Επόμενο χαρτί κόκκινο

#1

Τι ποσό είσαστε διατεθιμένοι να πληρώσετε για να παίξετε στο ακόλουθο παιγνίδι;

Κάποιος ανακατεύει μια κανονική τράπουλα (52 χαρτιά, 26 κόκκινα και 26 μαύρα). Μετά αρχίζει να εμφανίζει τα χαρτιά ένα ένα. Σε κάποια στιγμή δικαιούστε να του πείτε να σταματήσει. Αν το επόμενο χαρτί είναι κόκκινο κερδίζετε 10 ευρώ αλλιώς δεν κερδίζετε τίποτα. (Φυσικά αν δεν του πείτε να σταματήσει τότε πάλι δεν κερδίζετε τίποτα.)

Επειδή υπάρχει προφανής στρατηγική που δίνει 50% πιθανότητα να κερδίσετε (περιμένετε να γυριστούν τα πρώτα 51 χαρτιά και μετά λέτε στοπ) οποιεσδήποτε προσφορές κάτω τον 5 ευρώ σίγουρα θα απορριφθούν.

coyote · #2

Εγώ πάλι δε θα 'δινα ούτε λεπτό παραπάνω από 5€

Κάθε φάση του παιχνιδιού καθορίζεται από ένα ζεύγος (r, b), όπου r το πλήθος των κόκκινων χαρτιών που απομένουν και b το πλήθος των μαύρων.
Η κατάσταση (0,0)

δεν είναι επιτρεπτή.
Ορίζω επίσης s=r+b

, το συνολικό πλήθος των χαρτιών που απομένουν.

Θα συμβολίζω για συντομία $p = p(r,b) = \frac{r}{r+b}= \frac{r}{s}$ , την πιθανότητα το επόμενο χαρτί να είναι κόκκινο

* Όπου εμφανίζονται τα p,s παρακάτω σαν μεμονωμένα σύμβολα, θα θεωρούνται ότι είναι συναρτήσεις του ζεύγους (r,b)

Ορίζω τις συναρτήσεις:
A(r, b)

= {το αναμενόμενο κέρδος, σε περίπτωση που θα επιλέξω να σταματήσω}
B(r, b)

= {το αναμενόμενο κέρδος, σε περίπτωση που θα επιλέξω να συνεχίσω}
Το κέρδος μετράται σε 10ευρα
Ορίζω επίσης τη συνάρτηση $M(r, b) = max\{A(r,b), B(r,b)\}$ , που θα δίνει βέλτιστο το αναμενόμενο κέρδος

Προφανώς είναι A(r, b) = p

, αφού, αν σταματήσω, τότε με πιθανότητα p κερίζω 1 δεκάευρο

Ας υποθέσουμε τώρα ότι είμαστε στην κατάσταση (r,b)

και επιλέγω να συνεχίσω. Στη γενική περίπτωση (όπου rb>0) έχουμε:

Με πιθανότητα p το επόμενο χαρτί είναι κόκκινο, επομένως πάμε σε κατάσταση
Με πιθανότητα 1-p το επόμενο χαρτί είναι μαύρο, επομένως πάμε σε κατάσταση

Από τα παραπάνω προκύπτει ο αναδρομικός τύπος για το B:

$\boxed{B(r,b) = p\cdot M(r-1,b)+(1-p)\cdot M(r,b-1)} \ \ (1)$ , όπου rb>0

Οριακές περιπτώσεις
Σ΄αυτές ανήκουν όλες οι περιπτώσεις για τις οποίες rb=0 (την περίπτωση r=b=0

όμως την έχουμε απορρίψει εξαρχής)
Αν έχουν μείνει μόνο μαύρα χαρτιά, θα χάσω σίγουρα επομένως $B(0,b)=0, \ \forall b$
Αν έχουν μείνει μόνο κόκκινα χαρτιά, θα κερδίσω σίγουρα επομένως $B(r,0)=1, \ \forall r$

Για τις οριακές περιπτώσεις προκύπτουν και οι
$M(0,b)=0, \ \forall b$
$M(r,0)=1, \ \forall r$
________________________________________________

Θα αποδείξω με επαγωγή ότι, για κάθε (r,b)

είναι $\boxed{M(r,b) = p(r,b)} \ \ (2)$ . Η επαγωγή θα γίνει πάνω στο πλήθος s των χαρτιών που απομένουν
Αρχικά παρατηρούμε ότι, όλες οι οριακές περιπτώσεις ικανοποιούν τη (2)

Για θα είναι
- είτε οριακή περίπτωση επομένως ισχύει
- ή οριακή περίπτωση
Επομένως για ισχύει
Υποθέτω ότι ισχύει για το φυσικό , δηλαδή με , ισχύει
Έστω μία κατάσταση με .
1. Αν τότε έχουμε οριακή περίπτωση
2. Αν ομοίως
3. Για κάθε άλλη περίπτωση θα έχουμε:
  $B(r,b) = p\cdot M(r-1,b)+(1-p)\cdot M(r,b-1)\Rightarrow$
  
