Γεωμετρικός τόπος της 4ης κορυφής ορθογωνίου

[Ανδρέας Πούλος]

Δίνεται ένας κύκλος (Κ, ρ) και ένα σταθερό σημείο Α εκτός του κύκλου.
Δύο σημεία Β και Γ κινούνται στον κύκλο (Κ, ρ) και ένα άλλο σημείο Δ
βρίσκεται σε ένα άγνωστο σχήμα.
Αν γνωρίζουμε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο,
να βρεθεί σε ποιο σχήμα ανήκει το σημείο Δ.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

[p_gianno]

Έστω ΑΒΓΔ ένα από τα ορθογώνια σύμφωνα με τα δεδομένα του προβλήματος. Τότε η ευθεία ΚΛ όπου Λ μέσον της ΒΓ είναι μεσοκάθετος της ΒΓ άρα και της ΑΔ. Θα είναι επομένως ΑΚ=ΚΔ =σταθερό συνεπώς το Δ ανήκει σε κύκλο κέντρου Κ και ακτίνος ΚΑ.

κύκλος , μεσοκάθετος , ορθογώνιο , απόστημα , γεωμετρικός τόπος

[rek2]

Ας ζητήσουμε τον γεωμετρικό τόπο του Δ, όταν τα Β, Γ κινούνται επί του δοσμένου κύκλου.

Όπως είδαμε το Δ ανήκει στον κύκλο (Κ, ΚΑ).

Η ΓΔ διέρχεται από σταθερό σημείο Α΄, το οποίο είναι το συμμετρικό του Α, ως προς το κέντρο Κ.
Οι εφαπτόμενες από το Α΄, του δοσμένου κύκλου, ειναι παράλληλες με εκείνες που άγονται από το Α και επανατέμνουν τον κύκλο (Κ, ΚΑ) στα σημεία Ε και Ζ. Εύκολα βλέπουμε ότι ο γ. τ. είναι το τόξο ΕΑΖ του κύκλου (Κ, ΚΑ), χωρίς το Α.

[Ανδρέας Πούλος]

Η εικόνα που δημοσιεύω παριστά σχηματικά τη λύση του rek2
Πρόκειται για τόξο κύκλου και όχι πλήρη κύκλο.
Καθώς τα σημεία Β και Γ κινούνται στον μωβ κύκλο, το σημείο Δ κινείται στο "πράσινο" τόξο.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

[S.E.Louridas]

Βεβαίως Κώστα και Γιώργο, αρκεί να θεωρήσουμε τις εφαπτόμενες από το σημείο Α (και αν ονομάσουμε,έστω Β κάθε φορά τα σημεία επαφης με τον κύκλο), οπότε οι αντίστοιχες κορυφές Δ δίνουν τα ακραία σημεία που ορίζουν το τόξο.

S.E.Louridas