Διχοτόμοι και W.Janous!

#1

Έστω τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ και ο πραγματικός αριθμός $\displaystyle{p \in (0,1].}$ Αποδείξτε ότι

$\displaystyle{\frac{1}{w_{a}^p}+\frac{1}{w_{b}^p}+\frac{1}{w_{c}^p}\geq \left(\frac{4R}{s} \right)^{\frac{p}{3}}\left(\frac{1}{a^p}+\frac{1}{b^p}+\frac{1}{c^p} \right).}$

$\displaystyle{w_{a},w_{b},w_{c}}$ διχοτόμοι,
$\displaystyle{R,s}$ ακτίνα περιγεγραμμένου κύκλου και ημιπερίμετρος αντίστοιχα.

#2

Έμεινε πολύ καιρό αναπάντητη ...

Θα χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις:

$\displaystyle{{w_a} = \frac{{2bc}}{{b + c}}\cos \left( {\frac{A}{2}} \right),}$

$\displaystyle{{w_b} = \frac{{2ca}}{{c + a}}\cos \left( {\frac{B}{2}} \right),}$

$\displaystyle{{w_c} = \frac{{2ab}}{{a + b}}\cos \left( {\frac{C}{2}} \right)}$

και

$\displaystyle{\cos \left( {\frac{A}{2}} \right)\cos \left( {\frac{B}{2}} \right)\cos \left( {\frac{C}{2}} \right) = \frac{s}{{4R}}.}$

Δίχως βλάβη της γενικότητας, υποθέτουμε ότι $\displaystyle{a \le b \le c.}$ Τότε, είναι:

$\displaystyle{\frac{1}{a} \ge \frac{1}{b} \ge \frac{1}{c} \Rightarrow \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \le \frac{1}{c} + \frac{1}{a} \le \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \Rightarrow \frac{{b + c}}{{2bc}} \le \frac{{c + a}}{{2ca}} \le \frac{{a + b}}{{2ab}}\Rightarrow }$

$\displaystyle{ \Rightarrow {\left( {\frac{{b + c}}{{2bc}}} \right)^p} \le {\left( {\frac{{c + a}}{{2ca}}} \right)^p} \le {\left( {\frac{{a + b}}{{2ab}}} \right)^p}}$

και

$\displaystyle{A \le B \le C \Rightarrow \cos \left( {\frac{A}{2}} \right) \ge \cos \left( {\frac{B}{2}} \right) \ge \cos \left( {\frac{C}{2}} \right) \Rightarrow {\cos ^p}\left( {\frac{A}{2}} \right) \ge {\cos ^p}\left( {\frac{B}{2}} \right) \ge {\cos ^p}\left( {\frac{C}{2}} \right) \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \Rightarrow \frac{1}{{{{\cos }^p}\left( {\frac{A}{2}} \right)}} \le \frac{1}{{{{\cos }^p}\left( {\frac{B}{2}} \right)}} \le \frac{1}{{{{\cos }^p}\left( {\frac{C}{2}} \right)}}.}$

Από την ανισότητα Chebyshev προκύπτει ότι:

$\displaystyle{\frac{1}{{w_a^p}} + \frac{1}{{w_b^p}} + \frac{1}{{w_c^p}} = \frac{1}{{{{\cos }^p}\left( {\frac{A}{2}} \right)}}{\left( {\frac{{b + c}}{{2bc}}} \right)^p} + \frac{1}{{{{\cos }^p}\left( {\frac{B}{2}} \right)}}{\left( {\frac{{c + a}}{{2ca}}} \right)^p} + \frac{1}{{{{\cos }^p}\left( {\frac{C}{2}} \right)}}{\left( {\frac{{a + b}}{{2ab}}} \right)^p} \ge }$

$\displaystyle{ \ge \frac{1}{3}\left[ {\frac{1}{{{{\cos }^p}\left( {\frac{A}{2}} \right)}} + \frac{1}{{{{\cos }^p}\left( {\frac{B}{2}} \right)}} + \frac{1}{{{{\cos }^p}\left( {\frac{C}{2}} \right)}}} \right]\left[ {{{\left( {\frac{{b + c}}{{2bc}}} \right)}^p} + {{\left( {\frac{{c + a}}{{2ca}}} \right)}^p} + {{\left( {\frac{{a + b}}{{2ab}}} \right)}^p}} \right].}$ $\bf \color{red}\left(1 \right)$

Από την ανισότητα Αριθμητικού-Γεωμετρικού Μέσου προκύπτει ότι:

$\displaystyle{\frac{1}{3}\left[ {\frac{1}{{{{\cos }^p}\left( {\frac{A}{2}} \right)}} + \frac{1}{{{{\cos }^p}\left( {\frac{B}{2}} \right)}} + \frac{1}{{{{\cos }^p}\left( {\frac{C}{2}} \right)}}} \right] \ge \sqrt[3]{{\frac{1}{{{{\cos }^p}\left( {\frac{A}{2}} \right){{\cos }^p}\left( {\frac{B}{2}} \right){{\cos }^p}\left( {\frac{C}{2}} \right)}}}} = }$

$\displaystyle{ = {\left[ {\cos \left( {\frac{A}{2}} \right)\cos \left( {\frac{B}{2}} \right)\cos \left( {\frac{C}{2}} \right)} \right]^{ - \frac{p}{3}}} = {\left( {\frac{{4R}}{s}} \right)^{\frac{p}{3}}}.}$ $\bf \color{red}\left(2 \right)$

Εφόσον $\displaystyle{0 < p \le 1}$ με εφαρμογή της ανισότητας των δυνάμεων

$\displaystyle{{\left( {\frac{{x + y}}{2}} \right)^p} \ge \frac{{{x^p} + {y^p}}}{2}}$

προκύπτει ότι:

$\displaystyle{{\left( {\frac{{b + c}}{{2bc}}} \right)^p} = {\left[ {\frac{1}{2}\left( {\frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)} \right]^p} \ge \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{{b^p}}} + \frac{1}{{{c^p}}}} \right)}$

και όμοια

$\displaystyle{{\left( {\frac{{c + a}}{{2ca}}} \right)^p} \ge \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{{c^p}}} + \frac{1}{{{a^p}}}} \right),}$

$\displaystyle{{\left( {\frac{{a + b}}{{2ab}}} \right)^p} \ge \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{{a^p}}} + \frac{1}{{{b^p}}}} \right),}$

οπότε

$\displaystyle{{{{\left( {\frac{{b + c}}{{2bc}}} \right)}^p} + {{\left( {\frac{{c + a}}{{2ca}}} \right)}^p} + {{\left( {\frac{{a + b}}{{2ab}}} \right)}^p} \ge \frac{1}{{{a^p}}} + \frac{1}{{{b^p}}} + \frac{1}{{{c^p}}}}}$ $\bf \color{red}\left(3 \right)$

Η αποδεικτέα ανισότητα προκύπτει από τις σχέσεις $\bf \color{red}\left(1 \right)$ , $\bf \color{red}\left(2 \right)$ και $\bf \color{red}\left(3 \right)$ .

Διχοτόμοι και W.Janous!

Διχοτόμοι και W.Janous!

Re: Διχοτόμοι και W.Janous!

Μέλη σε σύνδεση