Θεώρημα ενδιαμέσων τιμών και σύνολο τιμών

[ma05860]

Είναι σωστό αν πούμε οτι αν η f είναι συνεχής στο R τότε μπορεί να έχει σύνολο τιμών το R* ? .
Νομίζω οτι είναι λάθος γιατί το R* είναι ένωση 2 διαστημάτων ενώ ο ορισμός του ΘΕΤ μας μιλάει για διάστημα και όχι για ένωση διαστημάτων!!Εχω δίκιο ή λέω βλακείες ??

[s.kap]

Είναι σωστό αν πούμε οτι αν η f είναι συνεχής στο R τότε μπορεί να έχει σύνολο τιμών το R* ? .
Νομίζω οτι είναι λάθος γιατί το R* είναι ένωση 2 διαστημάτων ενώ ο ορισμός του ΘΕΤ μας μιλάει για διάστημα και όχι για ένωση διαστημάτων!!Εχω δίκιο ή λέω βλακείες ??

Πρέπει να ξεκαθαρίσεις λίγο τα πράγματα:

Αν μία συνάρτηση έχει σύνολο τιμών το , αυτό σημαίνει ότι είναι μη σταθερή, γιατί έχει δύο τουλάχιστον τιμές.

Αφού είναι και συνεχής θα πρέπει (Η εικόνα ενός διαστήματος, μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης είναι διάστημα) το να είναι διάστημα, αλλά το δεν είναι.

Φιλικά

[Mihalis_Lambrou]

Το ίδιο που λέει ο Σπύρος αλλά με άλλα λόγια: Αν η συνεχής έχει σύνολο τιμών R*, τότε παίρνει κάποια (πολλές!) θετική τιμή (π.χ. την +1) και κάποια αρνητική (π.χ. την -1) . Από Bolzano παίρνει και την 0. Άτοπο.

Μ.

[ma05860]

Ευχαριστώ πολύ . Το ίδιο είχα σκεφτεί και εγώ αλλά δεν ήμουν σίγουρος . Μου άρεσε πολύ η εξήγηση του κ.Λάμπρου με το Bolzano . Αυτό το θέμα το έβαλε καθηγητής σε διαγώνισμα και όταν ο μαθητής του είπε οτι δεν ισχύει γιατί το R* δεν είναι διάστημα αλλά ένωση διαστημάτων του είπε οτι λέει βλακείες !!!!!!#%