \Delta$ , το ζεύγος των σημείων τέμνει αρμονικά τα τμήματα $A\Delta , B\Gamma$ και , αν $\Lambda , N, M, M_{_{1}}$ είναι τα μέσα των τμημάτων $A\Gamma , B\Delta , EE', ZZ'$ αντίστοιχα και αν $ZA<Z\Delta$ , να βρεθεί ζεύγος σημείων , από τα οποία:
(α). Τα έξι τμήματα $A\Gamma , B\Delta , EE' ,ZZ', \Lambda N, M M_{1}$ , να φαίνονται με ορθές γωνίες (Τα ονομάζονται ορθοοπτικά σημεία).
(β). Τα εννέα τμήματα $Z'E, EZ, ZE', AB, B\Gamma , \Gamma \Delta , \Lambda M_{1}, \Lambda M, MN$ , να φαίνονται με γωνίες 45 μοιρών.
(γ). Τα επτά τμήματα $Z'A, AE, EB, BZ, Z\Gamma , \Gamma E', E'\Delta$ , να φαίνονται με $\frac{1}{4}$ ορθής γωνίας.
Ακόμη, να αποδειχθεί ότι και η τετράδα σημείων $M_{1}, \Lambda , M, N$ , είναι αρμονική.

Σχόλιο.
Την παραπάνω, πρωτοεμφανιζόμενη πιστεύω, Κατασκευή, καταχώρισα στην παράγραφο 11(15), τόμος 11, του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας», με τη λύση της.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
επαναφέρω την παραπάνω Κατασκευή 11(15), πριν αναρτήσω τη λύση της που έχω υποσχεθεί, καθώς πιστεύω ότι μετά από όσα σχετικά στο μεταξύ έχουμε συζήτηση εδώ, έχετε πλέον τη δυνατότητα να δώσετε λύση στο σκληρό αυτό Πρόβλημα.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις. Δική μου λύση της Κατασκευής αυτής, θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα, λαμβανομένης υπόψη και της δυσκολίας της.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου 132, όπως έχω υποσχεθεί, δίνω τη λύση της παραπάνω Κατασκευής 11(15).
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις, λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

#90

Και μία εύκολη Κατασκευή.
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
σας δίνω παρακάτω για λύση το πρωτοεμφανιζόμενο πιστεύω Πρόβλημα $10\iota \left(193 \right)$ . Πρόκειται για μία πολύ εύκολη Κατασκευή, αλλά για όσους φίλους έχουν παρακολουθήσει ή έχουν μελετήσει αυτά που μέχρι τώρα έχουμε συζητήσει εδώ.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις. Δική μου λύση, θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η Κατασκευή αυτή, έχει ως εξής:
$10\iota \left(193 \right)$ . Σε ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ δίνεται η διατεταγμένη τετράδα σταθερών σημείων

, $\Delta$ , $\Gamma$ ,

$\left(A\Gamma <\frac{AB}{2} \right)$ . Στην ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ , να ορισθεί σημείο

για το οποίο να είναι: $\left(A\Delta \Gamma B \right)$ = $\left(BE\Gamma A \right)$ .

Σχόλιο.
Την παραπάνω Κατασκευή, καταχώρησα στην παράγραφο $10\iota \left(193 \right)$ τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#91

ΝΙΚΟΣ έγραψε:Και μία εύκολη Κατασκευή.
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
σας δίνω παρακάτω για λύση το πρωτοεμφανιζόμενο πιστεύω Πρόβλημα $10\iota \left(193 \right)$ . Πρόκειται για μία πολύ εύκολη Κατασκευή, αλλά για όσους φίλους έχουν παρακολουθήσει ή έχουν μελετήσει αυτά που μέχρι τώρα έχουμε συζητήσει εδώ.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις. Δική μου λύση, θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η Κατασκευή αυτή, έχει ως εξής:
$10\iota \left(193 \right)$ . Σε ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ δίνεται η διατεταγμένη τετράδα σταθερών σημείων , $\Delta$ , $\Gamma$ , $\left(A\Gamma <\frac{AB}{2} \right)$ . Στην ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ , να ορισθεί σημείο για το οποίο να είναι: $\left(A\Delta \Gamma B \right)$ = $\left(BE\Gamma A \right)$ .

