Κυκλικές αποδείξεις

kost65 · #1

Με αφορμή την σημερινή πολύ ενδιαφέρουσα Ημερίδα Μαθηματικών στην Βέροια , της οποίας οι εισηγήσεις θα αναρτηθούν στην ιστοσελίδα http://www.emeimathias.gr/ , επανέρχομαι σε παλαιότερο θέμα συζήτησης ( του οποίου το υλικό δυστυχώς έχω χάσει).
Εάν και ποιά είναι η απόδειξη του (ημχ) ΄ = συνχ χωρίς τη χρήση του ορίου $\lim_{\chi \rightarrow 0}\frac{\eta \mu \chi }{\chi }=1$ , ωστε να μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε κανόνα Del ' Hospital για την απόδειξη του $\lim_{\chi \rightarrow 0}\frac{\eta \mu \chi }{\chi }=1$ ;

Ευχαριστώ
Αθανασιάδης Κώστας

dement · #2

Απ' ό,τι έχω δει σε βιβλία προχωρημένης ανάλυσης, το ημίτονο ορίζεται ως η συνάρτηση $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ για την οποία ισχύει $f^{\prime \prime} = -f, f(0) = 0, f^{\prime} (0) = 1$ ενώ το συνημίτονο ως η συνάρτηση $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ για την οποία ισχύει $f^{\prime \prime} = -f, f(0) = 1, f^{\prime} (0) = 0$ .

(Ετσι, π.χ., το $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ αποτελεί πλέον μέρος του ορισμού του ημιτόνου).

Αφού αποδειχθεί ότι οι συναρτήσεις υπάρχουν και είναι μοναδικές (αναπτύσσοντάς τις ως σειρές Maclaurin), αποδεικνύεται και ότι το συνημίτονο είναι παράγωγος του ημιτόνου.

Δημήτρης Σκουτέρης

#3

Σε παλαιότερο ποστ (ίσως να ήταν στο παλαιό mathematica) είχα γράψει ότι υπάρχουν τουλάχιστον 12 διαφορετικοί ορισμοί των τριγωνομετρικών συναρτήσεων (και άλλοι τόσοι της εκθετικής και λογαριθμικής). Για το κάθε ορισμό υπάρχει και ο αντίστοιχος κατάλληλος ορισμός του π (και του e).

Αν ορίσουμε το ημίτονο όπως στο σχολικό, τότε δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε L' Hospital
για το όριο ημχ/χ. Με άλλους ορισμούς, μπορούμε.

Τα έχω γράψει αυτά και σε ένα άρθρο μου στο περιοδικό Φ (νομίζω τεύχος 5, τίτλος: Ερωτήσεις κρίσης κρυμμένα λάθη).

Ας προσθέσω ότι το τέρχον εξάμηνο διδάσκω στο μεταπτυχιακό "Μαθηματικά για την Εκπαίδευση" του Παν/μιου Κρήτης ένα μάθημα με τίτλο "Ανάλυση για την Εκπαίδευση". Σε αυτό θα αφιερώσω τουλάχιστον ένα δίωρο για τους πολλούς ορισμούς των τριγωνομετρικών, τις συνάφειές τους, τα πλεονεκτήματα ή μειονεκτήματα του καθενός και άλλα πολλά (π.χ. πώς φτάχνουμε και πώς φτάχναμε τριγωνομετρικούς και λογαριθμικούς πίνακες).

Φιλικά,

Μιχάλης

kost65 · #4

Κύριε Λάμπρου έχετε δίκιο , το θέμα το είχαμε συζητήσει και στο παλιό mathematica
απλώς δε μπόρεσα να βρω τα αρχεία. Αρα η απάντηση είναι οτι υπάρχει τέτοια απόδειξη..
Θα προσπαθήσω να βρω και το περιοδικό φ.

ευχαριστώ πολύ

Αθανασιάδης Κώστας

fotis.tsoukalas · #5

Με αφορμή την ερώτηση μιας μαθήτριάς μου θα ήθελα να ρωτήσω, αν ένας μαθητής της Γ Λυκείου έχει για παράδειγμα γράψει:
$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-cos{x}}{x^2}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{sin{x}}{2x}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{cos{x}}{2}=\dfrac{1}{2}$
θα πρέπει να το πάρουμε ως λάθος;
Ο μαθητής ήδη γνωρίζει από τη θεωρία του ότι $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{sin{x}}{x}=1,$ και ότι (sin{x})'=cos{x}

, οπότε το πρόβλημα της κυκλικότητας της απόδειξης ίσως να ξεπερνιέται από τη τη θεωρία του βιβλίου.
Ο προβληματισμός μου μεγάλωσε όταν το παραπάνω το είδα γραμμένο σε παράδειγμα του βιβλίου "Απειροστικός Λογισμός" (Νεγρεπόντης, Γιωτόπουλος, Γιαννακούλιας)

#6

Δείτε και την συζήτηση εδώ: viewtopic.php?f=52&t=6966

Κυκλικές αποδείξεις

Κυκλικές αποδείξεις

Re: Κυκλικές αποδείξεις

Re: Κυκλικές αποδείξεις

Re: Κυκλικές αποδείξεις

Re: Κυκλικές αποδείξεις

Re: Κυκλικές αποδείξεις

Μέλη σε σύνδεση