μεσημεριανό ολοκλήρωμα 38

mathxl · #1

Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
$\displaystyle\int^{\infty}_{0}\frac{\cosh(ax)}{\cosh (\pi x)}\ dx$

#2

mathxl έγραψε:Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
$\displaystyle\int^{\infty}_{0}\frac{\cosh(ax)}{\cosh (\pi x)}\ dx$

Η άσκηση αυτή, όπως και πολλά άλλα παραδείγματα, υπάρχει στο βιβλίο του Shanty Narayan "Theory of Functions of a Complex Variable" σελ. 475 (λυμένο με μεθόδους μιγαδικής)

Περιγράφω τα βασικά βήματα:

Η ολοκληρωτέα γράφεται $\cosh(ax)\cdot\mathrm{sech}(\pi x)$ , κάτι που μας οδηγεί στο να θεωρήσουμε τη συνάρτηση $e^{az}\mathrm{sech}(\pi z)$ .

Ολοκληρώνουμε στο ορθογώνιο με κορυφές -R,R,R+i,-R+i

στο εσωτερικό του οποίου έχουμε πόλο στο i/2

με υπόλοιπο $e^{ai/2}/i\pi$ .

Τα ολοκληρώματα στις δυο κατακόρυφες πλευρές, όταν $R\to+\infty$ πάνε στο

ενώ από τις άλλες πλευρές θα πάρουμε

$\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}\frac{e^{ax}+e^{-ax}}{\cosh(\pi x)}\,dx+e^{ai}\int_{0}^{+\infty}\frac{e^{ax}+e^{-ax}}{\cosh(\pi x)}\,dx}$ .

Από το θεώρημα των υπολοίπων και εξισώνοντας φανταστικά μέρη, θα πάρουμε αποτέλεσμα $\displaystyle{\frac{\sec(a/2)}{2}}$ .

Επίσης χρειάζεται $\displaystyle{-\pi<a<\pi}$ .

#3

Μετά την υπόδειξη του Αναστάση για λύση με φυγή στο Μιγαδικό επίπεδο, θα δοθεί μια εναλλακτική λύση με Αναλυτική Θεωρία Αριθμών.

Λήμμα $\displaystyle{\sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {\frac{1}{{n + z}}} = \frac{\pi }{{\tan \left( {\pi z} \right)}}}$ (κάπου αποδείχθηκε, αλλά σύρε γύρευε που).
Διότι:
Ισχύει $\displaystyle{\sin \left( {\pi z} \right) = \pi z \prod\limits_{n = 1}^\infty {\left( {1 - \frac{{{z^2}}}{{{n^2}}}} \right)}}$ (τύπος γινομένου του Weierstrass, ταύτιση πρώτου όρου και ίδιες ρίζες). Τότε $\displaystyle{\ln \left( {\sin \left( {\pi z} \right)} \right) = \ln \left( \pi \right) + \ln \left( z \right) + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\ln \left( {1 - \frac{{{z^2}}}{{{n^2}}}} \right)} \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \Rightarrow \mathop \Rightarrow \limits^{derivatives} \Rightarrow \frac{{\pi \cos \left( {\pi z} \right)}}{{\sin \left( {\pi z} \right)}} = \frac{1}{z} - \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{2z}}{{{n^2} - {z^2}}}} = \frac{1}{z} - \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{1}{{n - z}} - \frac{1}{{n + z}}} \right)} = \frac{1}{z} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{1}{{z + n}} + \frac{1}{{z - n}}} \right)} \Rightarrow \boxed{\sum\limits_{n = - \infty }^\infty {\left( {\frac{1}{{z + n}}} \right)} = \frac{\pi }{{\tan \left( {\pi z} \right)}}}}$

Στο θέμα μας.

$\displaystyle{\int\limits_0^\infty {\frac{{\cosh \left( {ax} \right)}}{{\cosh \left( {\pi x} \right)}}dx} = \int\limits_0^\infty {\frac{{{e^{ax}} + {e^{ - ax}}}}{{{e^{\pi x}} + {e^{ - \pi x}}}}dx} = \int\limits_0^\infty {\frac{{\left( {{e^{ax}} + {e^{ - ax}}} \right){e^{ - \pi x}}}}{{1 + {e^{ - 2\pi x}}}}dx} = \int\limits_0^\infty {\left( {{e^{ax}} + {e^{ - ax}}} \right){e^{ - \pi x}}\sum\limits_{n = 0}^\infty {{{\left( { - 1} \right)}^n}{e^{ - 2n\pi x}}} dx} = }$