Σχόλιο.
Την παραπάνω Κατασκευή, καταχώρησα στην παράγραφο $10\iota \left(193 \right)$ τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου 133, όπως έχω υποσχεθεί, δίνω τη λύση της παραπάνω Κατασκευής 10ι(193).
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις, λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής

#92

Αγαπητοί φίλοι,
γιορτάζουμε αυτή τη στιγμή την υπέρβαση των 4000 επισκέψεων των φίλων στο χώρο αυτό. Τούτο φανερώνει το μεγάλο ενδιαφέρον τους για όσα αναρτούμε εδώ, πράγμα το οποίο μας δίνει κουράγιο να συνεχίσουμε και γι’ αυτό τους ευχαριστούμε πολύ.
Συνεχίζουμε λοιπόν με στόχο τις 5000 επισκέψεις.
Και πάλι ευχαριστούμε πολύ.

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής

#93

ΝΙΚΟΣ έγραψε:
Αγαπητοί φίλοι,
όπως και αλλού έγραψα, αρκετό καιρό έχουμε να τα πούμε Γεωμετρικά και ομολογώ ότι μου λείψατε.
Ο λόγος της απουσίας μου είναι άσχετος με τη θέλησή μου και οφείλεται στις θερινές διακοπές, αλλά και κυρίως στο ότι ήμουν και είμαι απορροφημένος στη μελέτη διαφόρων Γεωμετρικών θεμάτων, από την οποία είχα νέα και πλούσια Γεωμετρική «συγκομιδή», της οποίας μερικά στοιχεία (όσα μπορέσω), θα δώσω εδώ.
Η Γεωμετρική αυτή «συγκομιδή», είναι Χαλκιδικιώτικη, Παριώτικη και Καλαμαριώτικη, ανάλογα με τον τόπο που βρέθηκα.
Τα παραπάνω αναφερόμενα πολύ φρέσκα και πρωτοεμφανιζόμενα πιστεύω στοιχεία Γεωμετρίας, αναφέρονται σε διάφορα Γεωμετρικά θέματα, όπως θεωρία:
-περί Επιπέδων Συμμετρικών Δεσμών των πέντε ακτινών,
-περί Συμμετρικών Σημειοσειρών των πέντε σημείων,
-περί Επιπέδων Συμμετροαρμονικών Δεσμών των πέντε ακτινών,
-περί Συμμετροαρμονικών Σημειοσειρών των πέντε σημείων,
-περί Επιπέδων Συμμετροδιαμεσικών Δεσμών των πέντε ακτινών,
-περί Συμμετροδιαμεσικών Σημειοσειρών των πέντε σημείων,
-περί Επιπέδων Συμμετροορθηκών Δεσμών των πέντε ακτινών,
-περί Συμμετροορθηκών Σημειοσειρών των πέντε σημείων,
-περί Ενέλίξης Σημειοσειρών,
-επέκταση Ενέλίξης και σε κύκλο, κτλ,
-περί Ημικανονικών Σχημάτων, κτλ,
-περί Ειδικών Εξαγώνων, κτλ.
Για τις θεωρίες των παραπάνω Γεωμετρικών θεμάτων, προέκυψαν και συνοδεύουν αυτές πολλές Γεωμετρικές Προτάσεις, Κατασκευές, ασκήσεις, εφαρμογές, κτλ, με τις αποδείξεις τους, που αναφέρονται σε ιδιότητες τούτων και που είναι διαφόρων βαθμών δυσκολίας.
Όλα τα παραπάνω αναφερόμενα έχουν έναυσμα κάποια από τις Προτάσεις που στο mathematica, συζητήθηκαν.
Μερικά (όσα μπορέσω), από τα παραπάνω αναφερόμενα έχω τη χαρά να προσπαθήσω εδώ να δώσω, για τους φίλους της Γεωμετρίας. Πιστεύω ότι έχουν πολλά να πάρουν αλλά και πολλά να δώσουν, συνεισφέροντας και τις δικές τους Προτάσεις- απόψεις και ακόμη κάνοντας και σχετική καλοπροαίρετη κριτική, ώστε να βελτιωθεί και η προσπάθεια αυτή.

Ξεκινάμε με την παρακάτω πρωτοεμφανιζόμενη πιστεύω Κατασκευή, την οποία και προτείνω για λύση, στους ενδιαφερομένους φίλους της Γεωμετρίας:

10ι(189). Δίνεται ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ και τα διατεταγμένα σημεία της $A,\Delta ,\Gamma,B$ , με $A\Gamma <\frac{AB}{2}$ .
Στην ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ να ορισθεί σημείο , για το οποίο να είναι:
$\frac{A\Gamma }{\Gamma B}.\frac{BE}{E\Gamma }.\frac{\Gamma \Delta }{\Delta A}=1$ . (1).
ή $\frac{\Delta \Gamma }{\Gamma E}.\frac{EB}{B\Gamma }.\frac{\Gamma A}{A\Delta }=1$ . (2).

