Σ-Λ

rhfannn · #1

Καλησπέρα!

Για κάθε x, y πραγματικούς αριθμούς ισχύει:

x^2 + y^2 = 0

=>

ή

Σωστό ή Λάθος;

#2

Σε ποιό σύνολο ανήκουν τα x,y;
Η ερώτηση δεν είναι σωστά διατυπωμένη.

rhfannn · #3

chris_gatos έγραψε:Σε ποιό σύνολο ανήκουν τα x,y;
Η ερώτηση δεν είναι σωστά διατυπωμένη.

σωστά! τη διόρθωσα..

#4

rhfannn έγραψε:Καλησπέρα!

Για κάθε x, y πραγματικούς αριθμούς ισχύει:

=> ή

Σωστό ή Λάθος;

Είναι σωστό, αν και, όπως γνωρίζουμε ισχύει, $\displaystyle{x=y=0.}$

Η διάζευξη δεν είναι αποκλειστική.

rhfannn · #5

|Συμφωνώ|!
Συμφωνώ απόλυτα δηλαδή!

Άνοιξα αυτό το θέμα, με αφορμή πολλά ΣΛ τέτοιου τύπου που κυκλοφορούν σε βιβλία, φυλλάδια ασκήσεων, διαγωνίσματα κλπ..
Mερικά παρόμοια που μπορώ να σκεφτώ/θυμηθώ:

$x^2<4 \Rightarrow x<2$

$|a|+|b|=0 \Rightarrow a=-b$

$|a|<2 \Rightarrow -2\leq a\leq 2$

όλα τα προηγούμενα είναι σωστά βεβαίως, όμως νομίζω ότι οι γράφοντες μάλλον είχαν υπόψι τους το "Λάθος" όταν τα έγραφαν, και αντίστοιχα πιθανώς διορθώνονται και από (μερικούς τουλάχιστον) καθηγητές σχολείων.
(Το αυτό ισχύει και σε πολλές ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής.)

Νασιούλας Αντώνης · #6

Ήθελα να ανοίξω ένα θέμα πάνω σε αυτό με αφορμή ένα σουλού που είχε πέσει στο διαγώνισμα του σχολείου...

$\lambda _{\vec{a}}=1\Rightarrow \vec{a}=(2,2)$

είναι σωστό ή λάθος?

Εγώ το είχα βάλει σωστό και ο καθηγητής μου το πήρε λάθος.

Η ερώτηση μου είναι η εξής -ελπίζω να την διατυπώσω σωστά:

Αν από μια πρόταση p συνεπάγονται άπειρες άλλες προτάσεις, τότε η συνεπαγωγή $p\Rightarrow q$ όπου q μια από αυτές τις άπειρες προτάσεις θεωρείται σωστή...

Στο παραπάνω ας πούμε π.χ. για το παραπάνω παράδειγμα $\lambda _{\vec{a}}=1\Rightarrow \vec{a}=(x,x), x\neq 0$

Το (2,2) είναι μια υποπερίπτωση αυτού. Θεωρείται σωστή η συνεπαγωγή ή όχι?

Ευχαριστώ,

ΥΓ. Την διατύπωση της ερώτησης μάλλον τη σκότωσα, ας επέμβει ο συνονόματός μου με τις ευλογίες μου

#7

matha έγραψε:
rhfannn έγραψε:Καλησπέρα!

Για κάθε x, y πραγματικούς αριθμούς ισχύει:

=> ή

Σωστό ή Λάθος;
Είναι σωστό, αν και, όπως γνωρίζουμε ισχύει, $\displaystyle{x=y=0.}$

Η διάζευξη δεν είναι αποκλειστική.

Επιβεβαιώνεται άλλωστε και με πίνακες αληθείας η

$[p\Longrightarrow(q\wedge r)]\Longrightarrow[p\Longrightarrow(q\vee r)]$

αλλά φυσικά και η

$[p\Longleftrightarrow(q\wedge r)]\Longrightarrow[p\Longrightarrow(q\vee r)]$

Γιώργος Μπαλόγλου

rhfannn · #8

Νασιούλας Αντώνης έγραψε:Ήθελα να ανοίξω ένα θέμα πάνω σε αυτό με αφορμή ένα σουλού που είχε πέσει στο διαγώνισμα του σχολείου...

$\lambda _{\vec{a}}=1\Rightarrow \vec{a}=(2,2)$

είναι σωστό ή λάθος?

Λάθος.
Απόδειξη:
Αντι-π.χ.: $\vec{a}=(1,1)$

Νασιούλας Αντώνης · #9

Καταλαβαίνω ότι το διάνυσμα (2,2) δεν είναι μοναδικό.

Θα θελα μια γενικότερη απάντηση στην ερώτηση που διατύπωσα -αν την διατύπωσα καλά...

mathxl · #10

Ίσως μια καλύτερη διατύπωση θα ήταν

Αν ένα διάνυσμα α έχει συντελεστή διεύθυνσης 1 τότε πάντα α=(2,2)

και είναι Λ

Αν θυμάμαι καλά το έχουμε συζητήσει στο φόρουμ αρκετές φορές.
Πρόκειται για προτασιακό τύπο (άλλοτε αληθής άλλοτε ψευδής) και όχι πρόταση
Η λέξη "πάντα" την κάνει να έχει μονοδική τιμή Ψ

slash · #11

Νασιούλας Αντώνης έγραψε:Ήθελα να ανοίξω ένα θέμα πάνω σε αυτό με αφορμή ένα σουλού που είχε πέσει στο διαγώνισμα του σχολείου...

$\lambda _{\vec{a}}=1\Rightarrow \vec{a}=(2,2)$

είναι σωστό ή λάθος?

Πιστεύω πως σε αυτύν την περίπτωση ισχύει αποκλειστικά και μόνο το $\Leftarrow$
Άλλωστε (κατά την γνώμη μου) το => υπονοεί έμμεσα ότι για να γνωρίζουμε ένα διάνυσμα αρκεί να ξέρουμε τον συντελεστή διέυθυνσης του που προφανώς είναι λάθος.

Κώστας

Νασιούλας Αντώνης · #12

mathxl έγραψε:Ίσως μια καλύτερη διατύπωση θα ήταν

Αν ένα διάνυσμα α έχει συντελεστή διεύθυνσης 1 τότε πάντα α=(2,2)

και είναι Λ

Αν θυμάμαι καλά το έχουμε συζητήσει στο φόρουμ αρκετές φορές.
Πρόκειται για προτασιακό τύπο (άλλοτε αληθής άλλοτε ψευδής) και όχι πρόταση
Η λέξη "πάντα" την κάνει να έχει μονοδική τιμή Ψ

Κύριε Βασίλη ακριβώς σε αυτό το σημείο υπάρχει η απορία μου.

Όταν έχουμε συνεπαγωγή σημαίνει τότε πάντα?

Να εκφράσω την απορία μου πως γίνεται να τίθενται ερωτήσεις τέτοιου τύπου όταν δεν έχουμε διδαχθεί ίχνος μαθηματικής λογικής...

mathxl · #13

Αντώνη, καλό είναι εμείς οι καθηγητές σας να είμαστε προσεκτικοί σε τέτοιες ερωτήσεις.
Κατα κανόνα όταν βάζουμε τέτοιες ερωτήσεις θέλουμε την ισχύ του συμπεράσματος να ισχύει καθολικά με την αλήθεια της δεδομένης υπόθεσης. Γιαυτό όταν βάζουμε προτασιακούς τύπους καλό είναι να αποφεύγουμε τα σύμβολα και να χρησιμοποιούμε λεξούλες, όπως το πάντα, για κάθε, κτλ ώστε να είναι πιο κατανοητό το τι ζητάμε να χαρακτηρίσετε.

Στο συγκεκριμένο Σ Λ δεν μπορούμε να πούμε ότι είναι Σ ούτε Λ, διότι αν α=(2,2) τότε Σ και αν α=(5,5) τότε Λ, για να πάμε σε συνεπάγεται (σύμβολο συνεπαγωγής) πρέπει να μην έχουμε προτασιακό τύπο που επιδέχεται ως απάντηση Σ ή Λ

Αυτό που πρέπει να κρατήσεις, αν σου ξανατύχει κάτι τέτοιο είναι ότι κατά κανόνα ζητάμε καθολική ισχύ...μια διατύπωση με λέξεις ενδείκνυται ως βέλτιστη και όχι με συνεπάγεται

Νασιούλας Αντώνης · #14

mathxl έγραψε:Αντώνη, καλό είναι εμείς οι καθηγητές σας να είμαστε προσεκτικοί σε τέτοιες ερωτήσεις.
Κατα κανόνα όταν βάζουμε τέτοιες ερωτήσεις θέλουμε την ισχύ του συμπεράσματος να ισχύει καθολικά με την αλήθεια της δεδομένης υπόθεσης. Γιαυτό όταν βάζουμε προτασιακούς τύπους καλό είναι να αποφεύγουμε τα σύμβολα και να χρησιμοποιούμε λεξούλες, όπως το πάντα, για κάθε, κτλ ώστε να είναι πιο κατανοητό το τι ζητάμε να χαρακτηρίσετε.

Στο συγκεκριμένο Σ Λ δεν μπορούμε να πούμε ότι είναι Σ ούτε Λ, διότι αν α=(2,2) τότε Σ και αν α=(5,5) τότε Λ, για να πάμε σε συνεπάγεται (σύμβολο συνεπαγωγής) πρέπει να μην έχουμε προτασιακό τύπο που επιδέχεται ως απάντηση Σ ή Λ

Αυτό που πρέπει να κρατήσεις, αν σου ξανατύχει κάτι τέτοιο είναι ότι κατά κανόνα ζητάμε καθολική ισχύ...μια διατύπωση με λέξεις ενδείκνυται ως βέλτιστη και όχι με συνεπάγεται

Μάλιστα, ευχαριστώ πολύ.

Ο καθηγητής δεν το είχε δώσει με συνεπαγωγή, το είχε δώσει με την φράση αν αυτό τότε εκείνο -που αν δεν κάνω λάθος είναι φράση συνεπαγωγής, γι αυτό το έδωσα εγώ έτσι.

Η λέξη πάντα πάντως δεν υπήρχε ούτε κάτι που να υποδείκνυε καθολικότητα.

Ευχαριστώ

#15

Ο Αντώνης Κυριακόπουλος μας έχει επισημάνει πολλές φορές ότι το

$\displaystyle{ \lambda _{\vec{a}}=1\Rightarrow \vec{a}=(2,2) }$

δεν είναι πρόταση αλλά προτασιακός τύπος. Εξαρτάται από την μεταβλητή $\vec{a}$ . Πιο συγκεκριμένα για κάθε $\vec{a} \in \mathbb{R}^2$ έχουμε μια πρόταση $P(\vec{a})$ . Κάποτε αυτή η πρόταση είναι ορθή και κάποτε λανθασμένη. Για παράδειγμα η πρόταση P((2,2))

είναι ορθή ενώ η πρόταση P((1,1))

είναι λανθασμένη. Η πρόταση P((2,1))

είναι επίσης ορθή. Επομένως δεν μπορούμε να μιλάμε για ορθότητα ή όχι του πιο πάνω τύπου.

Η σωστή ερώτηση θα ήταν να εξεταστεί αν το ακόλουθο είναι σωστό ή λάθος:

$\displaystyle{ \forall \vec{a} \in \mathbb{R}^2 \; (\lambda _{\vec{a}}=1\Rightarrow \vec{a}=(2,2)) }$

Το $\forall \vec{a} \in \mathbb{R}^2$ στην αρχή της πρότασης σημαίνει ότι το $P(\vec{a})$ ισχύει για όλες τις δυνατές τιμές της μεταβλητής $\vec{a}$ . Και αυτό είναι λανθασμένο αφού όπως έχουμε δει η πρόταση P((1,1))

είναι λανθασμένη.

Αν και αυστηρά δεν είναι σωστό να μιλάμε για σωστό ή λάθος στην περίπτωση που μας δοθεί το

$\displaystyle{ \lambda _{\vec{a}}=1\Rightarrow \vec{a}=(2,2) }$

(όπως έχεις δει μπορεί να δημιουργήσει παρανοήσεις ως προς την σημασία του κάτι που στα μαθηματικά θέλουμε να αποφεύγουμε) εν τούτοις συνηθίζεται να εννοείται το $\forall \vec{a} \in \mathbb{R}^2$ έστω και αν κάποτε δεν γράφεται.

Α.Κυριακόπουλος · #16

viewtopic.php?f=67&t=10950

Νασιούλας Αντώνης έγραψε:Ήθελα να ανοίξω ένα θέμα πάνω σε αυτό με αφορμή ένα σουλού που είχε πέσει στο διαγώνισμα του σχολείου...
$\lambda _{\vec{a}}=1\Rightarrow \vec{a}=(2,2)$
είναι σωστό ή λάθος?
Εγώ το είχα βάλει σωστό και ο καθηγητής μου το πήρε λάθος.
Η ερώτηση μου είναι η εξής -ελπίζω να την διατυπώσω σωστά:
Αν από μια πρόταση p συνεπάγονται άπειρες άλλες προτάσεις, τότε η συνεπαγωγή $p\Rightarrow q$ όπου q μια από αυτές τις άπειρες προτάσεις θεωρείται σωστή...
Στο παραπάνω ας πούμε π.χ. για το παραπάνω παράδειγμα $\lambda _{\vec{a}}=1\Rightarrow \vec{a}=(x,x), x\neq 0$
Το (2,2) είναι μια υποπερίπτωση αυτού. Θεωρείται σωστή η συνεπαγωγή ή όχι?
Ευχαριστώ,
ΥΓ. Την διατύπωση της ερώτησης μάλλον τη σκότωσα, ας επέμβει ο συνονόματός μου με τις ευλογίες μου

