Τιμή Παράστασης

kostas136 · #1

Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:

$\displaystyle A=\sqrt{27}(\sqrt[3]{26+15\sqrt{3}}-\sqrt[3]{26-15\sqrt{3}})$

#2

Καλημέρα!

Σίγουρα δεν είναι αυτό που έχεις υπόψη σου Κώστα, αλλά το βάζω γιατί δουλεύει αρκετές φορές:

$\displaystyle{26+15\sqrt{3}=(a+b\sqrt{3})^3\Leftrightarrow26+15\sqrt{3}=a(a^2+9b^2)+3b(a^2+b^2)\sqrt{3}\Leftrightarrow\begin{cases}26=a(a^2+9b^2) \\ 15=3b(a^2+b^2)\end{cases}}$ .

Λαμβάνοντας υπόψη ότι $26=1\cdot26$ ή $\displaystyle{26=2\cdot13}$ ή $\displaystyle{26=13\cdot2}$ ή $\displaystyle{26=26\cdot1}$ βγάζουμε εύκολα ότι $\displaystyle{a=2}$ και $\displaystyle{b=1}$ είναι η μοναδική δυνατότητα.

Όμοίως για το άλλο ριζικό έχουμε πάλι ότι $\displaystyle{a=2}$ και $\displaystyle{b=1}$ άρα $\displaystyle{26\pm15\sqrt{3}=(2\pm\sqrt{3})^{3}}$ .

Τα υπόλοιπα είναι απλά.

Φυσικά δεν μπορεί να παρουσιάσει ο μαθητής αυτή τη λυση γιατί δεν μπορεί να δικαιολογήσει το βήμα $\displaystyle{a+b\sqrt{3}=c+d\sqrt{3}\Leftrightarrow a=c\,\,\wedge\,\,b=d}$ . Μπορεί όμως να το κάνει στο πρόχειρο.

kostas136 · #3

Ευχαριστώ Τάσο, συνήθως ζητάμε να ανακαλύψουν το τετράγωνο αθροίσματος/διαφοράς στα υπόριζα, ήθελα και μια περίπτωση με κύβους. Ευχαριστώ για την ενασχόληση.

#4

Ισχύουν οι σχέσεις: $26+15\sqrt{3}=(2+\sqrt{3})^3$ και $26-15\sqrt{3}=(2-\sqrt{3})^3$ ,

οπότε:

$\displaystyle {A=\sqrt{27}\left( \sqrt[3]{26+15\sqrt{3}}-\sqrt[3]{26-15\sqrt{3}}\right)=}$

$\displaystyle {=3\sqrt{3}\left(2+\sqrt{3}-2+\sqrt{3}\right)=3\sqrt{3}\cdot2\sqrt{3}=18}$

Τιμή Παράστασης

Τιμή Παράστασης

Re: Τιμή Παράστασης

Re: Τιμή Παράστασης

Re: Τιμή Παράστασης

Μέλη σε σύνδεση