Σχόλιο.
Την Κατασκευή αυτή έχω καταχωρίσει στην παράγραφο 10ι(189) του τόμου 10 του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας» και έχω δώσει δύο λύσεις.

Καλή επιτυχία.

Με Γεωμετρική αγάπη,
Νίκος Κυριαζής.

Σημαντική Επέκταση Γεωμετρικής Κατασκευής από Ευθεία και σε Κύκλο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
μετά από σχετική μελέτη προέκυψε ότι η παραπάνω Κατασκευή 10ι(189), αποδείξεις της οποίας έχω αναρτήσει εδώ με το συνημμένο μου 103, αληθεύει και σε κύκλο.
Κατόπιν τούτου, προτείνω στους ενδιαφερόμενους για την πρόοδο της Γεωμετρίας φίλους, να ασχοληθούν και να μας διατυπώσουν την παραπάνω επέκταση της Κατασκευής 10ι(189) και για κύκλο και να μας δώσουν τη λύση της.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#94

ΝΙΚΟΣ έγραψε:
ΝΙΚΟΣ έγραψε:
Αγαπητοί φίλοι,
όπως και αλλού έγραψα, αρκετό καιρό έχουμε να τα πούμε Γεωμετρικά και ομολογώ ότι μου λείψατε.
Ο λόγος της απουσίας μου είναι άσχετος με τη θέλησή μου και οφείλεται στις θερινές διακοπές, αλλά και κυρίως στο ότι ήμουν και είμαι απορροφημένος στη μελέτη διαφόρων Γεωμετρικών θεμάτων, από την οποία είχα νέα και πλούσια Γεωμετρική «συγκομιδή», της οποίας μερικά στοιχεία (όσα μπορέσω), θα δώσω εδώ.
Η Γεωμετρική αυτή «συγκομιδή», είναι Χαλκιδικιώτικη, Παριώτικη και Καλαμαριώτικη, ανάλογα με τον τόπο που βρέθηκα.
Τα παραπάνω αναφερόμενα πολύ φρέσκα και πρωτοεμφανιζόμενα πιστεύω στοιχεία Γεωμετρίας, αναφέρονται σε διάφορα Γεωμετρικά θέματα, όπως θεωρία:
-περί Επιπέδων Συμμετρικών Δεσμών των πέντε ακτινών,
-περί Συμμετρικών Σημειοσειρών των πέντε σημείων,
-περί Επιπέδων Συμμετροαρμονικών Δεσμών των πέντε ακτινών,
-περί Συμμετροαρμονικών Σημειοσειρών των πέντε σημείων,
-περί Επιπέδων Συμμετροδιαμεσικών Δεσμών των πέντε ακτινών,
-περί Συμμετροδιαμεσικών Σημειοσειρών των πέντε σημείων,
-περί Επιπέδων Συμμετροορθηκών Δεσμών των πέντε ακτινών,
-περί Συμμετροορθηκών Σημειοσειρών των πέντε σημείων,
-περί Ενέλίξης Σημειοσειρών,
-επέκταση Ενέλίξης και σε κύκλο, κτλ,
-περί Ημικανονικών Σχημάτων, κτλ,
-περί Ειδικών Εξαγώνων, κτλ.
Για τις θεωρίες των παραπάνω Γεωμετρικών θεμάτων, προέκυψαν και συνοδεύουν αυτές πολλές Γεωμετρικές Προτάσεις, Κατασκευές, ασκήσεις, εφαρμογές, κτλ, με τις αποδείξεις τους, που αναφέρονται σε ιδιότητες τούτων και που είναι διαφόρων βαθμών δυσκολίας.
Όλα τα παραπάνω αναφερόμενα έχουν έναυσμα κάποια από τις Προτάσεις που στο mathematica, συζητήθηκαν.
Μερικά (όσα μπορέσω), από τα παραπάνω αναφερόμενα έχω τη χαρά να προσπαθήσω εδώ να δώσω, για τους φίλους της Γεωμετρίας. Πιστεύω ότι έχουν πολλά να πάρουν αλλά και πολλά να δώσουν, συνεισφέροντας και τις δικές τους Προτάσεις- απόψεις και ακόμη κάνοντας και σχετική καλοπροαίρετη κριτική, ώστε να βελτιωθεί και η προσπάθεια αυτή.

