Πλήθος Ορθογωνίων Τριγώνων Με Ακέραιες Πλευρές!

Συντονιστές: emouroukos, vittasko, achilleas

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
chris
Δημοσιεύσεις: 1176
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 11, 2010 9:39 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα - Αθήνα
Επικοινωνία:
Επικοινωνία chris

Πλήθος Ορθογωνίων Τριγώνων Με Ακέραιες Πλευρές!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris » Παρ Φεβ 11, 2011 6:48 pm

Αν με \mathbb{S} συμβολίσουμε τον αριθμό όλων των ορθογωνίων τριγώνων με πλευρές ακέραιους αριθμούς για τα οποία ισχύει:\displaystyle \frac{E}{\tau }=p^m ,όπου \displaystyle E το εμβαδό του τριγώνου,\displaystyle \tau η ημιπερίμετρός του,\displaystyle p ένας πρώτος αριθμός και \displaystyle m ένας ακέραιος να αποδειχθεί οτι:

\displaystyle \mathbb{S}= \begin{cases} m+1\;\;\;\;,p=2 \\ 2m+1\;\;\;,p\neq 2\end{cases}


Στραγάλης Χρήστος
Κορυφή
Παναγιώτης 1729
Δημοσιεύσεις: 300
Εγγραφή: Τρί Αύγ 24, 2010 12:05 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Πλήθος Ορθογωνίων Τριγώνων Με Ακέραιες Πλευρές!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παναγιώτης 1729 » Παρ Φεβ 11, 2011 8:48 pm

Από τις Πυθαγόρεις τριάδες γνωρίζουμε ότι θα υπάρχουν μοναδικοί θετικοί ακέραιοι d,k,n με (k,n)=1, όπου οι k,n είναι διαφορετικοί mod2. Από τον τύπο του Ήρωνα καταλήγουμε στην εξίσωση dn(k-n)=p^m. Αν p=2, αφού ο k-n θα είναι περιττός, λαμβάνουμε k=n+1, άρα dn=2^m, η οποία δίνει S=m+1. Αν p>2, αφού (k,n)=1 έχουμε (n,k-n)=1, άρα για να έιναι οι δύο αυτοί αριθμοί δυνάμεις του p , όπως υποδεικνύει η εξίσωση, πρέπει n=1 ή k=n+1. Kάθε μία από τις εξισώσεις οι οποίες προκύπτουν έχει m+1 λύσεις, αλλά έτσι έχουμε μετρήσει την λύση n=1 δύο φορές. Συνεπώς S=2m+1


Λώλας Παναγιώτης
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα για Λύκειο - Seniors”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες