Θέματα Ευκλείδη A' Λυκείου 2008

#1

Επισυνάπτω τα θέματα της Α' Λυκείου 2008.

Φιλικά,

Αχιλλέας

stavros11 · #2

Πρόβλημα 1:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

kwstas12345 · #3

Καλά θα ήταν να ανεβούν και της B λυκείου

Μια λύση για το τελευταίο: $\displaystyle x+y+1\geqslant 2\sqrt{x\left(y+1 \right)},y+z+3\geqslant 2\sqrt{\left(y+1 \right)\left(z+2 \right)}$ $\displaystyle ,x+z+2\geqslant 2\sqrt{x\left(z+2 \right)}$ από ΑΜ-ΓΜ

Άρα: $\displaystyle LHS\leqslant \frac{1}{2}\left(\sqrt{x\left(y+1 \right)}+\sqrt{\left(y+1 \right)\left(z+2 \right)}+\sqrt{x\left(z+2 \right)} \right)$ .

Από ΑΜ-ΓΜ πάλι: $\displaystyle \frac{1}{2}\left(\sqrt{x\left(y+1 \right)}+\sqrt{\left(y+1 \right)\left(z+2 \right)}+\sqrt{x\left(z+2 \right)} \right)\leqslant \frac{1}{2}\left(\frac{x+y+1}{2}+\frac{y+1+z+2}{2}+\frac{x+z+2}{2} \right)=$

.

Εdit: H ισότητα ισχύει όταν x=y+1=z+2

δηλαδή όταν $\left(x,y,z\right)=\left(2,1,0 \right)$

#4

Πρόβλημα 2:

Συμπληρώνοντας το τετράγωνο, η δοθείσα σχέση για το a,b

γράφεται

, ή ισοδύναμα

$\displaystyle{\left((a-2)-(b-2)\right)^2=-(a-2)(b-2)}$ . Από εδώ τώρα βγάζουμε ότι a=b=2

και αντικαθιστούμε στην εξίσωση. Τελικά $x=0\,\eta\,1\,\eta\,2$ .

Θέματα Ευκλείδη A' Λυκείου 2008

Θέματα Ευκλείδη A' Λυκείου 2008

Re: Θέματα Ευκλείδη A' Λυκείου 2008

Re: Θέματα Ευκλείδη A' Λυκείου 2008

Re: Θέματα Ευκλείδη A' Λυκείου 2008

Μέλη σε σύνδεση