Ξεκινάμε με την παρακάτω πρωτοεμφανιζόμενη πιστεύω Κατασκευή, την οποία και προτείνω για λύση, στους ενδιαφερομένους φίλους της Γεωμετρίας:

10ι(189). Δίνεται ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ και τα διατεταγμένα σημεία της $A,\Delta ,\Gamma,B$ , με $A\Gamma <\frac{AB}{2}$ .
Στην ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ να ορισθεί σημείο , για το οποίο να είναι:
$\frac{A\Gamma }{\Gamma B}.\frac{BE}{E\Gamma }.\frac{\Gamma \Delta }{\Delta A}=1$ . (1).
ή $\frac{\Delta \Gamma }{\Gamma E}.\frac{EB}{B\Gamma }.\frac{\Gamma A}{A\Delta }=1$ . (2).

Σχόλιο.
Την Κατασκευή αυτή έχω καταχωρίσει στην παράγραφο 10ι(189) του τόμου 10 του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας» και έχω δώσει δύο λύσεις.

Καλή επιτυχία.

Με Γεωμετρική αγάπη,
Νίκος Κυριαζής.

Σημαντική Επέκταση Γεωμετρικής Κατασκευής από Ευθεία και σε Κύκλο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
μετά από σχετική μελέτη προέκυψε ότι η παραπάνω Κατασκευή 10ι(189), αποδείξεις της οποίας έχω αναρτήσει εδώ με το συνημμένο μου 103, αληθεύει και σε κύκλο.
Κατόπιν τούτου, προτείνω στους ενδιαφερόμενους για την πρόοδο της Γεωμετρίας φίλους, να ασχοληθούν και να μας διατυπώσουν την παραπάνω επέκταση της Κατασκευής 10ι(189) και για κύκλο και να μας δώσουν τη λύση της.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Σημαντική Επέκταση της Γεωμετρικής Κατασκευής $10\iota \left(189 \right)$ από Ευθεία και σε Κύκλο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
προκειμένου να διευκολύνω τους ενδαφερόμενους φίλους, δίνω παρακάτω για λύση την διατύπωση της πρωτοεμφανιζόμενης πιστεύω Κατασκευής $11\left(41 \right)$ , την οποία είχαμε ζητήσει παραπάνω, αλλά μέχρι τώρα δεν μας έχει δοθεί. Πρόκειται για μία σημαντική Κατασκευή,.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις. Δικές μου λύσεις, θα ακολουθήσουν μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η Κατασκευή αυτή, έχει ως εξής:
$11\left(41 \right)$ . Δίνεται κύκλος $\left(\kappa \right)$ και τα διατεταγμένα σταθερά σημεία του , $\Delta$ , $\Gamma$ , . Στον ίδιο κύκλο $\left(\kappa \right)$ να ορισθεί σημείο , για το οποίο να είναι: $\frac{A\Gamma }{\Gamma B}$ . $\frac{BE}{E\Gamma }$ . $\frac{\Gamma \Delta }{\Delta A}$ = .

Σχόλιο.
Την παραπάνω Κατασκευή, καταχώρησα στην παράγραφο $11\left(41 \right)$ τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#95

