Θέματα Ευκλείδη Β' Λυκείου 2008

#1

Επισυνάπτω τα θέματα της Β' Λυκείου 2008.

Φιλικά,

Αχιλλέας

imathiop · #2

Μήπως έχουμε λυσεις για αυτά τα θέματα; Ευχαριστώ.

kwstas12345 · #3

Θα προσπαθήσω να βάλω τις λύσεις στα θέματα, που βρήκα,πιστεύω να είναι σωστές.

1. Πρέπει $\displaystyle x\geqslant \frac{2}{3}$ . Έπειτα υψώνουμε στο τετράγωνο και πέρνουμε $\displaystyle x^4+4x^2-27x+22=0\Leftrightarrow \left(x-1 \right)\left(x^3+x^2+5x-22 \right)=0\Leftrightarrow \left(x-1 \right)\left(x-2 \right)\left(2x^2+3x+11 \right)$

ή $\displaystyle \left(x-1 \right)\left(x-2 \right)\left(2x^2+3x+11 \right)=0\Leftrightarrow x=1 \vee x=2$ που είναι δεκτές.

2. Παρατηρούμε ότι σε κάθε περίπτωση το σύνολο των βαθμών που λαμβάνουν συνολικά οι ομάδες είναι

βαθμοί. Συνολικά έχουμε $\displaystyle \binom{n}{2}=\frac{n!}{2!\cdot\left(n-2 \right)!}=\frac{n\left(n-1 \right)}{2}$ . (αφού οι ομάδες παίζουν ανα δύο )

Άρα έχουμε συνολικά $\displaystyle 4\cdot \frac{n\left(n-1 \right)}{2}$ . Έτσι : $\displaystyle 2n\left(n-1 \right)=364\Leftrightarrow n=14$ .

3. H δοθείσα γίνεται εύκολα $\displaystyle \left(x+1 \right)^{2}+\left(y+2 \right)^{2}+\left(z+3 \right)^{2}=1$ . Από την γνωστή ανισότητα:

$\displaystyle 3\left(a^2+b^2+c^2 \right)\geqslant \left(a+b+c \right)^{2}$ θα έχουμε $\displaystyle 3=3\left[\left(x+1 \right)^{2}+\left(y+2 \right)^{2}+\left(z+3 \right)^{2} \right]\geqslant \left(x+y+z+6 \right)^{2}\Leftrightarrow$ $\displaystyle \sqrt{3}-6\geqslant x+y+z\geqslant -3-\sqrt{6}$ .

Άρα $\displaystyle m\leqslant -\left(x+y+z \right)\leqslant 6+\sqrt{3}$ . (Edit:εδώ έγινε διόρθωση ,είχα ξεχάσει μια μονάδα στο 2ο μέλος.)

4. Από το σχήμα που κάνω είναι: $\displaystyle A\Gamma =2\sqrt{2}a$ από Πυθαγόρειο στο τρίγωνο $AB\Gamma$ και $\displaystyle \Delta B=\sqrt{5}a$ από Πυθαγόρειο στο $AB\Delta$ και η ανισότητα γίνεται $\displaystyle 2\sqrt{2}<1+\sqrt{5}$ .

Για το άλλο ερώτημα αν ονομάσω $\displaystyle MA=y,M\Delta =x\Rightarrow x+y=2a$ τόττε πρέπει να ελαχιστοποιήσουμε την $\displaystyle \sqrt{\left(2a-x \right)^{2}+a^2}+\sqrt{x^{2}+4a^2}$ .

Tα υπόλοιπα άυριο...

nickthegreek · #4

Έτσι,για να τον ολοκληρώσουμε αυτόν τον Ευκλείδη,δίνω το σχήμα στο τέταρτο θέμα και την απάντηση στα δυο τελευταία ερωτήματα.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2008.ggb: (5.58 KiB) Μεταφορτώθηκε 84 φορές

Θεμελιώδης σκέψη σε αυτού του είδους τα προβλήματα είναι η επιβολή συμμετρίας.

ii)Για να προσδιορίσουμε το σημείο M ώστε ΔΜ+ΜΓ ελάχιστο, φέρουμε το συμμετρικό του Γ ως προς το Β.Τώρα η ευθεία ΑΒ είναι φυσικά μεσοκάθετος του

ΓΓ',οπότε για κάθε Μ που ανήκει στην ΑΒ ισχύει ότι ΜΓ=ΜΓ' .Έτσι ΔΜ+ΜΓ=ΔΜ+ΜΓ' $\geq$ ΔΓ' ,αφού η συντομότερη απόσταση μεταξύ δυο σημείων είναι

η ευθεία. Οπότε, το σημείο Μ ορίζεται ως το σημείο τομής των τμημάτων ΑΒ και ΔΓ'. Από τα όμοια τρίγωνα ΒΜΓ' και ΜΑΔ προκύπτει ότι

$\frac{MB}{MA}=\frac{\Gamma 'B}{A\Delta}=\frac{2a}{a}=2$ . Άρα $MA=\frac{1}{3}AB=\frac{2a}{3}$ και όμοια $MB=\frac{4a}{3}$

Eπομένως,το σημείο Μ έχει προσδιοριστεί.

iii)Ισχύει ότι $E_{\Delta M\Gamma }=\frac{1}{2}\Delta M\cdot M \Gamma sin\angle\Delta M\Gamma$ .

Aν θέσουμε $\angle AM\Delta =x\Rightarrow \angle BM\Gamma =x$ . Άρα $\angle \Delta M\Gamma=180^{\circ} -2x \Rightarrow sin\angle \Delta M\Gamma=sin(180^{\circ}-2x)=sin2x=2sinxcosx$

Με απλές πράξεις εφαρμογής του Πυθαγορείου βρίσκουμε $\Delta M=\frac{a\sqrt{13}}{3},M\Gamma =\frac{2a\sqrt{13}}{3}$ και

$sinx=\frac{3\sqrt{13}}{13},cosx=\frac{2\sqrt{13}}{13}$ . Τελικά,το ζητούμενο εμβαδό είναι (μετά από λίγες πράξεις) ίσο με $\frac{4a^2}{3}$ .

Ελπίζω να μην έχω λάθος στη σκέψη (στις πράξεις ας έχω,δεν πειράζει!

)

Φιλικά,
Νίκος

Θέματα Ευκλείδη Β' Λυκείου 2008

Θέματα Ευκλείδη Β' Λυκείου 2008

Re: Θέματα Ευκλείδη Β' Λυκείου 2008

Re: Θέματα Ευκλείδη Β' Λυκείου 2008

Re: Θέματα Ευκλείδη Β' Λυκείου 2008

Μέλη σε σύνδεση