Aνισότητα σε τρίγωνο.

#1

Έστω ένα τρίγωνο ΑΒΓ με α>β. Να δείξετε ότι:
$\displaystyle{\displaystyle a + \upsilon _a \geqslant \beta + \upsilon _\beta }$ .
Κλασσική άσκηση , απο βιβλίο γεωμετρίας του Αντώνη Κυριακόπουλου.

#2

Έστω Ε το εμβαδόν του ΑΒΓ.

: ypsos.png (3.22 KiB) Προβλήθηκε 1796 φορές

Είναι: $E = \frac{{\alpha \cdot \upsilon _\alpha }}{2}\;\; \Leftrightarrow \;\;\upsilon _\alpha = \frac{{2{\rm E}}}{\alpha },\;\;\;E = \frac{{\beta \cdot \upsilon _\beta }}{2}\;\; \Leftrightarrow \;\;\upsilon _\beta = \frac{{2{\rm E}}}{\beta }$

Έστω ότι $\alpha + \upsilon _\alpha < \beta + \upsilon _\beta$

Τότε θα ήταν: $\alpha + \frac{{2{\rm E}}}{\alpha } < \beta + \frac{{2{\rm E}}}{\beta }\; \Leftrightarrow \alpha ^2 \beta + 2\beta {\rm E} < \alpha \beta ^2 + 2\alpha {\rm E}\; \Leftrightarrow \;\alpha \beta \left( {\alpha - \beta } \right) + 2{\rm E}\left( {\beta - \alpha } \right) < 0$
$\Leftrightarrow \;\;\left( {\alpha \beta - 2{\rm E}} \right)\left( {\alpha - \beta } \right) < 0\;\;\mathop \Leftrightarrow \limits_{\alpha > \beta } \;\;{\rm E} > \frac{{\alpha \beta }}{2}\;\; \Leftrightarrow \;\frac{{\beta \upsilon _\beta }}{2} > \frac{{\alpha \beta }}{2}\;\; \Leftrightarrow \;\upsilon _\beta > \alpha$ , αδύνατο,
αφού α υποτείνουσα του τριγώνου ΓΒΔ, με ΒΓ = α, ΒΔ = $\upsilon _\beta$ ,
οπότε είναι $\upsilon _\beta \le \alpha$ (το ίσον ισχύει όταν η γωνία Γ είναι ορθή).
Άρα $\alpha + \upsilon _\alpha \ge \beta + \upsilon _\beta$

Γιώργος Ρίζος

Προσθέτω ένα αρχείο sketchpad στο οποίο φαίνονται τα μήκη της α και του ύψους ΒΔ σε κάθε περίπτωση, για όποιον μαθητή (κι όχι μόνο) θα ήθελε να το δει (κινούμενο...)

#3

Άλλη μία με Νόμο Ημιτόνων:

Από νόμο Ημιτόνων είναι: $\frac{\alpha }{{\eta \mu {\rm A}}} = \frac{\beta }{{\eta \mu {\rm B}}} = \frac{\gamma }{{\eta \mu \Gamma }} = 2R$

Είναι επίσης $\upsilon _\alpha = \gamma \eta \mu {\rm B},\;\;\upsilon _\beta = \gamma \eta \mu {\rm A}$ ,

Έστω ότι $\alpha + \upsilon _\alpha < \beta + \upsilon _\beta$
οπότε $\alpha + \gamma \eta \mu {\rm B} < \beta + \gamma \eta \mu {\rm A}\; \Leftrightarrow \;\alpha + \frac{{\gamma \beta }}{{2R}} < \beta + \frac{{\gamma \alpha }}{{2R}}\; \Leftrightarrow \;\left( {\alpha - \beta } \right) + \frac{\gamma }{{2R}}\left( {\beta - \alpha } \right) < 0\; \Leftrightarrow$
$\left( {\alpha - \beta } \right)\left( {1 - \frac{\gamma }{{2R}}} \right) < 0\;\;\mathop \Leftrightarrow \limits_{\alpha > \beta } \;\gamma > 2R\;\; \Leftrightarrow \;\;2R\eta \mu \Gamma > 2R\;\; \Leftrightarrow \;\;\eta \mu \Gamma > 1$ , αδύνατο, οπότε $\alpha + \upsilon _\alpha \ge \beta + \upsilon _\beta$

Παρόμοια, αλλά ... διαφορετική.

Γιώργος Ρίζος

#4

: kyriak.PNG (15.7 KiB) Προβλήθηκε 1745 φορές

nicolae · #5

Ισοδύναμα είναι:
$\displaystyle a+u_{\alpha}\geq\beta+u_{\beta}\Leftrightarrow a+\frac{2E}{\alpha}\geq\beta+\frac{2E}{\beta}\Leftrightarrow (\alpha-\beta)(\alpha\beta-2E)\geq0,$ που ισχύει, αφού $\alpha>\beta$ και $\alpha\beta\geq\alpha\beta\eta\mu\Gamma=2E$

Aνισότητα σε τρίγωνο.

Aνισότητα σε τρίγωνο.

Re: Aνισότητα σε τρίγωνο.

Re: Aνισότητα σε τρίγωνο.

Re: Aνισότητα σε τρίγωνο.

Re: Aνισότητα σε τρίγωνο.

Μέλη σε σύνδεση