ΝΙΚΟΣ έγραψε:
ΝΙΚΟΣ έγραψε:
ΝΙΚΟΣ έγραψε:
Αγαπητοί φίλοι,
όπως και αλλού έγραψα, αρκετό καιρό έχουμε να τα πούμε Γεωμετρικά και ομολογώ ότι μου λείψατε.
Ο λόγος της απουσίας μου είναι άσχετος με τη θέλησή μου και οφείλεται στις θερινές διακοπές, αλλά και κυρίως στο ότι ήμουν και είμαι απορροφημένος στη μελέτη διαφόρων Γεωμετρικών θεμάτων, από την οποία είχα νέα και πλούσια Γεωμετρική «συγκομιδή», της οποίας μερικά στοιχεία (όσα μπορέσω), θα δώσω εδώ.
Η Γεωμετρική αυτή «συγκομιδή», είναι Χαλκιδικιώτικη, Παριώτικη και Καλαμαριώτικη, ανάλογα με τον τόπο που βρέθηκα.
Τα παραπάνω αναφερόμενα πολύ φρέσκα και πρωτοεμφανιζόμενα πιστεύω στοιχεία Γεωμετρίας, αναφέρονται σε διάφορα Γεωμετρικά θέματα, όπως θεωρία:
-περί Επιπέδων Συμμετρικών Δεσμών των πέντε ακτινών,
-περί Συμμετρικών Σημειοσειρών των πέντε σημείων,
-περί Επιπέδων Συμμετροαρμονικών Δεσμών των πέντε ακτινών,
-περί Συμμετροαρμονικών Σημειοσειρών των πέντε σημείων,
-περί Επιπέδων Συμμετροδιαμεσικών Δεσμών των πέντε ακτινών,
-περί Συμμετροδιαμεσικών Σημειοσειρών των πέντε σημείων,
-περί Επιπέδων Συμμετροορθηκών Δεσμών των πέντε ακτινών,
-περί Συμμετροορθηκών Σημειοσειρών των πέντε σημείων,
-περί Ενέλίξης Σημειοσειρών,
-επέκταση Ενέλίξης και σε κύκλο, κτλ,
-περί Ημικανονικών Σχημάτων, κτλ,
-περί Ειδικών Εξαγώνων, κτλ.
Για τις θεωρίες των παραπάνω Γεωμετρικών θεμάτων, προέκυψαν και συνοδεύουν αυτές πολλές Γεωμετρικές Προτάσεις, Κατασκευές, ασκήσεις, εφαρμογές, κτλ, με τις αποδείξεις τους, που αναφέρονται σε ιδιότητες τούτων και που είναι διαφόρων βαθμών δυσκολίας.
Όλα τα παραπάνω αναφερόμενα έχουν έναυσμα κάποια από τις Προτάσεις που στο mathematica, συζητήθηκαν.
Μερικά (όσα μπορέσω), από τα παραπάνω αναφερόμενα έχω τη χαρά να προσπαθήσω εδώ να δώσω, για τους φίλους της Γεωμετρίας. Πιστεύω ότι έχουν πολλά να πάρουν αλλά και πολλά να δώσουν, συνεισφέροντας και τις δικές τους Προτάσεις- απόψεις και ακόμη κάνοντας και σχετική καλοπροαίρετη κριτική, ώστε να βελτιωθεί και η προσπάθεια αυτή.

Ξεκινάμε με την παρακάτω πρωτοεμφανιζόμενη πιστεύω Κατασκευή, την οποία και προτείνω για λύση, στους ενδιαφερομένους φίλους της Γεωμετρίας:

10ι(189). Δίνεται ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ και τα διατεταγμένα σημεία της $A,\Delta ,\Gamma,B$ , με $A\Gamma <\frac{AB}{2}$ .
Στην ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ να ορισθεί σημείο , για το οποίο να είναι:
$\frac{A\Gamma }{\Gamma B}.\frac{BE}{E\Gamma }.\frac{\Gamma \Delta }{\Delta A}=1$ . (1).
ή $\frac{\Delta \Gamma }{\Gamma E}.\frac{EB}{B\Gamma }.\frac{\Gamma A}{A\Delta }=1$ . (2).

Σχόλιο.
Την Κατασκευή αυτή έχω καταχωρίσει στην παράγραφο 10ι(189) του τόμου 10 του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας» και έχω δώσει δύο λύσεις.

Καλή επιτυχία.

Με Γεωμετρική αγάπη,
Νίκος Κυριαζής.

Σημαντική Επέκταση Γεωμετρικής Κατασκευής από Ευθεία και σε Κύκλο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
μετά από σχετική μελέτη προέκυψε ότι η παραπάνω Κατασκευή 10ι(189), αποδείξεις της οποίας έχω αναρτήσει εδώ με το συνημμένο μου 103, αληθεύει και σε κύκλο.
Κατόπιν τούτου, προτείνω στους ενδιαφερόμενους για την πρόοδο της Γεωμετρίας φίλους, να ασχοληθούν και να μας διατυπώσουν την παραπάνω επέκταση της Κατασκευής 10ι(189) και για κύκλο και να μας δώσουν τη λύση της.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Σημαντική Επέκταση της Γεωμετρικής Κατασκευής $10\iota \left(189 \right)$ από Ευθεία και σε Κύκλο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
προκειμένου να διευκολύνω τους ενδαφερόμενους φίλους, δίνω παρακάτω για λύση την διατύπωση της πρωτοεμφανιζόμενης πιστεύω Κατασκευής $11\left(41 \right)$ , την οποία είχαμε ζητήσει παραπάνω, αλλά μέχρι τώρα δεν μας έχει δοθεί. Πρόκειται για μία σημαντική Κατασκευή,.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις. Δικές μου λύσεις, θα ακολουθήσουν μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η Κατασκευή αυτή, έχει ως εξής:
$11\left(41 \right)$ . Δίνεται κύκλος $\left(\kappa \right)$ και τα διατεταγμένα σταθερά σημεία του , $\Delta$ , $\Gamma$ , . Στον ίδιο κύκλο $\left(\kappa \right)$ να ορισθεί σημείο , για το οποίο να είναι: $\frac{A\Gamma }{\Gamma B}$ . $\frac{BE}{E\Gamma }$ . $\frac{\Gamma \Delta }{\Delta A}$ = .