  $B(r,b) = \frac{r}{s}\cdot M(r-1,b)+(\frac{b}{s}\cdot M(r,b-1)\Rightarrow$
  
  $B(r,b) = \frac{r}{s}\cdot \frac{r-1}{s-1}+\frac{b}{s}\cdot \frac{r}{s-1}\Rightarrow$
  
  $B(r,b) = \frac{r(r-1+b)}{s(s-1)}=\frac{r}{s}=p(r,b)$
και τελικά

επομένως, το αναμενόμενο κέρδος, ξεκινώντας από οποιαδήποτε κατάσταση με r=b

θα είναι $M(r,r) = \frac{r}{2r} = 0.5$

Θα έδινα περισσότερα λεφτά μόνο αν το παιχνίδι άρχιζε από μία κατάσταση (r,b)

με

Παρατηρήσεις

Αρχικά είχα κάνει λάθος στον αναδρομικό τύπο της B και έβγαζα αναμενόμενο κέρδος λίγο πάνω από αλλά τελικά δυστυχώς βγαίνει .
Δεν ξέρω, έχω και πάλι λάθος? Έπρεπε να βγει κάτι άλλο?
Ελπίζω ότι η προσφορά μου δε θα απορριφθεί αφού δεν είναι μικρότερη των 5€

#3

coyote ευχαριστώ που το ξέθαψες. Το είχα ξεχάσει τελείως. Η απάντησή σου είναι σωστή και πράγματι για να είναι το παιγνίδι δίκαιο πρέπει να πληρώσεις ακριβώς 5€.

Υπάρχει μια πολύ κομψή λύση (λίγων μόνο γραμμών) που αποφεύγει την εύρεση και λύση του αναδρομικού τύπου. Θα περιμένω όμως ακόμη λίγο προτού την βάλω.

mathxl · #4

coyote έγραψε:Εγώ πάλι δε θα 'δινα ούτε λεπτό παραπάνω από 5€

Κάθε φάση του παιχνιδιού καθορίζεται από ένα ζεύγος (r, b), όπου r το πλήθος των κόκκινων χαρτιών που απομένουν και b το πλήθος των μαύρων.
Η κατάσταση δεν είναι επιτρεπτή.
Ορίζω επίσης , το συνολικό πλήθος των χαρτιών που απομένουν.

Θα συμβολίζω για συντομία $p = p(r,b) = \frac{r}{r+b}= \frac{r}{s}$ , την πιθανότητα το επόμενο χαρτί να είναι κόκκινο

* Όπου εμφανίζονται τα p,s παρακάτω σαν μεμονωμένα σύμβολα, θα θεωρούνται ότι είναι συναρτήσεις του ζεύγους

Ορίζω τις συναρτήσεις:
= {το αναμενόμενο κέρδος, σε περίπτωση που θα επιλέξω να σταματήσω}
= {το αναμενόμενο κέρδος, σε περίπτωση που θα επιλέξω να συνεχίσω}
Το κέρδος μετράται σε 10ευρα
Ορίζω επίσης τη συνάρτηση $M(r, b) = max\{A(r,b), B(r,b)\}$ , που θα δίνει βέλτιστο το αναμενόμενο κέρδος

Προφανώς είναι , αφού, αν σταματήσω, τότε με πιθανότητα p κερίζω 1 δεκάευρο

Ας υποθέσουμε τώρα ότι είμαστε στην κατάσταση και επιλέγω να συνεχίσω. Στη γενική περίπτωση (όπου rb>0) έχουμε:

Με πιθανότητα p το επόμενο χαρτί είναι κόκκινο, επομένως πάμε σε κατάσταση

Με πιθανότητα 1-p το επόμενο χαρτί είναι μαύρο, επομένως πάμε σε κατάσταση
Από τα παραπάνω προκύπτει ο αναδρομικός τύπος για το B:

$\boxed{B(r,b) = p\cdot M(r-1,b)+(1-p)\cdot M(r,b-1)} \ \ (1)$ , όπου

Οριακές περιπτώσεις
Σ΄αυτές ανήκουν όλες οι περιπτώσεις για τις οποίες rb=0 (την περίπτωση όμως την έχουμε απορρίψει εξαρχής)
Αν έχουν μείνει μόνο μαύρα χαρτιά, θα χάσω σίγουρα επομένως $B(0,b)=0, \ \forall b$
Αν έχουν μείνει μόνο κόκκινα χαρτιά, θα κερδίσω σίγουρα επομένως $B(r,0)=1, \ \forall r$

Για τις οριακές περιπτώσεις προκύπτουν και οι
$M(0,b)=0, \ \forall b$
$M(r,0)=1, \ \forall r$
________________________________________________

Θα αποδείξω με επαγωγή ότι, για κάθε είναι $\boxed{M(r,b) = p(r,b)} \ \ (2)$ . Η επαγωγή θα γίνει πάνω στο πλήθος s των χαρτιών που απομένουν
Αρχικά παρατηρούμε ότι, όλες οι οριακές περιπτώσεις ικανοποιούν τη

Για θα είναι

είτε οριακή περίπτωση επομένως ισχύει

ή οριακή περίπτωση
Επομένως για ισχύει

Υποθέτω ότι ισχύει για το φυσικό $n\geq 1$ , δηλαδή $\forall (r_0,b_0)$ με , ισχύει
Έστω μία κατάσταση με .

