Ανισότητα με συνημίτονα

#1

Έστω τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ . Είναι γνωστό ότι ισχύει

$\displaystyle{\cos A+\cos B+\cos C\leq \frac{3}{2}.}$

Να αποδειχθεί, ότι ισχύει

$\displaystyle{\cos nA+\cos nB+\cos nC\leq \frac{3}{2},}$

όπου $\displaystyle{n}$ περιττός.

paulgai · #2

Η παρακάτω λύση χρησιμοποιεί πιο προχωρημένα εργαλεία.
Δεν κατάφερα να βρω μια πιο στοιχειώδη λύση, άρα ουσιαστικά
η άσκηση παραμένει ανοιχτή για λύση με τεχνικές λυκείου.

Για

περιττό θα έχουμε:

$cos\left ( nA \right )+cos\left ( nB \right )+cos\left ( nC \right )=\\ cos\left ( nA \right )+cos\left ( nB \right )+cos\left ( n\pi -n\left (A+B \right )\right ) \right )=\\ cos\left ( nA \right )+cos\left ( nB \right )+cos\left ( 2m\pi+\pi \right-n\left (A+B \right ) )=\\ cos\left ( nA \right )+cos\left ( nB \right )-cos\left ( nA+nB).$

Αρκεί επομένως να μελετήσουμε, ως προς τη μονοτονία, τη συνάρτηση:

$f\left ( x,y \right )=cos\left ( nx \right )+cos\left ( ny \right )-cos\left ( nx+ny).$

Βρίσκουμε τα κρίσιμα σημεία λύνοντας το σύστημα:

$\left\{\begin{matrix} \frac{\partial f}{\partial x}=0 \\ \frac{\partial f}{\partial y}=0 \end{matrix}\right\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \sin\left ( nx \right )=sin\left ( nx+ny \right ) \\ \sin\left ( ny \right )=sin\left ( nx+ny \right ) \end{matrix}\right\Rightarrow \left\{\begin{matrix} nx=k_{1}\pi \\ ny=k_{2}\pi \end{matrix}\right \; \; \acute{\eta} \;\; \left\{\begin{matrix} nx=\frac{2k_{1}\pi+\pi}{3} \\ ny=\frac{2k_{2}\pi+\pi}{3} \end{matrix}\right\\k_{1},k_{2}\in\mathbb{Z}.$

Η ορίζουσα του κριτηρίου 2ης παραγώγου θα είναι:

$D\left ( x,y \right )=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}-\left ( \frac{\partial }{\partial x} \left (\frac{\partial f}{\partial y} \right )\right )^{2}=\\ n^{4}\left ( cos\left ( nx+ny \right )-cos\left ( nx \right ) \right )\left (cos\left ( nx+ny \right )-cos\left ( ny \right) \right)-n^{4}cos^{2}\left ( nx+ny \right ).$

Εύκολα μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι η

παρουσιάζει τοπικά μέγιστα στα σημεία:

$nx=\frac{2k_{1}\pi+\pi}{3},\, ny=\frac{2k_{2}\pi+\pi}{3}$

με

$k_{i}\equiv 0\left (mod3 \right )\, \acute{\eta }\,\,k_{i}\equiv 2\left (mod3 \right ).$

Σε όλα τα παραπάνω σημεία που η

παρουσιάζει τοπικά μέγιστα,
η μέγιστη τιμή είναι το 3/2

και επειδή η

είναι προφανώς φραγμένη προκύπτει ότι:

$f\left ( x,y \right )\leq \frac{3}{2}\, \, \,\, \, \forall x,y\in\mathbb{R}.$

kalagz · #3

Βρηκα κατι κι εγω αλλα ειναι πιο "προχωρημενο" απο τη λυση του paulgai.
Η ανισοτητα Klamkin :
Για x,y,z πραγματικους, α,β,γ γωνιες τριγωνου και n θετικο ακεραιο ισχυει
$x^2+y^2+z^2 \ge (-1)^{n+1}2(yzcosn\alpha+zxcosn\beta+xycos\gamma)$