Σχόλιο.
Την παραπάνω Κατασκευή, καταχώρησα στην παράγραφο $11\left(41 \right)$ τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου 134, όπως έχω υποσχεθεί, δίνω τη λύση της παραπάνω Κατασκευής 11(41).
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις, λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής

#96

ΝΙΚΟΣ έγραψε:Και μία εύκολη Κατασκευή.
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
σας δίνω παρακάτω για λύση το πρωτοεμφανιζόμενο πιστεύω Πρόβλημα $10\iota \left(193 \right)$ . Πρόκειται για μία πολύ εύκολη Κατασκευή, αλλά για όσους φίλους έχουν παρακολουθήσει ή έχουν μελετήσει αυτά που μέχρι τώρα έχουμε συζητήσει εδώ.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις. Δική μου λύση, θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η Κατασκευή αυτή, έχει ως εξής:
$10\iota \left(193 \right)$ . Σε ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ δίνεται η διατεταγμένη τετράδα σταθερών σημείων , $\Delta$ , $\Gamma$ , $\left(A\Gamma <\frac{AB}{2} \right)$ . Στην ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ , να ορισθεί σημείο για το οποίο να είναι: $\left(A\Delta \Gamma B \right)$ = $\left(BE\Gamma A \right)$ .

Σχόλιο.
Την παραπάνω Κατασκευή, καταχώρησα στην παράγραφο $10\iota \left(193 \right)$ τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Σημαντική Επέκταση Γεωμετρικής Κατασκευής από Ευθεία και σε Κύκλο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
μετά από σχετική μελέτη προέκυψε ότι η παραπάνω Κατασκευή $10\iota \left(193 \right)$ , αποδείξεις της οποίας έχω αναρτήσει εδώ με το συνημμένο μου , αληθεύει και σε κύκλο.
Κατόπιν τούτου, προτείνω στους ενδιαφερόμενους για την πρόοδο της Γεωμετρίας φίλους, να ασχοληθούν και να μας διατυπώσουν την παραπάνω επέκταση της Κατασκευής $10\iota \left(193 \right)$ και για κύκλο και να μας δώσουν τη λύση της.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#97

ΝΙΚΟΣ έγραψε:
ΝΙΚΟΣ έγραψε:Και μία εύκολη Κατασκευή.
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
σας δίνω παρακάτω για λύση το πρωτοεμφανιζόμενο πιστεύω Πρόβλημα $10\iota \left(193 \right)$ . Πρόκειται για μία πολύ εύκολη Κατασκευή, αλλά για όσους φίλους έχουν παρακολουθήσει ή έχουν μελετήσει αυτά που μέχρι τώρα έχουμε συζητήσει εδώ.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις. Δική μου λύση, θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η Κατασκευή αυτή, έχει ως εξής:
$10\iota \left(193 \right)$ . Σε ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ δίνεται η διατεταγμένη τετράδα σταθερών σημείων , $\Delta$ , $\Gamma$ , $\left(A\Gamma <\frac{AB}{2} \right)$ . Στην ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ , να ορισθεί σημείο για το οποίο να είναι: $\left(A\Delta \Gamma B \right)$ = $\left(BE\Gamma A \right)$ .

