Όρια

mathxl · #1

Να υπολογίσετε τα όρια
Α.
$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\ln x \cdot \ln \left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right)} \right]}$
Β.
$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left[ {\ln x \cdot \ln \left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right)} \right]}$

#2

mathxl έγραψε:Να υπολογίσετε τα όρια
Α.
$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\ln x \cdot \ln \left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right)} \right]}$
Β.
$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left[ {\ln x \cdot \ln \left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right)} \right]}$

Ενδιαφέρον. Μας "προκαλεί" για l΄Ηοspital, αλλά μάλλον μπλέκουμε έτσι (δεν το δοκίμασα). Ίσως καλύτερα:

Το πρώτο γράφεται $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac {\ln x}{x} \cdot \ln {\left(\frac{{x + 1}}{{x - 1}}\right)^x} } \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac {\ln x}{x} \cdot \ln {\frac{{(1 + 1/x)^x}}{{(1 - 1/x)^x}}} } \right] }$

και πέρνουμε χωριστά τα όρια των τριών παραγόντων. Δίνουν 0, e, 1/e αντίστοιχα. Τελική απάντηση: $0 \cdot \frac{e}{1/e} = 0.$

To δεύτερο ανάγεται στο πρώτο (ξαναδίνει ουσιαστικά την ίδια παράσταση) αν κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής y=1/x .

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

kwstas12345 · #3

Για το πρώτο:

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\ln\left(x+1 \right)-\ln\left(x-1 \right)}{\frac{1}{\ln x}}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}}{\frac{-1}{x\ln^{2}x}}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{2x\ln^{2}x}{x^{2}-1}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{2\ln^{2}x}{x-\frac{1}{x}}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{4\ln x}{x\left(1+\frac{1}{x^{2}} \right)}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\ln x}{x}\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{4}{1+\frac{1}{x^{2}}}=0$

hsiodos · #4

x > 1

Για το πρώτο.

$\displaystyle{ 0 < \ln \left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right) < \frac{{x + 1}}{{x - 1}} - 1 \Rightarrow 0 < \ln \left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right) < \frac{2}{{x - 1}} \Rightarrow 0 < \ln x\ln \left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right) < \frac{{2\ln x}}{{x - 1}}\,\,(1)}$

Επειδή $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2\ln x}}{{x - 1}} = 0}$ από το κριτήριο παρεμβολής προκύπτει ότι το ζητούμενο όριο είναι μηδέν.

Για το δεύτερο.

$\displaystyle{ lnx\ln \left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right) = \ln x\frac{{x + 1}}{{x - 1}}\frac{{\ln \left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right)}}{{\frac{{x + 1}}{{x - 1}}}} = \frac{{\ln x}}{{x - 1}}(x + 1)\frac{{\ln \left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right)}}{{\frac{{x + 1}}{{x - 1}}}}}$

και $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\ln x}}{{x - 1}} = 1\,\,,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (x + 1) = 2\,\,,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\ln \left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right)}}{{\frac{{x + 1}}{{x - 1}}}} = \mathop {\lim }\limits_{u \to + \infty } \frac{{\ln u}}{u} = 0}$ , οπότε το ζητούμενο όριο είναι μηδέν.

Γιώργος

Χρήστος Λαζαρίδης · #5

mathxl έγραψε:Να υπολογίσετε τα όρια
Α.
$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\ln x \cdot \ln \left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right)} \right]}$
Β.
$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left[ {\ln x \cdot \ln \left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right)} \right]}$

hsiodos έγραψε:x > 1

Για το πρώτο.

$\displaystyle{ 0 < \ln \left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right) < \frac{{x + 1}}{{x - 1}} - 1 \Rightarrow 0 < \ln \left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right) < \frac{2}{{x - 1}} \Rightarrow 0 < \ln x\ln \left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right) < \frac{{2\ln x}}{{x - 1}}\,\,(1)}$

Επειδή $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2\ln x}}{{x - 1}} = 0}$ από το κριτήριο παρεμβολής προκύπτει ότι το ζητούμενο όριο είναι μηδέν.

Γιώργος

Μία προσπάθεια για το Β.

Αν θέσουμε στο όριο του Α, $\displaystyle{y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}} \Rightarrow x = \frac{{y + 1}}{{y - 1}}}$ , το όριο γίνεται:

$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{y \to 1^ + } \ln y\ln \frac{{y + 1}}{{y - 1}}} = 0$

Δηλαδή τα δύο όρια συμπίπτουν.

Φιλικά Χρήστος.

Όρια

Όρια

Re: Όρια

Re: Όρια

Re: Όρια

Re: Όρια

Μέλη σε σύνδεση