Θέματα Ευκλείδη Β' Λυκείου 2007

#1

Επισυνάπτω τα θέματα για εξάσκηση. Ο "Ευκλείδης" πλησιάζει, οπότε περιμένουμε τις λύσεις σας.

Ελπίζω να βρω το χρόνο και να μετατρέψω τα θεματα σε $\LaTeX$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

slash · #2

Noμιζω η 3 μπορει να γινει με τη βοηθεια της ΑΜ-ΓΜ εαν γραψεις καταλληλα το α εις την τεταρτη. δηλαδη:

a^3 + a ^3+...+a^3

α φορες.
Παρομοια το β και κατω εχεις το αθροισμα του πληθους δηλαδη a+b κτλπ...

Η 1 ειναι σχετικα ευκολη με την χρηση του τυπου:
$P(x)=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})$
Αφου αναπτυξεις τις διαφορες τετραγωνων στην παρασταση Γ παιρνεις νομιζω P(1)[-P(-1)]= ... κτλπ

Γεωμετρια δεν ξερω αν θα την παλευα αν επεφταν αυτα τα θεματα φετος ( μιας και δεν ειμαι πολυ καλος) , αλλα δυο τρια πραγματα θα γραφα...

Νασιούλας Αντώνης · #3

slash έγραψε:Noμιζω η 3 μπορει να γινει με τη βοηθεια της ΑΜ-ΓΜ εαν γραψεις καταλληλα το α εις την τεταρτη. δηλαδη:

α φορες.
Παρομοια το β και κατω εχεις το αθροισμα του πληθους δηλαδη a+b κτλπ...

H λύση της ΕΜΕ:

Από την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου έχουμε

$\frac{a^4+b^4}{a+b}=\frac{a^3+a^3+...+a^3+b^3+b^3+...+b^3}{a+b}\geq \sqrt[a+b]{(a^3)^a(b^3)^b}=\sqrt[a+b]{(a^ab^b)^3}$

από την οποία έπεται το ζητούμενο.

ΥΓ. Το πλήθος τον α^3 και β^3 είναι α και β αντίστοιχα, δεν ξέρω πως να το γράψω σε λατέχ

Αντώνης

slash · #4

Aντωνη μου στελνεις λιγο τις λυσεις να δω πως λυνει τη γεωμετρια ?

#5

slash έγραψε:Noμιζω η 3 μπορει να γινει με τη βοηθεια της ΑΜ-ΓΜ εαν γραψεις καταλληλα το α εις την τεταρτη. δηλαδη:

α φορες.
...

Έχεις δίκιο. Απλώς, ας αναφέρουμε ότι η συγκεκριμένη ανισότητα ισχύει όχι μόνο για θετικές ακέραιες τιμές των $\displaystyle{a,b}$ , αλλά γενικότερα για θετικές πραγματικές.

Πράγματι, η ανισότητα Αριθμητικού Μέσου- Γεωμετρικού Μέσου, στη γενικότερη εκδοχή της λέει:

Αν $\displaystyle{x_{1},x_{2},...,x_{n}\geq 0}$ και $\displaystyle{w_{1},w_{2},...,w_{n}\geq 0}$ με $\displaystyle{w_{1}+w_{2}+...+w_{n}=1}$ τότε

$\displaystyle{w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+...+w_{n}x_{n}\geq x_{1}^{w_{1}}x_{2}^{w_{2}}\cdots x_{n}^{w_{n}}}$ .

Ας την εφαρμόσουμε για να αποδείξουμε την ανισότητα από τον Ευκλείδη:

Έχουμε

$\displaystyle{\frac{a^4+b^4}{a+b}=\frac{a}{a+b}a^3+\frac{b}{a+b}b^3\geq (a^{3})^{\frac{a}{a+b}}(b^3)^{\frac{b}{a+b}}=(a^ab^b)^{\frac{3}{a+b}}}$

και από αυτήν έπεται η ζητούμενη.

slash · #6

Αν δεν κανω λαθος βασικα ετσι οπως το εγραψες εφαρμοζεις την ανισοτητα των βαρων... η οχι ?