Σχόλιο.
Την παραπάνω Κατασκευή, καταχώρησα στην παράγραφο $10\iota \left(193 \right)$ τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
Σημαντική Επέκταση Γεωμετρικής Κατασκευής από Ευθεία και σε Κύκλο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
μετά από σχετική μελέτη προέκυψε ότι η παραπάνω Κατασκευή $10\iota \left(193 \right)$ , αποδείξεις της οποίας έχω αναρτήσει εδώ με το συνημμένο μου , αληθεύει και σε κύκλο.
Κατόπιν τούτου, προτείνω στους ενδιαφερόμενους για την πρόοδο της Γεωμετρίας φίλους, να ασχοληθούν και να μας διατυπώσουν την παραπάνω επέκταση της Κατασκευής $10\iota \left(193 \right)$ και για κύκλο και να μας δώσουν τη λύση της.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Σημαντική Επέκταση της Γεωμετρικής Κατασκευής $10\iota \left(193 \right)$ από Ευθεία και σε Κύκλο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
προκειμένου να διευκολύνω τους ενδαφερόμενους φίλους, δίνω παρακάτω για λύση την διατύπωση της πρωτοεμφανιζόμενης πιστεύω Κατασκευής $11\left(42 \right)$ , την οποία είχαμε ζητήσει παραπάνω, αλλά μέχρι τώρα δεν μας έχει δοθεί. Πρόκειται για μία σημαντική Κατασκευή,.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις. Δική μου λύση, θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η Κατασκευή αυτή, έχει ως εξής:
$11\left(42 \right)$ . Σε κύκλο $\left(\kappa \right)$ δίνεται η διατεταγμένη τετράδα σταθερών σημείων , $\Delta$ , $\Gamma$ , . Στον ίδιο κύκλο $\left(\kappa \right)$ , να ορισθεί σημείο , έτσι ώστε οι διπλοί λόγοι $\left(A\Delta \Gamma B \right)$ , $\left(BE\Gamma A \right)$ να είναι ίσοι.

Σχόλιο.
Την παραπάνω Κατασκευή, καταχώρησα στην παράγραφο $11\left(42 \right)$ τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#98

ΝΙΚΟΣ έγραψε:
ΝΙΚΟΣ έγραψε:
ΝΙΚΟΣ έγραψε:Και μία εύκολη Κατασκευή.
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
σας δίνω παρακάτω για λύση το πρωτοεμφανιζόμενο πιστεύω Πρόβλημα $10\iota \left(193 \right)$ . Πρόκειται για μία πολύ εύκολη Κατασκευή, αλλά για όσους φίλους έχουν παρακολουθήσει ή έχουν μελετήσει αυτά που μέχρι τώρα έχουμε συζητήσει εδώ.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις. Δική μου λύση, θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η Κατασκευή αυτή, έχει ως εξής:
$10\iota \left(193 \right)$ . Σε ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ δίνεται η διατεταγμένη τετράδα σταθερών σημείων , $\Delta$ , $\Gamma$ , $\left(A\Gamma <\frac{AB}{2} \right)$ . Στην ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ , να ορισθεί σημείο για το οποίο να είναι: $\left(A\Delta \Gamma B \right)$ = $\left(BE\Gamma A \right)$ .

Σχόλιο.
Την παραπάνω Κατασκευή, καταχώρησα στην παράγραφο $10\iota \left(193 \right)$ τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
Σημαντική Επέκταση Γεωμετρικής Κατασκευής από Ευθεία και σε Κύκλο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
μετά από σχετική μελέτη προέκυψε ότι η παραπάνω Κατασκευή $10\iota \left(193 \right)$ , αποδείξεις της οποίας έχω αναρτήσει εδώ με το συνημμένο μου , αληθεύει και σε κύκλο.
Κατόπιν τούτου, προτείνω στους ενδιαφερόμενους για την πρόοδο της Γεωμετρίας φίλους, να ασχοληθούν και να μας διατυπώσουν την παραπάνω επέκταση της Κατασκευής $10\iota \left(193 \right)$ και για κύκλο και να μας δώσουν τη λύση της.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Σημαντική Επέκταση της Γεωμετρικής Κατασκευής $10\iota \left(193 \right)$ από Ευθεία και σε Κύκλο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
προκειμένου να διευκολύνω τους ενδαφερόμενους φίλους, δίνω παρακάτω για λύση την διατύπωση της πρωτοεμφανιζόμενης πιστεύω Κατασκευής $11\left(42 \right)$ , την οποία είχαμε ζητήσει παραπάνω, αλλά μέχρι τώρα δεν μας έχει δοθεί. Πρόκειται για μία σημαντική Κατασκευή,.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις. Δική μου λύση, θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η Κατασκευή αυτή, έχει ως εξής:
$11\left(42 \right)$ . Σε κύκλο $\left(\kappa \right)$ δίνεται η διατεταγμένη τετράδα σταθερών σημείων , $\Delta$ , $\Gamma$ , . Στον ίδιο κύκλο $\left(\kappa \right)$ , να ορισθεί σημείο , έτσι ώστε οι διπλοί λόγοι $\left(A\Delta \Gamma B \right)$ , $\left(BE\Gamma A \right)$ να είναι ίσοι.

