Ενδιάμεση τιμή για παράγωγο

#1

Μια απλή άσκηση η οποία κρύβει κάτι το ουσιώδες.
Έστω $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ παραγωγίσιμη. Δείξτε ότι ισχύει το Θεώρημα Ενδιάμεσης Τιμής για την $f^{\prime}$ . Συγκεκριμένα, δείξτε ότι αν a<c<d<b

και $f^{\prime}(c)<L<f^{\prime}(d)$ , τότε $f^{\prime}(x)=L$ για κάποιο $x\in(a,b)$ .

#2

Θεωρώ τη συνάρτηση g(x)=f(x)-Lx

, x στο

.
H g συνεχής στο [c,d]

, ως παραγωγίσιμη σε όλο το (a,b)

.
Συνεπώς θα παρουσιάζει σε αυτό, μέγιστη και ελάχιστη τιμή. Έστω πως η ελάχιστη τιμή είναι

και ότι αντιστοιχεί στo σημείo x_1

του

.
Αν

, τότε $g(x)\ge g(x1)$ , επομένως και
$g^{\prime}(c) = \mathop {\lim }\limits_{x \to c} \frac{{g(x) - g(c)}} {{x - c}} \geqslant 0$
δηλαδή $g'(c)\ge 0$ . Άτοπο, λόγω της f'(c)< L

Με όμοιο τρόπο απορρίπτω την περίπτωση x_1=d

.
Συνεπώς το x_1

είναι εσωτερικό σημείο του [c,d]

,
άρα απο το θεώρημα Fermat προκύπτει g'(x_1)=0

, δηλαδή το ποθητόν...

Είναι το γνωστό θεώρημα Darboux...

Υ.Γ ΔΙΟΡΘΩΣΗ ΚΩΔΙΚΑ LATEX. Κάποτε(κακώς) είχαμε συνηθίσει αλλιώς!

#3

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε: Δείξτε ότι ισχύει το Θεώρημα Ενδιάμεσης Τιμής για την $f^{\prime}$

Είναι το λεγόμενο Θεώρημα Darboux.
Αξίζει να αναζητήσετε στο διαδίκτυο διάφορες αποδείξεις του. Υπάρχουν τουλάχιστον τρεις, όλες ωραίες.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

#4

Για μια άλλη απόδειξη χωρίς Fermat δες πρόταση 6

lehrer · #5

Πιο λυκειακά

Ενδιάμεση τιμή για παράγωγο

Ενδιάμεση τιμή για παράγωγο

Re: Ενδιάμεση τιμή για παράγωγο

Re: Ενδιάμεση τιμή για παράγωγο

Re: Ενδιάμεση τιμή για παράγωγο

Re: Ενδιάμεση τιμή για παράγωγο

Μέλη σε σύνδεση