Ετσι αν παρουμε x=y=z=1 και ν περιττο προκυπτει αμεσως το ζητουμενο!
Ειχα δουλεψει αυτο το θεμα παλιοτερα αλλα οταν βρηκα αυτο μπορω να πω οτι γελασα

#4

kalagz έγραψε:Βρηκα κατι κι εγω αλλα ειναι πιο "προχωρημενο" απο τη λυση του paulgai.
Η ανισοτητα Klamkin :
Για x,y,z πραγματικους, α,β,γ γωνιες τριγωνου και n θετικο ακεραιο ισχυει
$x^2+y^2+z^2 \ge (-1)^{n+1}2(yzcosn\alpha+zxcosn\beta+xycos\gamma)$

Ετσι αν παρουμε x=y=z=1 και ν περιττο προκυπτει αμεσως το ζητουμενο!
Ειχα δουλεψει αυτο το θεμα παλιοτερα αλλα οταν βρηκα αυτο μπορω να πω οτι γελασα

Ακριβώς!

Ωστόσο, διαφωνώ ότι είναι πιο προχωρημένο. Ουσιαστικά, η ανισότητα Klamkin βασίζεται σε ιδιότητες του τριωνύμου.
Θα έλεγα ότι η εύρεση ακροτάτων συναρτήσεων πολλών μεταβλητών είναι πιο προχωρημένη.
Βέβαια, το πως θα χρησιμοποιηθεί ''σωστά'' η ανισότητα Klamkin, είναι μια άλλη ιστορία.

kalagz · #5

Δεν εχετε αδικο αλλα ισως ειναι πιο πιθανο καποιος να ξερει να δουλεψει με συναρτησεις παρα να γνωριζει μια ανισοτητα οπως του klamkin. Βεβαια δεν τιθεται θεμα οτι η λυση του paulgai ειναι εξαιρετικη και οντως πολυ προχωρημενη.

dement · #6

Μια άλλη λύση :

Ισχύει $nA + nB + nC = n \pi$ . Θέτουμε $a = nA - 2 k_a \pi, b = nB - 2 k_B \pi, c = nC - 2 k_C \pi$ με $k_a, k_b, k_c \in \mathbb{Z}$ έτσι ώστε $\displaystyle \{ a, b, c \} \subseteq \left( - \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2} \right]$ .

Η σχέση ισχύει αν δύο από τα συνημίτονα είναι ίσα. Πράγματι, $2 \cos a + cos (n \pi - 2a ) = 2 \cos a + 1 - 2 \cos ^2 a \leq 3/2 \ (1)$ .

Ισχύει επίσης αν ένα από τα συνημίτονα μηδενιστεί. Πράγματι, $\displaystyle \cos a + \cos \left( \frac{(2k+1) \pi}{2} - a \right) \leq |\cos a| + |\sin a| \leq \sqrt{2} < 3/2 \ (2)$ .

Περιπτώσεις :

1. Αν $\displaystyle a,b,c \in \left( \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2} \right]$ προφανώς ισχύει (όλα τα συνημίτονα είναι αρνητικά).
2. Αν τουλάχιστον δύο από τα a,b,c

ανήκουν στο $\displaystyle \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]$ όπου το συνημίτονο ειναι κοίλο, η περίπτωση ανάγεται στην (1)

(τα 'πλησιάζουμε').
3. Αν ακριβώς δύο από τα a,b,c

ανήκουν στο $\displaystyle \left( \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2} \right]$ όπου το συνημίτονο ειναι κυρτό, η περίπτωση ανάγεται είτε στην (1)

είτε στην

(τα 'απομακρύνουμε').

Δημήτρης Σκουτέρης

Ανισότητα με συνημίτονα

Ανισότητα με συνημίτονα

Re: Ανισότητα με συνημίτονα

Re: Ανισότητα με συνημίτονα

Re: Ανισότητα με συνημίτονα

Re: Ανισότητα με συνημίτονα

Re: Ανισότητα με συνημίτονα

Μέλη σε σύνδεση