Αν τότε έχουμε οριακή περίπτωση

Αν ομοίως

Για κάθε άλλη περίπτωση θα έχουμε:
$B(r,b) = p\cdot M(r-1,b)+(1-p)\cdot M(r,b-1)\Rightarrow$

$B(r,b) = \frac{r}{s}\cdot M(r-1,b)+(\frac{b}{s}\cdot M(r,b-1)\Rightarrow$

$B(r,b) = \frac{r}{s}\cdot \frac{r-1}{s-1}+\frac{b}{s}\cdot \frac{r}{s-1}\Rightarrow$

$B(r,b) = \frac{r(r-1+b)}{s(s-1)}=\frac{r}{s}=p(r,b)$
και τελικά $M(r,b) = max\{p(r,b), p(r,b)\} = p(r,b)$
επομένως, το αναμενόμενο κέρδος, ξεκινώντας από οποιαδήποτε κατάσταση με θα είναι $M(r,r) = \frac{r}{2r} = 0.5$

Θα έδινα περισσότερα λεφτά μόνο αν το παιχνίδι άρχιζε από μία κατάσταση με

Παρατηρήσεις
Αρχικά είχα κάνει λάθος στον αναδρομικό τύπο της B και έβγαζα αναμενόμενο κέρδος λίγο πάνω από αλλά τελικά δυστυχώς βγαίνει .

Δεν ξέρω, έχω και πάλι λάθος? Έπρεπε να βγει κάτι άλλο?

Ελπίζω ότι η προσφορά μου δε θα απορριφθεί αφού δεν είναι μικρότερη των 5€

Ωραία μορφοποίηση δημοσίευσης, με εσοχές κτλ και ευπαρουσίαστη

#5

Εκτός από την λύση του coyote υπάρχει και η ακόλουθη πιο σύντομη λύση:

Ας θυμηθούμε τους κανονισμούς του παιγνιδιού «Επόμενο χαρτί κόκκινο»

Κάποιος ανακατεύει μια κανονική τράπουλα (52 χαρτιά, 26 κόκκινα και 26 μαύρα). Μετά αρχίζει να εμφανίζει τα χαρτιά ένα ένα. Σε κάποια στιγμή δικαιούστε να του πείτε να σταματήσει. Αν το επόμενο χαρτί είναι κόκκινο κερδίζετε 10 ευρώ αλλιώς δεν κερδίζετε τίποτα. (Φυσικά αν δεν του πείτε να σταματήσει τότε πάλι δεν κερδίζετε τίποτα.)

Ας το αλλάξουμε τώρα στο παιγνίδι «Τελευταίο χαρτί κόκκινο».

Κάποιος ανακατεύει μια κανονική τράπουλα (52 χαρτιά, 26 κόκκινα και 26 μαύρα). Μετά αρχίζει να εμφανίζει τα χαρτιά ένα ένα. Σε κάποια στιγμή δικαιούστε να του πείτε να σταματήσει. Αν το τελευταίο χαρτί είναι κόκκινο κερδίζετε 10 ευρώ αλλιώς δεν κερδίζετε τίποτα. (Φυσικά αν δεν του πείτε να σταματήσει τότε πάλι δεν κερδίζετε τίποτα.)

Προφανώς σε αυτό το παιγνίδι έχετε 50% πιθανότητα να κερδίσετε. (Υποθέτουμε πως σε κάποιο σημείο θα του πείτε να σταματήσει.) Πως συνδέονται τα δυο παιγνίδια μεταξύ τους; Αφού η τράπουλα έχει ανακατευτεί, σε οποιοδήποτε σημείο του παιγνιδιού η πιθανότητα το επόμενο χαρτί να είναι κόκκινο ισούται με την πιθανότητα το επόμενο χαρτί να είναι κόκκινο. Άρα και στο αρχικό παιγνίδι η πιθανότητα να κερδίσετε είναι 50% ανεξάρτητα στρατηγικής!

Επόμενο χαρτί κόκκινο

Επόμενο χαρτί κόκκινο

Re: Επόμενο χαρτί κόκκινο

Re: Επόμενο χαρτί κόκκινο

Re: Επόμενο χαρτί κόκκινο

Re: Επόμενο χαρτί κόκκινο

Μέλη σε σύνδεση