Αντώνη. Έχω γράψει πάρα πολλές φορές για το θέμα αυτό εδώ στο mathematica. Έχω τονίσει επανειλημμένα ότι πρέπει να είμαστε πολύ προσεκτικοί στην κατασκευή τέτοιων θεμάτων, γιατί η ερώτηση πρέπει να είναι τέτοια ώστε να επιδέχεται μονοσήμαντη απάντηση. Με άλλα λόγια, στα θέματα αυτά, πρέπει να διατυπώνουμε μια πρόταση και να ζητάμε να μας πουν αν είναι αληθής(Σωστό) ή ψευδής (Λάθος). Αν αυτό που ρωτάμε, είτε το γράφουμε συμβολικά είτε όχι, άλλοτε είναι σωστό και άλλοτε είναι λάθος, οπότε βεβαίως δεν πρόκειται για μια πρόταση, Τι θα πρέπει να απαντήσουν οι μαθητές;
Αντώνη, η ερώτηση που έθεσε ο καθηγητής σου, άλλοτε είναι σωστή και άλλοτε είναι λάθος. Και άρα δεν έχει μονοσήμαντη απάντηση. Το θέμα είναι λανθασμένο. Δυστυχώς τέτοια λανθασμένα θέματα έχουν τεθεί και στις Πανελλήνιες Εξετάσεις. Τα δύο τελευταία χρόνια προσέχουν περισσότερο κατόπιν των παρεμβάσεων που έχω κάνει.
• Στο συνέδριο της Ε.Μ.Ε. στην Χαλκίδα (19,20,21 Νοεμβρίου) το θέμα της εισήγησης που έκανα είναι : «ΠΟΣΟΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ» ( βλέπε Εδώ )
• Για να σου εξηγήσω περισσότερο( αφού μου το ζήτησες με Π. Μ. ), η έκφραση:
«Αν ${\lambda _{\overrightarrow \alpha }} = 1$ , τότε $\overrightarrow \alpha = (2,2)$ » (1)
είναι ένας προαστιακός τύπος με μια μεταβλητή $\overrightarrow \alpha$ που ανήκει στο σύνολο των διανυσμάτων ενός Καρτεσιανού επιπέδου, έστω $\overrightarrow {\rm E}$ . Η έκφραση αυτή για άλλα διανύσματα $\overrightarrow \alpha$ γίνεται μια πρόταση αληθής και για άλλα μια πρόταση ψευδής ( η ίδια η έκφραση δεν είναι μια πρόταση). Αν όμως δεσμεύσουμε την μεταβλητή $\overrightarrow \alpha$ με έναν ποσοδείκτη « $\forall$ (για κάθε)» ή « $\exists$ (υπάρχει)», τότε γίνεται μια πρόταση και έχει μια μοναδική τιμή αληθείας. Έτσι έχουμε τις δύο προτάσεις ( τις οποίες γράφω συμβολικά για ευκολία):

$\exists \overrightarrow \alpha \in \overrightarrow {{\rm E},} {\rm{ }}$ ${\lambda _{\overrightarrow \alpha }} = 1 \Rightarrow \overrightarrow \alpha = (2,2)$ ( αληθή) (2)

$\forall \overrightarrow \alpha \in \overrightarrow {{\rm E},} {\rm{ }}$ ${\lambda _{\overrightarrow \alpha }} = 1 \Rightarrow \overrightarrow \alpha = (2,2)$ (ψευδής) (3)

Το θέμα θα ήταν σωστό αν σας το είχε δώσει υπό τη μορφή (2) ή (3) ( όχι κατ' ανάγκην με σύμβολα) ( βλ. περισσότερα στον παραπάνω σύνδεσμο).
Φιλικά.

Υ.Γ.
Για το άλλο θέμα που μου λες στο Π. Μ. θα σου απαντήσω, αλλά δεν ξέρω αν έχω το σωστό e-mail σου.

Σ-Λ

Σ-Λ

Re: Σ-Λ

Re: Σ-Λ

Re: Σ-Λ

Re: Σ-Λ

Re: Σ-Λ

Re: Σ-Λ

Re: Σ-Λ

Re: Σ-Λ

Re: Σ-Λ

Re: Σ-Λ

Re: Σ-Λ

Re: Σ-Λ

Re: Σ-Λ

Re: Σ-Λ

Re: Σ-Λ

Μέλη σε σύνδεση