$\displaystyle{ = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{{\left( { - 1} \right)}^n}\int\limits_0^\infty {\left( {{e^{ - \left( {2\pi n + \pi - a} \right)x}} + {e^{ - \left( {2\pi n + \pi + a} \right)x}}} \right)dx} } = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{{\left( { - 1} \right)}^n}\left( {\frac{1}{{2\pi n + \pi - a}} + \frac{1}{{2\pi n + \pi + a}}} \right)} = }$

$\displaystyle{ = \frac{1}{{2\pi }}\sum\limits_{n = 0}^\infty {\left( {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n + \frac{{\pi - a}}{{2\pi }}}} + \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n + \frac{{\pi + a}}{{2\pi }}}}} \right)} = \mathop = \limits^{\frac{{\pi - a}}{{2\pi }} = w} = \frac{1}{{2\pi }}\sum\limits_{n = 0}^\infty {\left( {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n + w}} + \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n + 1 - w}}} \right)} = = \frac{1}{{2\pi }}\left( {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n + w}}} + \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n + 1 - w}}} } \right) = }$

$\displaystyle{ = \frac{1}{{2\pi }}\left( {\frac{1}{w} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{w + n}}} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}}}{{n - w}}} } \right) = \frac{1}{{2\pi }}\left( {\frac{1}{w} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{w + n}}} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{w - n}}} } \right) \Rightarrow \boxed{\int\limits_0^\infty {\frac{{\cosh \left( {ax} \right)}}{{\cosh \left( {\pi x} \right)}}dx} = \frac{1}{{2\pi }}\sum\limits_{n = - \infty }^{n = + \infty } {\left( {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n + \frac{{\pi - a}}{{2\pi }}}}} \right)} }}$

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Όμως $\displaystyle{\sum\limits_{n = - \infty }^{n = + \infty } {\frac{1}{{n + w}}} = \frac{\pi }{{\tan \left( {\pi w} \right)}}}$ . Τότε $\displaystyle{\sum\limits_{n = - \infty }^{n = + \infty } {\frac{1}{{2n + w}}} = \frac{1}{2}\sum\limits_{n = - \infty }^{n = + \infty } {\frac{1}{{n + w/2}}} = \frac{\pi }{{2\tan \left( {\pi \frac{w}{2}} \right)}}}$ και

$\displaystyle{\sum\limits_{n = - \infty }^{n = + \infty } {\frac{1}{{\left( {2n + 1} \right) + w}}} = \sum\limits_{n = - \infty }^{n = + \infty } {\frac{1}{{n + w}}} - \sum\limits_{n = - \infty }^{n = + \infty } {\frac{1}{{2n + w}}} = \frac{\pi }{{\tan \left( {\pi w} \right)}} - \frac{\pi }{{2\tan \left( {\pi \frac{w}{2}} \right)}}}$ . Επομένως

$\displaystyle{\sum\limits_{n = - \infty }^{n = + \infty } {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n + w}}} = \sum\limits_{n = - \infty }^{n = + \infty } {\frac{1}{{2n + w}}} - \sum\limits_{n = - \infty }^{n = + \infty } {\frac{1}{{\left( {2n + 1} \right) + w}}} = \frac{\pi }{{2\tan \left( {\pi \frac{w}{2}} \right)}} - \left( {\frac{\pi }{{\tan \left( {\pi w} \right)}} - \frac{\pi }{{2\tan \left( {\pi \frac{w}{2}} \right)}}} \right) = \frac{\pi }{{\tan \left( {\pi \frac{w}{2}} \right)}} - \frac{\pi }{{\tan \left( {\pi w} \right)}} = }$

$\displaystyle{ = \pi \left( {\frac{{\cos \left( {\pi \frac{w}{2}} \right)}}{{\sin \left( {\pi \frac{w}{2}} \right)}} - \frac{{\cos \left( {\pi w} \right)}}{{\sin \left( {\pi w} \right)}}} \right) = \pi \frac{{2{{\cos }^2}\left( {\pi \frac{w}{2}} \right) - \cos \left( {\pi w} \right)}}{{\sin \left( {\pi w} \right)}} = \frac{\pi }{{\sin \left( {\pi w} \right)}}}$

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Άρα $\displaystyle{\int\limits_0^\infty {\frac{{\cosh \left( {ax} \right)}}{{\cosh \left( {\pi x} \right)}}dx} = \frac{1}{{2\pi }}\sum\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n + \frac{{\pi - a}}{{2\pi }}}}} = \frac{1}{{2\pi }}\frac{\pi }{{\sin \left( {\pi \frac{{\pi - a}}{{2\pi }}} \right)}} = \frac{1}{{2\cos \left( {\frac{a}{2}} \right)}}}$

μεσημεριανό ολοκλήρωμα 38

μεσημεριανό ολοκλήρωμα 38

Re: μεσημεριανό ολοκλήρωμα 38

Re: μεσημεριανό ολοκλήρωμα 38

Μέλη σε σύνδεση