Γεωμετρία

solon28 · #1

Κύριοι συνάδελφοι,
Δίνω μια άσκηση γεωμετρίας που ενώ φαίνεται εύκολη τελικά είναι λίγο μπέρδεμα:

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, Β=90°.Φέρνουμε το ύψος ΒΘ που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ΑΓ. Από το Θ φέρνουμε την ΘΕ κάθετη στην ΒΓ και την ΘΔ κάθετη στην ΑΒ. Έπειτα από το Ε φέρνουμε την ΕΗ κάθετη στην ΑΓ και από το Δ φέρνουμε την ΔΖ κάθετη στην ΑΓ. Να αποδείξετε ότι ΖΘ = ΘΗ.

(Έχω επισυνάψει αρχείο με το σχήμα!)

Μπορεί κάποιος να βοηθήσει στη λύση της;
Ευχαριστώ.

#2

Επειδή $\stackrel{\triangle}{\rm{\Delta{Z}\Theta}}\ \sim\ \stackrel{\triangle}{\rm{B\Delta\Theta}}\ =\ \stackrel{\triangle}{\rm{B\Theta{E}}}\ \sim\ \stackrel{\triangle}{\rm{E\Theta{H}}}$ , ισχύουν $\displaystyle{\frac{\overline{\rm{Z\Theta}}}{\overline{\rm{B\Delta}}}}={\frac{\overline{\rm{\Delta\Theta}}}{\overline{\rm{B\Theta}}}}$ (1) , $\displaystyle{\frac{\overline{\rm{H\Theta}}}{\overline{\rm{BE}}}}={\frac{\overline{\rm{E\Theta}}}{\overline{\rm{B\Theta}}}}$ (2) καί $\displaystyle\frac{\overline{\rm{B\Delta}}}{\overline{\rm{E\Theta}}}=\frac{\overline{\rm{\Delta\Theta}}}{\overline{\rm{BE}}}=1$ (3).

Διαιρώντας κατά μέλη τίς (1) καί (2) προκύπτει $\displaystyle\frac{{\overline{\rm{Z\Theta}}}\cdot{\overline{\rm{BE}}}}{{\overline{\rm{B\Delta}}}\cdot{\overline{\rm{H\Theta}}}}={\frac{\overline{\rm{\Delta\Theta}}}{\overline{\rm{E\Theta}}}}$ $\Leftrightarrow$ $\displaystyle{\frac{\overline{\rm{Z\Theta}}}{\overline{\rm{H\Theta}}}}=\frac{{\overline{\rm{B\Delta}}}\cdot{\overline{\rm{\Delta\Theta}}}}{{\overline{\rm{BE}}}\cdot{\overline{\rm{E\Theta}}}}\stackrel{(3)}{=}1$ $\Leftrightarrow$ ${\overline{\rm{Z\Theta}}}={\overline{\rm{H\Theta}}}$ .

#3

Με κάθε σεβασμό στον Γρηγόρη Κωστάκο, δίνω μία ακόμα λύση στην άσκηση, μέσω της οποίας οι μαθητές μπορούν να κάνουν ένα διαφορετικό "γεωμετρικό περίπατο".

Φέρνω τη ΔΕ. Έστω Μ σημείο τομής των διαγωνίων ΒΘ, ΔΕ του ορθογωνίου παραλληλογράμμου ΒΔΘΕ.
Τότε Μ μέσο ΔΕ.
Αφού ΜΘ κάθετη στη ΖΗ, είναι διάμεσος του τραπεζίου ΔΖΗΕ, οπότε ΖΘ =ΗΘ.

Γιώργος Ρίζος

Πολλές ιδέες, δηλαδή νέες (ίσως) ασκήσεις προκύπτουν από τις διαφορετικές επεξεργασίες.

#4

Άλλες λύσεις:

1) Αφού τα τρίγωνα ΒΘΔ, ΒΘΗ είναι ίσα, έπεται ότι το ύψος από το Δ του πρώτου είναι ίσο με το ύψος από το Ε του δεύτερου. Αλλά τα ύψη αυτά είναι ίσα με ΖΘ, και ΗΘ αντίστοιχα. ο.ε.δ.

2) χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι υπάρχουν πολλές ίσες γωνίες. Π.χ. <ΔΘΑ = <Γ και λοιπά. Αρχίζοντας από το ορθογώνιο τρίγωνο ΖΘΔ έχουμε
ΖΘ = ΔΘσυνΓ = ΑΘημΑσυνΓ = γημΓημΑσυνΓ= βσυνΑημΓημΑσυνΓ και όμοια η ΗΘ.

Υπάρχουν πολλοί ακόμα τρόποι, καθαρά Γεωμετρικοί ή Τριγωνομετρικοί ή με Αναλυτική.

Φιλικά

Μιχάλης Λάμπρου.

k-ser · #5

Η άσκηση είναι μια πολύ καλή εφαρμογή του τύπου της προβολής διανύσματος.
Δίνω την παρακάτω διανυσματική λύση.
Με την βοήθεια του τύπου: $\overrightarrow \alpha \overrightarrow \beta = \overrightarrow \alpha \cdot \pi \rho o\beta _{\overrightarrow \alpha } \overrightarrow \beta$
Έστω
$\begin{array}{l} \overrightarrow {\Theta {\rm Z}} = \overrightarrow \alpha \\ \overrightarrow {\Theta {\rm H}} = \overrightarrow \beta \\ \end{array}$
Έχουμε:

$\begin{array}{l} \left( {\overrightarrow \alpha - \overrightarrow \beta } \right) \cdot \overrightarrow {\Theta {\rm B}} = 0 \Leftrightarrow \\ \left( {\overrightarrow \alpha - \overrightarrow \beta } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {\Theta {\rm E}} + \overrightarrow {\Theta \Delta } } \right) = 0 \Leftrightarrow \\ \overrightarrow \alpha \cdot \overrightarrow {\Theta {\rm E}} + \overrightarrow \alpha \cdot \overrightarrow {\Theta \Delta } - \overrightarrow \beta \cdot \overrightarrow {\Theta {\rm E}} - \overrightarrow \beta \cdot \overrightarrow {\Theta \Delta } = 0 \Leftrightarrow \\ \end{array}$

$\overrightarrow \alpha \cdot \pi \rho o\beta _{\overrightarrow \alpha } \overrightarrow {\Theta {\rm E}} + \overrightarrow \alpha \cdot \pi \rho o\beta _{\overrightarrow \alpha } \overrightarrow {\Theta \Delta } - \overrightarrow \beta \cdot \pi \rho o\beta _{\overrightarrow \beta } \overrightarrow {\Theta {\rm E}} - \overrightarrow \beta \cdot \pi \rho o\beta _{\overrightarrow \beta } \overrightarrow {\Theta \Delta } = 0 \Leftrightarrow$

$\overrightarrow \alpha \cdot \overrightarrow \beta + \overrightarrow \alpha ^2 - \overrightarrow \beta ^2 - \overrightarrow \beta \cdot \overrightarrow \alpha = 0 \Leftrightarrow$
$\begin{array}{l} \overrightarrow \alpha ^2 = \overrightarrow \beta ^2 \Leftrightarrow \\ \left| {\overrightarrow \alpha } \right| = \left| {\overrightarrow \beta } \right| \\ \Theta {\rm Z} = \Theta {\rm H} \\ \end{array}$

Γεωμετρία

Γεωμετρία

Re: Γεωμετρία

Re: Γεωμετρία

Re: Γεωμετρία

Re: Γεωμετρία

Μέλη σε σύνδεση