Νερό και οινόπνευμα

[Γιώργος Απόκης]

Διαθέτουμε δύο δοχεία: το Α (με 1000ml νερό) και το Β (με 1000ml οινόπνευμα). Κάνουμε, με αυτή τη σειρά, τα εξής:

Αρχικά, παίρνουμε μια σταγόνα V ml από το Α και τη ρίχνουμε στο Β (ανακατεύουμε και ομογενοποιούμε).
Μετά, παίρνουμε μια σταγόνα V ml από το B και τη ρίχνουμε στο A (ανακατεύουμε και ομογενοποιούμε).

Το ζητούμενο είναι να συγκρίνουμε τους αριθμούς x και y, όπου
x είναι η τελική ποσότητα οινοπνεύματος στο Α και
y είναι η τελική ποσότητα νερού στο Β.

[Mihalis_Lambrou]

Είναι ίσες: Με την δεύτερη σταγόνα (από το Β στο Α), όσο οινόπνευμα έχει η σταγόνα, προφανώς τόσο νερό έμεινε πίσω.
Με άλλα λόγια, το οινόπνευμα που μεταφέρεται στο Α με την σταγόνα, είναι όσο το νερό που έμεινε στο Β.

Μ.

[Γιώργος Απόκης]

Είναι ίσες: Με την δεύτερη σταγόνα (από το Β στο Α), όσο οινόπνευμα έχει η σταγόνα, προφανώς τόσο νερό έμεινε πίσω.
Με άλλα λόγια, το οινόπνευμα που μεταφέρεται στο Α με την σταγόνα, είναι όσο το νερό που έμεινε στο Β.

Μ.

Aκριβώς! Η πιο σύντομη λύση!

[Kostas01]

a= νερό, b=οινόπνευμα

Αρχικά έχουμε: [1000a] και [1000b]

Μετά παίρνουμε μία σταγόνα, ας πούμε 1ml από το οινόπνευμα και το ρίχνουμε στο νερό άρα έχουμε [1000a + b]
και [999b]

Στην συνέχεια παίρνουμε πάλι 1 ml, (βέβαια το 1 ml θα πρέπει να προσέξουμε ότι δεν είναι το 1/1000 της ποσόσητας που βρίσκεται στο πρώτο δοχείο, αλλά το 1/1001 αυτής), και έχουμε: [1000/1001(1000a+b)] και [999b +1/1001(1000a+b)]

Και στο τέλος έχουμε : [999,001a+0,999001b] και [999,001b+0,999001a], Αρα είναι η ίδια αναλογία.


Μία διόρθωση να κάνω. Λόγω λάθους στην στρογγυλοποίηση, οι ποσότητες στο τέλος δεν είναι
[999,001a+0,999001b] και [999,001b+0,999001a]
αλλά [999,000999a + 0,999001b] και [999,000999b + 0,999001a]

Ουπς, πάλι λάθος. Το κλάσμα 1000/1001 δεν μπορεί να γραφτεί ως δεκαδικός αριθμός.

[Mihalis_Lambrou]

Διαθέτουμε δύο δοχεία: το Α (με 1000ml νερό) και το Β (με 1000ml οινόπνευμα). Κάνουμε, με αυτή τη σειρά, τα εξής:

Αρχικά, παίρνουμε μια σταγόνα V ml από το Α και τη ρίχνουμε στο Β (ανακατεύουμε και ομογενοποιούμε).
Μετά, παίρνουμε μια σταγόνα V ml από το B και τη ρίχνουμε στο A (ανακατεύουμε και ομογενοποιούμε).

