Κλασσικό πρόβλημα σε 3 δόσεις

KARKAR · #1

1) Να αποδειχθεί (αλγεβρικά ή γεωμετρικά ) , ότι αν το γινόμενο δύο αριθμών είναι σταθερό ,

το άθροισμα των τετραγώνων τους γίνεται ελάχιστο όταν οι δύο αριθμοί είναι ίσοι .

2) Αν το ισοσκελές τρίγωνο ABC

είναι ισεμβαδικό με το ADE

, να δειχθεί ότι DE > BC

(σχήμα 1) .

3) Το τρίγωνο HZG

με πλευρές 17 , 10 , 9

, διαιρείται με το τμήμα

σε δύο ισεμβαδικά χωρία .

Βρείτε την ελάχιστη τιμή του μήκους του

(σχήμα 2)

Ιστοσελίδα · #2

1) Αν

σταθερά, τότε $x^2+y^2 \geq 2xy = 2c .$ Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν x = y.

2) $(ADE) = (ABC) \Rightarrow \dfrac{1}{2}AD\cdot AE\sin A = \dfrac{1}{2}AB\cdot AC\sin A \Rightarrow AD\cdot AE = AB^2,$ σταθερό.

$DE^2 = AD^2+AE^2-2AD\cdot AE\cos A \geq AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cos A = BC^2.$

Άρα $DE \geq BC.$

3) $(ZHG) = \sqrt{18(18-17)(18-10)(18-9)} = 36.$ Είναι (KGL) = 18.

$\cos G = \dfrac{10^2+17^2-9^2}{2\cdot 10 \cdot 17} = \dfrac{77}{85} ,$ και $\sin G = \sqrt{1-\left ( \dfrac{77}{85}\right )^2} = \dfrac{36}{85}.$

Η ελάχιστη τιμή του μήκους του

επιτυγχάνεται όταν το τρίγωνο KGL

είναι ισοσκελές με ίσες πλευρές

Τότε $\dfrac{1}{2}x^2\sin G = 18 \Rightarrow x= \sqrt{85}.$

$KL^2 = 2x^2-2x^2\cos G = 16 ,$ δηλαδή KL = 4.

Κλασσικό πρόβλημα σε 3 δόσεις

Κλασσικό πρόβλημα σε 3 δόσεις

Re: Κλασσικό πρόβλημα σε 3 δόσεις

Μέλη σε σύνδεση