Υπολογισμός Ολοκληρώματος!!!

stratos_mgr · #1

Καλημέρα και καλή χρονιά σε όλους!

Θα μπορούσε κάποιος να με βοηθήσει με τον υπολογισμό του ολοκληρώματος στην παρακάτω άσκηση?

a) Υπολογίστε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ του ημικυκλίου
$y = \sqrt{a^2 - x^2}$ , των ευθειών x=+a, x=-a και της ευθείας y=-a

Έχω καταλλήξει οτι ζητάει το εξής: Ε = $\int _{-a}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} dx + 2a^2$

Είναι σωστό? και αν ναι, πως λύνεται αυτο?

Ευχαριστώ.

#2

stratos_mgr έγραψε: Έχω καταλλήξει οτι ζητάει το εξής: Ε = $\int _{-a}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} dx + 2a^2$

Είναι σωστό? και αν ναι, πως λύνεται αυτο?

Ναι, σωστό είναι. Τώρα, ή θα θεωρήσεις ότι ξέρεις το εμβαδόν του ημικυκλίου (οπότε το ολοκλήρωμα που γράφεις είναι, αμέσως αμέσως, ίσο με $\frac{1}{2}\pi a^2$ ) ή θα κάνεις την ολοκλήρωση.

Για την ολοκλήρωση, πιο εύκολα να βρούμε το $\int _{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} dx$ (= με το μισό του δοθέντος). Κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής $x= a\sin t$ (*). Θα μας οδηγήσει στο $\int _{0}^{\pi / 2} cos ^2 t dt = \frac {1}{2}\int_{0}^{\pi / 2} (\cos 2t + 1) dt = ...$

Φιλικά,

Μιχάλης

(*) ο λόγος που πήραμε το "μισό" ολοκλήρωμα είναι ακριβώς λόγω αυτής της αλλαγής μεταβλητής: Η $\sin t$ δεν είναι 1-1 στο $[0, \pi ]$ , γι΄αυτό εργαζόμαστε στο $[0, \pi /2]$ .

Υπολογισμός Ολοκληρώματος!!!

Υπολογισμός Ολοκληρώματος!!!

Re: Υπολογισμός Ολοκληρώματος!!!

Μέλη σε σύνδεση