Το ζητούμενο είναι να συγκρίνουμε τους αριθμούς x και y, όπου
x είναι η τελική ποσότητα οινοπνεύματος στο Α και
y είναι η τελική ποσότητα νερού στο Β.

a= νερό, b=οινόπνευμα

Αρχικά έχουμε: [1000a] και [1000b]

Μετά παίρνουμε μία σταγόνα, ας πούμε 1ml από το οινόπνευμα και το ρίχνουμε στο νερό άρα έχουμε [1000a + b]
και [999b]

Στην συνέχεια παίρνουμε πάλι 1 ml, (βέβαια το 1 ml θα πρέπει να προσέξουμε ότι δεν είναι το 1/1000 της ποσόσητας που βρίσκεται στο πρώτο δοχείο, αλλά το 1/1001 αυτής), και έχουμε: [1000/1001(1000a+b)] και [999b +1/1001(1000a+b)]

Και στο τέλος έχουμε : [999,001a+0,999001b] και [999,001b+0,999001a], Αρα είναι η ίδια αναλογία.

Σωστἠ είναι η λύση αλλά ας παρατηρηθεί ότι στη λύση που έγραψα ΔΕΝ ΑΠΑΙΤΕΙ ΝΑ ΓΙΝΕΙ ΟΜΟΓΕΝΟΠΟΙΗΣΗ. Δηλαδή απαντά σε ένα γενικότερο προβλήμα.

Πιστεύω ότι αν στις υποθέσεις βάλουμε και την ομογενοποίηση, τότε χάνουμε την ομορφιά του προβλήματος. Γίνεται πρόβλημα ρουτίνας.

Μ.

[Kostas01]

Χωρίς ομογενοποίηση.

Στην γενική περίπτωση έχουμε δύο δοχεία που περιέχουν μίγματα από δύο συστατικά α και β και αναλογία κ:λ και λ:κ αντίστοιχα. Εχουμε δηλαδή τα εξής δύο μίγματα: [κα+λβ] και [λα+κβ]

Αφαιρούμε ποσότητα μβ (όπου 0<μ<λ) από το πρώτο και την προσθέτουμε στο δεύτερο. Εχουμε δηλαδή [κα+(λ-μ)β] και [λα+(κ+μ)β].

Αφαιρούμε ποσότητα να+ξβ, όπου ν+ξ=μ (ώστε τελικά τα δύο μίγματα να έχουν τον ίδιο όγκο, ίσο με κ+λ) από το δεύτερο και την προσθέτουμε στο πρώτο. Εχουμε δηλαδή:
[(κ+ν)α+(λ-μ+ξ)β] και [(λ-ν)α+(κ+μ-ξ)β], και με πράξεις έχουμε
[(κ+ν)α+(λ-ν)β] και [[λ-ν)α+(κ+ν)β]

Παρατηρούμε ότι ο λόγος α:β στο πρώτο μίγμα είναι (κ+ν):(λ-ν), και είναι ίσος με τον λόγο β:α του δεύτερου μίγματος

[Mihalis_Lambrou]

Δες την λύση που έγραψα! Λέει το ίδιο πράγμα με αρκετά απλούστερα λόγια. Το μόνο που έχεις να παρατηρήσεις είναι ότι "ο χώρος καταλαμβάνει το οινόπνευμα στη σταγόνα επιστοφής, είναι ίδος με το νερό που έμεινε πίσω (αφού το εκτόπισε για να μπει στη σταγόνα)". Τίποτα άλλο.

Μ.

[Kostas01]

Μα φυσικά δεν πρόκειται για διαφορετική λύση. Το μόνο που έκανα ήταν να γράψω με αλγεβρικές παραστάσεις (ίσως όχι τόσο κομψά γραμμένες, ομολογώ) αυτό που είπες στην περιγραφική λύση.

[Γιώργος Απόκης]

Όλες οι λύσεις είναι σωστές και μάλιστα, η παρατήρηση του Μιχάλη είναι εύστοχη:
δεν είναι απαραίτητη η ομογενοποίηση. Θα μπορούσαμε να κάνουμε το εξής "γενικευμένο" πείραμα:

Ξεκινάμε με τα δύο δοχεία Α και Β και τώρα (χωρίς να μας ενδιαφέρει η σειρά, ούτε η ομογενοποίηση στα ενδιάμεσα στάδια)

Παίρνουμε ποσότητες από το Α στο Β και ποσότητες από το Β στο Α, με την απαραίτητη προϋπόθεση, όμως να ισχύει: .
To αποτέλεσμα είναι πάλι .