Απλοποίηση !

KARKAR · #1

Να απλοποιηθεί το κλάσμα : $\displaystyle\frac{3^{n+1}+2^{n+1}}{3^{n}+2^{n}}$ , $n \in \mathbb N$

Gerasimos92 · #2

Μια ιδέα,

$\frac{3^{n+1} + 2^{n+1}}{3^n + 2^n}=\frac{(2+1)^{n+1}+2^{n+1}}{(2+1)^n+2^n}=\frac{(2+1)*(2+1)^n+2*2^n}{(2+1)^n+2^n}=\frac{2*(2+1)^n+(2+1)^n+2*2^n}{(2+1)^n+2^n}=\frac{2*((2+1)^n+2^n)+(2+1)^n}{(2+1)^n+2^n}=2+\frac{(2+1)^n}{(2+1)^n+2^n}=2+\frac{3^n}{3^n+2^n}$

#3

#4

Gerasimos92 έγραψε:Μια ιδέα,

$\frac{3^{n+1} + 2^{n+1}}{3^n + 2^n}=\frac{(2+1)^{n+1}+2^{n+1}}{(2+1)^n+2^n}=\frac{(2+1)*(2+1)^n+2*2^n}{(2+1)^n+2^n}=\frac{2*(2+1)^n+(2+1)^n+2*2^n}{(2+1)^n+2^n}=\frac{2*((2+1)^n+2^n)+(2+1)^n}{(2+1)^n+2^n}=2+\frac{(2+1)^n}{(2+1)^n+2^n}=2+\frac{3^n}{3^n+2^n}$

Και μάλλον ο φίλος μας ο KARKAR θα θέλει να απαντήσουμε ότι το δοσμένο κλάσμα είναι ένας αριθμός ανάμεσα στο 2 και στο3 για κάθε nEN.

#5

Σεραφείμ έγραψε: $\displaystyle{\frac{{{3^{n + 1}} + {2^{n + 1}}}}{{{3^{n + 1}} + {2^{n + 1}}}} = \frac{{{\cancel{3}^{\cancel{n} + 1}} + {\cancel{2}^{\cancel{n} + 1}}}}{{{\cancel{3}^\cancel{n}} + {\cancel{2}^\cancel{n}}}}} }$ $\displaystyle{=\frac{{^{ + 1}{ + ^{ + 1}}}}{ + }}$

#6

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:
Σεραφείμ έγραψε: $\displaystyle{\frac{{{3^{n + 1}} + {2^{n + 1}}}}{{{3^{n + 1}} + {2^{n + 1}}}} = \frac{{{\cancel{3}^{\cancel{n} + 1}} + {\cancel{2}^{\cancel{n} + 1}}}}{{{\cancel{3}^\cancel{n}} + {\cancel{2}^\cancel{n}}}}} }$ $\displaystyle{=\frac{{^{ + 1}{ + ^{ + 1}}}}{ + }}$

Τριαντάφυλλε, αν το δεις αυτό, θα σου θυμίσει παλιές καλές εποχές

#7

KARKAR έγραψε:Να απλοποιηθεί το κλάσμα : $\displaystyle\frac{3^{n+1}+2^{n+1}}{3^{n}+2^{n}}$ , $n \in \mathbb N$

Είναι ανάγωγο..

#8

Σεραφείμ έγραψε: $\displaystyle{\frac{{{3^{n + 1}} + {2^{n + 1}}}}{{{3^{n}} + {2^{n }}}} = \frac{{{\cancel{3}^{\cancel{n} + 1}} + {\cancel{2}^{\cancel{n} + 1}}}}{{{\cancel{3}^\cancel{n}} + {\cancel{2}^\cancel{n}}}}} }$ $\displaystyle{=\frac{{^{ + 1}{ + ^{ + 1}}}}{ + }}$

Σεραφείμ, λάθος λάθος λάθος.

Απλοποιούνται και τα + στον αριθμητή και παρονομαστή. Στο τέλος μένει

$\displaystyle{\frac{{^{ + 1}{ \cancel{+} ^{ + 1}}}}{ \cancel{+} }}=\frac {^{+1} \, ^{+1}}{}$

M.

#9

χμ .. όντως .. απλώς φοβήθηκα μην πέσει η γραμμή κλάσματος.

pana1333 · #10

Άρα +2 βρε παιδιά....απλά μαθηματικά

KARKAR · #11

Αριθμητής και παρονομαστής είναι ακέραιοι . Αν υπάρχει ακέραιος

, ώστε $k/3^{n+1}+2^{n+1}$ και $k/ 3^{n}+2^{n}$ τότε :

$k/3^{n+1}+2^{n+1}-2(3^{n}+2^{n})$ , και επίσης $3^{n+1}+2^{n+1}-3(3^{n}+2^{n})$ ,

δηλαδή $k/3^{n}$ και $k/2^{n}$ , πράγμα άτοπο αφού $3^{n }, 2^{n}$ , πρώτοι μεταξύ τους .

Λυπάμαι , αλλά το κλάσμα "μου" είναι πράγματι ανάγωγο !

Απλοποίηση !

Απλοποίηση !

Re: Απλοποίηση !

Re: Απλοποίηση !

Re: Απλοποίηση !

Re: Απλοποίηση !

Re: Απλοποίηση !

Re: Απλοποίηση !

Re: Απλοποίηση !

Re: Απλοποίηση !

Re: Απλοποίηση !

Re: Απλοποίηση !

Μέλη σε σύνδεση