Θεώρημα του χαλιού

p_gianno · #1

Μια ασκησούλα στα εμβαδά

Αν ΑΒΓΔ τετράγωνο και Ε ,Ζ τυχαία σημεία στις πλευρές του να αποδείξετε ότι το εμβαδόν της περιοχής που είναι κόκκινη ισούται με το εμβαδόν της περιοχής που είναι μπλε.

Πάνος

sybe · #2

Καλή χρονιά σε όλους

.GIF

σε κάθε τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς α, αν πάρουμε σε μια πλευρά του τυχαίο σημείο Ζ τότε ισχύει ότι το τρίγωνο ΖΔΓ έχει το μισό εμβαδόν του τετραγώνου. (Για το εμβαδόν του ΖΔΓ Βάση η ΔΓ = α, ύψος όσο και η πλευρά του τετραγώνου α, άρα $\left(Z\Delta \Gamma \right)=\frac{a^{2}}{2}$ )

Άρα στο σχήμα

carpet2.png

Για το τυχαίο σημείο Ε έχουμε $\left(E\Delta \Gamma \right)=\frac{\left(AB\Gamma \Delta \right)}{2}$ (1)

Για το τυχαίο σημείο Ζ έχουμε $\left(AZ\Delta \right)=\frac{\left(AB\Gamma \Delta \right)}{2}$ (2)

για ευκολία θα συμβολίζω με (k) το εμβαδόν της κόκκινης περιοχής και (b) το εμβαδόν της μπλε περιοχής.

ισχύει: $\left(k \right)=\left(AB\Gamma \Delta \right)-\left(AZ\Delta \right)-\left(\Delta E\Gamma \right)+\left(b \right)$ δηλαδή
$\left(k \right)=\left(AB\Gamma \Delta \right)-\frac{\left(AB\Gamma \Delta \right)}{2}-\frac{\left(AB\Gamma \Delta \right)}{2}+\left(b \right)$ δηλαδή

$\left(k \right)=\left(b \right)$

Ιστοσελίδα · #3

Ίδια διαπραγμάτευση με του sybe, διαφορετικά διατυπωμένη...μετά από χρόνια!

: Θεώρημα-του-χαλιού.png (16.19 KiB) Προβλήθηκε 770 φορές

$\left( {\Delta {\rm A}{\rm E}} \right) + \left( {\Gamma {\rm E}{\rm B}} \right) = \left( {{\rm E}\Delta \Gamma } \right) = \displaystyle\frac{{{\alpha ^2}}}{2} = \left( {{\rm Z}{\rm A}\Delta } \right)$ με ${{\rm E}_1} + {{\rm E}_3} = {{\rm E}_2} + {{\rm E}_4}$ , οπότε ${{\rm E}_{red}} + {{\rm E}_1} + {{\rm E}_3} = {{\rm E}_{blue}} + {{\rm E}_2} + {{\rm E}_4} \Rightarrow {{\rm E}_{red}} = {{\rm E}_{blue}}$ .

Θεώρημα του χαλιού

Θεώρημα του χαλιού

Re: Θεώρημα του χαλιού

Re: Θεώρημα του χαλιού

Μέλη σε σύνδεση