#7

slash έγραψε:Αν δεν κανω λαθος βασικα ετσι οπως το εγραψες εφαρμοζεις την ανισοτητα των βαρων... η οχι ?

Ακριβώς! Τα $\displaystyle{w_{1},w_{2},...,w_{n}}$ είναι αυτά που ονομάζονται βάρη.

Νασιούλας Αντώνης · #8

slash έγραψε:Aντωνη μου στελνεις λιγο τις λυσεις να δω πως λυνει τη γεωμετρια ?

Υπομονή μέχρι το απόγευμα να σκανάρω τις λύσεις αναλυτικά...-έχω λίγο διάβασμα τώρα...

Αντώνης

#9

Θυμήθηκα ότι τότε ο Σιλουανός και ο Νίκος (Ράπανος) έθεσαν στο Ελληνικό υποφόρουμ του mathlinks μία γενίκευση της συγκεκριμένης ανισότητας που λύνεται με την ανισότητα των βαρών που χρησιμοποιήσε παραπάνω ο Θάνος. Βρίσκεται εδώ.

Αλέξανδρος

themiskant · #10

Θα μπορούσατε να γράψετε μια λύση για τη γεωμετρία?

Νασιούλας Αντώνης · #11

Ζητάω συγγνώμη για την καθυστέρηση μιας και είχα πει πως θα ανεβάσω τις λύσεις από την προηγούμενη βδομάδα.
Είχα όμως κάποιο πρόβλημα με το σκάνερ και δεν μπορούσα να σκανάρω σπίτι μου.
Έχω σκανάρει τα θέματα μαζί με τις λύσεις του Ευκλείδη της Β Λυκείου για τις χρονιές 2005, 2006, 2007.
Περιμένω να κατέβει ένα πρόγραμμα για να επεξεργαστώ το αρχείο pdf όποτε το βραδάκι φιλοδοξώ να τις έχω ανεβάσει.

Νασιούλας Αντώνης · #12

Προσπαθώ να ανεβάσω το αρχείο "Θέματα-Λύσεις Ευκλείδη Β Λυκείου 2005,2006,2007" σε pdf άλλα είναι μεγάλο και δεν γίνεται (1,04 ΜΒ).
Όποιος μπορεί ας μου πει πως να το μικρύνω ή να μου δώσει το mail του να του το στείλω και να το ανεβάσει εκείνος.
Ευχαριστώ,

Αντώνης

Νασιούλας Αντώνης · #13

Το αρχείο ανέβηκε στα αρχεία του

. Κοιτάξτε εδώ

#14

Αντώνη, σε ευχαριστούμε πολύ!!

Φιλικά,

Αχιλλέας

Θέματα Ευκλείδη Β' Λυκείου 2007

Θέματα Ευκλείδη Β' Λυκείου 2007

Re: Θέματα Ευκλείδη Β' Λυκείου 2007

Re: Θέματα Ευκλείδη Β' Λυκείου 2007

Re: Θέματα Ευκλείδη Β' Λυκείου 2007

Re: Θέματα Ευκλείδη Β' Λυκείου 2007

Re: Θέματα Ευκλείδη Β' Λυκείου 2007

Re: Θέματα Ευκλείδη Β' Λυκείου 2007

Re: Θέματα Ευκλείδη Β' Λυκείου 2007

Re: Θέματα Ευκλείδη Β' Λυκείου 2007

Re: Θέματα Ευκλείδη Β' Λυκείου 2007

Re: Θέματα Ευκλείδη Β' Λυκείου 2007

Re: Θέματα Ευκλείδη Β' Λυκείου 2007

Re: Θέματα Ευκλείδη Β' Λυκείου 2007

Re: Θέματα Ευκλείδη Β' Λυκείου 2007

Μέλη σε σύνδεση