Σχόλιο.
Την παραπάνω Κατασκευή, καταχώρησα στην παράγραφο $11\left(42 \right)$ τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου 135, όπως έχω υποσχεθεί, δίνω τη λύση της παραπάνω Κατασκευής 11(42).
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις, λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής

#99

Μια κομψή Γεωμετρική Κατασκευή, Ειδικής Αρμονικής Τετράδας Σημείων.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
σας δίνω παρακάτω για λύση το πρωτοεμφανιζόμενο πιστεύω Πρόβλημα $11\left(17 \right)$ . Πρόκειται για μία εύκολη και ωραία Κατασκευή.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις. Δύο δικές μου λύσεις, θα ακολουθήσουν σταδιακά μετά από εύλογα χρονικά διαστήματα.

Η Κατασκευή αυτή, έχει ως εξής:
$11\left(17 \right)$ . Ευθύγραμμο τμήμα $AB=2\tau$ να χωρισθεί αρμονικά από ζεύγος σημείων $\Gamma$ , $\Delta$ (το $\Gamma$ μεταξύ των

,

και το $\Delta$ εκτός τούτου και προς το μέρος του

), για το οποίο (ζεύγος) να είναι: $AB=\Gamma \Delta =2\tau$ (το $\tau$ δοσμένο τμήμα), ή με άλλη διατύπωση:
Να κατασκευασθεί αρμονική τετράδα σημείων

,

, $\Gamma$ , $\Delta$ , τέτοια ώστε $AB=\Gamma \Delta =2\tau$ .
Ακόμη, αν

, $\Lambda$ είναι τα μέσα των

, $\Gamma \Delta$ αντίστοιχα, να υπολογισθεί το τμήμα $K\Lambda$ συναρτήσει του $\tau$ και να δειχθεί ότι το άθροισμα $K \Gamma +\Lambda B$ είναι ίσο με την πλευρά του περιγεγραμμένου κανονικού οκταγώνου στον κύκλο διαμέτρου

.

Σχόλιο.
Την παραπάνω Κατασκευή, καταχώρησα στην παράγραφο $11\left(17 \right)$ τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#100

ΝΙΚΟΣ έγραψε:Μια κομψή Γεωμετρική Κατασκευή, Ειδικής Αρμονικής Τετράδας Σημείων.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
σας δίνω παρακάτω για λύση το πρωτοεμφανιζόμενο πιστεύω Πρόβλημα $11\left(17 \right)$ . Πρόκειται για μία εύκολη και ωραία Κατασκευή.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις. Δύο δικές μου λύσεις, θα ακολουθήσουν σταδιακά μετά από εύλογα χρονικά διαστήματα.

Η Κατασκευή αυτή, έχει ως εξής:
$11\left(17 \right)$ . Ευθύγραμμο τμήμα $AB=2\tau$ να χωρισθεί αρμονικά από ζεύγος σημείων $\Gamma$ , $\Delta$ (το $\Gamma$ μεταξύ των , και το $\Delta$ εκτός τούτου και προς το μέρος του ), για το οποίο (ζεύγος) να είναι: $AB=\Gamma \Delta =2\tau$ (το $\tau$ δοσμένο τμήμα), ή με άλλη διατύπωση:
Να κατασκευασθεί αρμονική τετράδα σημείων , , $\Gamma$ , $\Delta$ , τέτοια ώστε $AB=\Gamma \Delta =2\tau$ .
Ακόμη, αν , $\Lambda$ είναι τα μέσα των , $\Gamma \Delta$ αντίστοιχα, να υπολογισθεί το τμήμα $K\Lambda$ συναρτήσει του $\tau$ και να δειχθεί ότι το άθροισμα $K \Gamma +\Lambda B$ είναι ίσο με την πλευρά του περιγεγραμμένου κανονικού οκταγώνου στον κύκλο διαμέτρου .

Σχόλιο.
Την παραπάνω Κατασκευή, καταχώρησα στην παράγραφο $11\left(17 \right)$ τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου , όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την λύση του πρώτου ζητούμενου της παραπάνω Κατασκευής $11\left(17 \right)$ .
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις- λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου. Η δεύτερη δική μου λύση και τα υπόλοιπα ζητούμενα θα ακολουθήσουν σταδιακά μετά από εύλογα χρονικά διαστήματα.

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής

ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ*.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Μέλη σε σύνδεση